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第11话：一次函数存在性问题之全等与综合
课堂思维碰撞
第一层： 一次函数与静态全等综合
能力提升
例1 在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，，且，点，轴于点E，一次函数经过点B，交y轴于点D．
（1）求证；；
（2）求的面积．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠ACB=90°，AC=BC
∴∠ACO+∠BCE=90°
BE⊥CE，∴∠BCE+∠CBE=90°
∴∠ACO=∠CBE
∴△AOC≌△CEB
（2）解：∵△AOC≌△CEB
∴BE=OC=2，CE=OA=4
∴点B的坐标为（6，2）
又一次函数y=x+b经过点B（6，2）
∴2=6+b
∴b=-4
∴点D的坐标为（0，-4）
∴|AD|=4+4=8
在△ABD中，AD边上高的长度就是B点纵坐标的绝对值．
∴S△ABD=24
∴△ABD的面积为24．
例2 已知：在平面直角坐标系中，点、点和点在轴上（点在点的左边），点在原点的右边，作，垂足为（点在线段上，且点与点不重合），直线与轴交于点，若
⑴ 求点的坐标
⑵ 设长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围
【答案】⑴ 根据题意，分两种情况：
①当在原点左边时，如下图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当在原点右边时，
同①可证，
∴
∴或；
⑵ 当在原点左侧时，
∵，
∴，
当在原点右侧时，同理可得，
∴
例3 如图，直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为正半轴上一动点，连结，以线段为边在第四象限内作等边，直线交轴于点.
⑴ 与全等吗？判断并证明你的结论；
⑵ 随着点位置的变化，点的位置是否会发生变化 若没有变化，求出点的坐标；
若有变化，请说明理由.
【答案】⑴与全等
∵、都是等边三角形
∴
∴，即
∵
∴
⑵点位置不变
∵
∴，
在中，或，得
∴∴点的坐标为
第二层： 一次函数与动点问题综合
能力提升
例4 如图，直线与轴、轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为
⑴ 求的值
⑵ 若点是第二象限内的直线上的一个动点，当点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围
⑶ 探究：当运动到什么位置时，的面积为，并说明理由
【答案】⑴ 把点坐标代入，可得
⑵ 因为在直线上，
所以
⑶ 当时，可得
此时有
例5 如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=﹣2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x轴垂直．
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y1＞y2？
（2）设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式．
（3）当x为何值时，直线m平分△COB的面积？
【解答】解：（1）依题意得
解方程组，
得，
∴C点坐标为（2，2）；
根据图示知，当x＞2时，y1＞y2；
（2）如图，过C作CD⊥x轴于点D，
则D（2，0），
∵直线y2=﹣2x+6与x轴交于B点，
∴B（3，0），
①当0＜x≤2，此时直线m左侧部分是△P′Q′O，
∵P′（x，0），
∴OP′=x，
而Q′在直线y1=x上，
∴P′Q′=x，
∴s=x2（0＜x≤2）；
②当2＜x＜3，此时直线m左侧部分是四边形OPQC，
∵P（x，0），
∴OP=x，
∴PB=3﹣x，
而Q在直线y2=﹣2x+6上，
∴PQ=﹣2x+6，
∴S=S△BOC﹣S△PBQ=
=﹣x2+6x﹣6（2＜x＜3）；
（3）直线m平分△BOC的面积，
则点P只能在线段OD，即0＜x＜2．
又∵△COB的面积等于3，
故x2=3×，
解之得x=．
∴当x=时，直线m平分△COB的面积．
横扫学霸
例6 如图，在平面直角坐标系中，直线（b＞0）分别交x轴、y轴于A、B两点，以OA、OB为边作矩形OACB，D为BC的中点，以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．
（1）求点P的坐标；
（2）当b值由小到大变化过程时，求S与b的函数关系式；
【解答】解：（1）如图（二），作PK⊥MN于K，
∵M（4，0），N（8，0），
∴MN=4，OM=4，
又∵△PMN是等腰三角形，MN是斜边，
∴PK=KM=NM=2，
∴KO=OM+MK=6，
∴P（6，2）；
（2）①当点A落在线段OM上（可与点M重合）时，如图（一），此时0＜b≤2，S=0；
②当点A落在线段AK上（可与点K重合）时，如图（二），此时2＜b≤3，设AC交PM于H，MA=AH=2b﹣4，
∴S=（2b﹣4）2=2b2﹣8b+8，
③当点A落在线段KN上（可与点N重合）时，如图（三），此时3＜b≤4，设AC交PN于H，AN=AH=8﹣2b，
∴S=S△PMN﹣S△ANH=4﹣2（4﹣b）2=﹣2b2+16b﹣28，
④当点A落在线段MN的延长线上时，b＞4，如图（四），S=4；
课后创新培养
课后作业
练1 如图，直线与轴，轴分别交于点，，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，且点为坐标系中的一个动点
⑴ 求的面积
⑵ 求点的坐标以及点关于直线的对称点的坐标
⑶ 证明不论取任何实数，的面积是一个常数
【答案】⑴
⑵ ，
⑶
练2 如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴的正半轴上，点为坐标原点，等腰直角三角板的直角顶点在坐标原点，分别在上，且，，将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连接．求证：；
【答案】证明：∵四边形为正方形，∴，
∵三角板是等腰直角三角形，
∴，
又三角板绕点逆时针旋转至的位置时，，
∴；
练3 如图，直线y=0.75x+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，则△OPE的面积S与x的函数关系式为____________．
【答案】S=3x+24（-8＜x≤0）
练4 如图，直线OC，BC的函数关系式分别y1=x和y2=﹣x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜6），过点P作直线m与x轴垂直．
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y1＞y2？
（2）猜想△COB是什么三角形？并用所学的几何知识证明你的结论．
（3）设在△COB中位于直线m左侧部分的面积为S，求出S与x之间函数关系式？
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得：，
∴点C的坐标为（3，3）；
当x＞3时y1＞y2；
（2）△COB是等腰直角三角形．
证明：∵直线BC的解析式为：y2=﹣x+6，
∴B（0，6），
∵直线OC的解析式为：y1=x，
∴∠COB=45°，
∴OC==3，BC==3，
∴OC=BC，
∴∠OBC=∠COB=45°，
∴∠OCB=90°，
∴△COB是等腰直角三角形；
（3）如图，过C作CD⊥x轴于点D，
则D（3，0），
①当0＜x≤3时，此时直线m左侧部分是△PQO，
∵P（x，0），
∴OP=x，
而Q在直线y1=x上，
∴PQ=x，
∴s=x2（0＜x≤3）；
②当3＜x＜6时，此时直线m左侧部分是四边形OPQC，
∵P（x，0），
∴OP=x，
∴PB=OB﹣OP=6﹣x，
而Q在直线y2=﹣x+6上，
∴PQ=﹣x+6，
∴S=S△BOC﹣S△PBQ=×CD×OB﹣×BP×PQ=×3×6﹣×（6﹣x）×（﹣x+6）=﹣x2+6x﹣9（3＜x＜6）．
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