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第8话：一次函数存在性问题之距离
课堂思维碰撞
第一层： 单动点与距离最值问题
知识导入
问题 作法 图形 原理
在直线上求一点,使最短 将对称到，连接，与的交点即为点 两点之间，线段最短
在直线上求一点,使最短 将点对称到，作直线，与的交点即为点 三角形任意两边之差小于第三边
能力提升
例1 单动点和最小
⑴已知在平面直角坐标系中，是轴上的点，点，，则的最小值是（　　）．
A．10 B．8 C．6 D．
【答案】A．
⑵在平面直角坐标系中，有，两点，现另取一点，当（　　）时，的值最小．
A． B． C． D．
【答案】B．
例2 单动点差最大
已知：直角坐标平面上两点，，
（1）若为轴上一点．求当的值最大时，点的坐标
（2）若为轴上一点．求当的值最大时，点的坐标
【答案】
解：（1）
（2）
例3 点、均在由面积为1的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若是轴上使得的值最大的点，是轴上使得的值最小的点，则的值为多少？
【答案】5
第二层： 双动点与距离最值问题
知识导入
能力提升
例4 如图，在轴上一点，在轴上找一点，使四边形ABCD的周长为最小值，求这个最值．
【答案】如图，．
例5 在直角坐标系中，有点A（0，1），B（5，3），点M、N在x轴上且MN=1，当四边形AMNB周长最短时，求点M、N的坐标．
【答案】M（1，0），N（2，0）
例6 将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8，如图在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点；
（1）求点E的坐标及折痕DB的长；
（2）在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=4.5，求使四边形BDMN的周长最短的点M、点N的坐标．
【答案】解：（1）∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=10，AB=OC=8，
∵△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边E点上，
∴BC=BE=10，DC=DE，
在Rt△ABE中，BE=10，AB=8，
∴AE=6，
∴OE=10﹣6=4，
∴E点坐标为（4，0）；
在Rt△ODE中，设DE=x，则OD=OC﹣DC=OC﹣DE=8﹣x，
∴x2=42+（8﹣x）2，解得x=5，
在Rt△BDE中，
BD==5；
（2）以D、M、N为顶点作平行四边形DMND′，作出点B关于x轴对称点B′，如图，
∴B′的坐标为（10，﹣8），DD′=MN=4.5，∴D′的坐标为（4.5，3），
设直线D′B′的解析式为y=kx+b，
把B′（10，﹣8），D′（4.5，3）代入得，10k+b=﹣8，4.5k+b=3，解得k=﹣2，b=12，
∴直线D′B′的解析式为y=﹣2x+12，
令y=0，得﹣2x+12=0，解得x=6，
∴M（1.5，0）；N（6，0）．
第三层： 特殊动点问题
能力提升
例7 已知平面直角坐标系中，存在点，已知点E、F分别为直线y=x和x轴上的动点.
（1）求的周长最小值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）如图，分别过y=x和x轴作A的对称点和
连接,与 y=x和x轴的交点即为当的周长最小时，E、F的位置 ，此时
（2）如图，AE+EF最短，即过y=x作A的对称点，再过作x轴的垂线， 与 y=x和x轴的交点即为最小时，E、F的位置 ，此时AE+EF=4
课后创新培养
课后作业
练1 ⑴在平面直角坐标系中，轴上的动点到点、的距离分别为、，求当最小时的点坐标是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B．
⑵在直角坐标系中，已知点，，在轴上找一点，使最短，则点的坐标为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B．
练2 在平面直角坐标系中，已知、，是轴上一点，当的坐标为________，取最小值，最小值为____________；当的坐标为________，取最大值，最大值为________．
【答案】，；，．
练3 在直角坐标系中，有四个点、、、，当四边形的周长最小时，的值为_________．
【答案】由、两点固定可知，的线段长度固定，故只需考虑的长度，取点B关于轴的对称点、点关于轴的对称点，易知当、、、四点共线时，的长度最小，最小值为． 易知直线的解析式为：，此时、，故．
练4 已知点A（3，4）点，在轴上另取两点，，且．线段在轴上平移，线段平移至何处时，四边形的周长最小？求出此时点的坐标．
【答案】如图2，过点作轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段，使，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，在轴上截取线段，则此时四边形的周长最小．
∵，∴，
∵，∴．
设直线的解析式为，
则，
解得．
∴直线的解析式为，
当时，，解得．
故线段平移至如图所示位置时，四边形的周长最小，此时点的坐标为．
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