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第7话：一次函数的应用
课堂思维碰撞
第一层：一次函数与方程、不等式
知识导入
从函数的角度看解一元一次方程：
以x为未知数的一元一次方程可以变形为ax＋b＝0（a≠0）的形式，解一元一次方程相当于在一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值．从图象上看即y=ax＋b与x轴交点的横坐标.
从函数的角度看解一元一次不等式：
以x为未知数的一元一次不等式可以变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a≠0）的形式，解一元一次不等式相当于在一次函数y＝ax＋b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围．
一般的，已知函数值范围求自变量x的范围或者已知自变量范围求函数值范围时，可以通过观察图象得到（数形结合）．
从函数的角度看解二元一次方程组：
由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组对应两个一次函数，也对应两条直线．从“数”的角度看，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，相当于确定两条相应的直线的交点坐标．
能力提升
例1 一次函数与一元一次方程
（1）一次函数与轴交点的坐标是_________，与轴交点的坐标是_________，方程的解是___________
【答案】；；
（2）一次函数的图象如图所示，则方程的解是________
【答案】
（3）方程的解是__________，则函数在自变量等于2时的函数值是_________
【答案】，8
（4）已知关于的方程的解是，则直线与轴的交点坐标是________．
【答案】．
例2 一次函数与二元一次方程组
（1）如果函数与的图象的交点坐标是，那么二元一次方程组的解是_______．
【答案】
（2）已知是方程组的解，那么一次函数和的交点是________．
【答案】
（3）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组
的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
（4）已知一次函数和的图象都经过，则点可看成方程组________的解．
【答案】
例3 一次函数与不等式
（1）直线上的点在轴上方时对应的自变量的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
（2）一次函数，当函数值为正时，的取值范围是________．
【答案】
（3）如图，一次函数的图象经过．两点，则关于的不等式的解集是______________．
【答案】
例4 一次函数与不等式
如图所示，已知直线y2＝ax＋b和直线y1＝kx的图象交于点P，利用图象回答：
(
y
1
=kx
y
y
2
=ax+b
x
-
2
O
-4
P
)①关于二元一次方程组的解是 ，则两直线的交点是 ；
②当y2＜y1时，则x的取值范围是 ；
③当ax＋b≥kx时，则x的取值范围是 ；
④当ax≤kx－b时，则x的取值范围是 ．
(
x
) (
-
1
) (
-
2
) (
O
) (
1
) (
1
) (
2
) (
y
) (
y
2
1
1
O
-
2
-
1
x
) (
y
2
1
1
O
-
2
-
1
x
)【答案】①（－4，－2）； ②x＞－4； ③x≤－4； ④x≥－4．
第二层： 一次函数实际运用
能力提升
例5 某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折（即按全票价的60%收费）优惠．”若全票价为240元．
⑴设学生数为，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；
⑵当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；
⑶就学生数讨论哪家旅行社更优惠．
【解析】⑴，．
⑵根据题意，得，解得．
答：当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多．
⑶当，，解得．
当，，解得．
答：当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠．
例6 某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果，或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车．
⑴设用辆车装甲种苹果，辆车装乙种苹果，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
⑵若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：
苹果品种 甲 乙 丙
每吨苹果所获利润（万元）
设此次运输的利润为（万元），问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润最大，并求出最大利润．
【答案】⑴∵，
∴与之间的函数关系式为．
∵，解得．
∵，，且是正整数，
∴自变量的取值范围是或或．
⑵．
因为随的增大而减小，所以取1时，可获得最大利润，
此时．
获得最大运输利润的方案为：用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果．
课后创新培养
课后作业
练1 已知一次函数图象与轴交于，则方程的解是_____________
【答案】
练2 已知一次函数y＝kx＋b的图象，如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（ ）．
(
-
2
y
O
1
x
)A．x＞0
B．x＜0
C．0＜x＜1
D．x＜1
【答案】D
练3 两条直线和相交于点，则方程组的解是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B．
练4 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是_________________．
【答案】．
练5 新知中学初三年级准备购买10只米奇品牌的笔袋，每只笔袋配支水笔作为奖品，已知两家超市都有这个牌子的笔袋和水笔出售，而且每只笔袋的标价都为20元，每支水笔的标价都为1元，现两家超市正在促销，超市所有商品均打九折销售，而超市买1只笔袋送3支水笔，若仅考虑购买笔袋和水笔的费用，请解答下列问题：
⑴如果只在某一家超市购买所需笔袋和水笔，那么去超市还是超市买更合算？
⑵当时，请设计最省钱的购买方案．
【答案】⑴去超市购买所需费用：，即：
去超市购买所需费用，即：
当时，即，．去超市购买更合算；
当时，即，．去超市或超市购买一样；
当时，即，，
当时，去超市购买更合算．
综上所述：当时，去超市购买更合算；当时，去超市或超市购买一样；当时，去超市购买更合算．
⑵当时，即购买10只笔袋应配120支水笔．
设总费用为；在超市买只笔袋，则在超市买只笔袋，送支水笔．因为超市所有商品均打九折销售，所以剩下支水笔应在超市买
∴
∴ （）
当时，为最小．
∴最佳方案为：只在超市购买10只笔袋，同时获得送30支水笔，然后去超市按九折购买90支水笔．
4
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