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第10话：一次函数存在性问题之几何综合
课堂思维碰撞
第一层： 一次函数与等腰三角形综合
知识导入
两圆一线：
问题：已知点和点，找一点，使得为等腰三角形．
方法：⑴以点为圆心，为半径作圆，圆上的所有点都满足条件；
⑵以点为圆心，为半径作圆，圆上的所有点都满足条件；
⑶作的垂直平分线，垂直平分线上的所有点都满足条件．
两点间距离公式：
点和点的距离．
能力提升
例1 ⑴在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标是__________________________________．
【答案】，，，．
⑵在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标是__________________________________．
【答案】，，，．
（3）直线与坐标轴交于两点，点在坐标轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点最多有_______个．
【答案】7．
例2 已知一次函数的图象经过点和点．
⑴求一次函数的解析式；
⑵点在轴上，若以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标．
【答案】⑴设一次函数的解析式为
∵一次函数的图象经过点和点
∴
解得
∴一次函数的解析式为．
⑵∵，
∴
设点的坐标为
若，则点的坐标为和
若，则点的坐标为
若，则有，，．
例3 已知一次函数与轴、轴分别交于两点，点在x轴上，若是等腰三角形，则求满足条件的点的坐标.
【答案】，，，
第二层： 一次函数与平行四边形综合
能力提升
例4 （1）在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
（2）在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为：A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3）、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为　 　．
　【答案】解：当AB∥CD时，第4个顶点D的坐标是（﹣2，3）或（6，3），当AD∥BC时，第4个顶点D的坐标是（0，﹣3）．
例5 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）设P是直线AB上一动点，直线PR∥x轴，点Q在直线PR上，设点P的横坐标为m，试用含有m的代数式表示点Q的纵坐标n．
（3）在（2）的条件下，若以B、O、Q、A为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．
【解答】解：（1）当y=0时，x=3；
当x=0时，y=4，
所以点A（3，0），B（0，4）；
（2）∵P点的横坐标为m，P在y=上，
∴P点纵坐标为，
∵Q在PR上，
∴Q点纵坐标；
（3）当OA为平行四边形一边时，BQ∥OA且BO=OA，
∴Q（﹣3，4）或（3，4），
当OA为平行四边形对角线时，OB∥AQ，且OB=AQ，
∴Q（3，﹣4），
∴符合条件的Q点坐标为（﹣3，4）或（3，4）或（3，﹣4）．
横扫学霸
例6 如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），B（﹣1，﹣3），P是x轴上的一点，Q是y轴上的一点，若以点A，B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．
【答案】解：如图所示，
当AB为边，①即当四边形ABQ2P2是平行四边形，所以AB=P2Q2，AP2=BQ2，
∵点A（4，2），B（﹣1，﹣3），
∴AB=5，则OP2=OQ2=5，
∴Q2点的坐标是：（0，﹣5），
②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB=PQ，QA=PB，
∴Q点的坐标是：（0，5），
③当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，
所以AP1=Q1B，AQ1=BP1，
∴Q1点的坐标是：（0，﹣1）．
综上所述：符合题意的点Q的坐标为：（0，﹣5）或（0，﹣1）或（0，5）．
课后创新培养
课后作业
练1 点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标不可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B．
练2 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，点在轴上，若是等腰三角形，试求点的坐标．
【答案】，，，．
练3 点的坐标分别是、、，点在线段上运动，当为等腰三角形时，点的坐标为_____________．
【答案】，，，
练4 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在坐标系中找一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是　（2，5）或（﹣6，5）或（0，﹣7）　．
【解答】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∴可以分以下三种情况分别求出D点的坐标：
①当AB∥CD，AD∥BC时，D点的坐标为（2，5）；
②当AD∥BC，AC∥BD时，D点的坐标为（﹣6，5）；
③当AB∥CD，AC∥CD时，D点的坐标为（0，﹣7）．
故D点坐标为（2，5）或（﹣6，5）或（0，﹣7）．
练5 已知直线和直线相交于点，
⑴ 若与轴交于点，与轴交于点，求的面积；
⑵ 若点与点、、能构成平行四边形，试写出点坐标（只需写出坐标，不必写解答过程）
【答案】⑴，
所以；
⑵、、．
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