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第1讲 相交线与平行线综合
课堂思维碰撞
模块一：相交线综合
知识导入
1．在同一平面内，两条直线的位置关系：相交、平行．
注意：我们说的两条直线是指不重合的两条直线．
2．相交直线：
定义：两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．
如下图，如果直线与直线有公共点，则称直线与直线相交，为交点，其中一条直线是另一条直线的相交线．
性质：相交直线有且只有一个公共点．
3．对顶角：
定义：如果两个角有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．
定义：两条直线相交成四个角中，有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角．如图中，和、和是对顶角．
性质：对顶角相等，如图中：，．
4．邻补角：
定义：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．如上图，和，和，和，和互为邻补角．
定义：我们也可以说，如果两个角有一条公共边，并且它们的另外一边互为反向延长线，那么这两个角叫做邻补角．
性质：邻补角互补，如上图：，，，．
5．垂线：
如果两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点为垂足．
如图，直线、互相垂直，垂足为点，记作“于”．
6．三线八角模型：
如图，直线、与相交，也称直线、被直线所截，形成了个小于平角的角，我们通常将这样的几何模型称为“三线八角”．
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截，在两条被截直线同旁，在截线同侧的一对角叫做同位角．如上图中：∠1和∠5，形似英文字母“F”．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截，在两条被截直线内部，在截线两侧的一对角叫做内错角．如上图中：∠3和∠5，形似英文字母“Z”．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在两条被截直线内部，在截线同侧的一对角叫做同旁内角．如上图中：∠4和∠5，形似英文字母“U”．
夯实基础
例1 对顶角、邻补角
（1）如图，∠1和∠2是对顶角的图形是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
（2）如图，∠1与∠2互为邻补角的是（　　）
A． B． C． D．
（3）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD=1：2，则∠BOD等于（　　）
A．30° B．36° C．45° D．72°
（4）已知：如图所示，直线、、交于点，，，则的度数是 ．
【答案】（1）C；（2）D；（3）A；（4）60°．
例2 垂直
（1）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠AOE=52°，则∠BOD等于（　　）
A．24° B．26° C．36° D．38°
（2）如图，已知直线AB，线段CO⊥AB于点O，，的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
（3）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，，则（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
（4）在直线AB上任意取一点O，过点O作射线OC、OD，使，当 时，的度数是 ．
（5）已知∠α的两边分别与∠β的两边垂直，且∠α=20°，则∠β的度数为 ．
【答案】（1）D；（2）C；（3）D；（4）60°或120°；（5）20°或160°．
能力提升
例3 三线八角
（1）如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠3是内错角
C．∠1与∠5是同位角 D．∠4与∠5互为邻补角
【答案】B
（2）①直线AB和CD被直线AC所截形成的内错角是 ；
②直线AB和CD被直线BE所截形成的同位角是 ；
③∠3和∠6是直线 和 被直线 所截形成的 角；
④∠2和∠6是直线 和 被直线 所截形成的 角．
【答案】①和；②和；③,内错；
④，同旁内角．
（3）如图，用数字表示的角中，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对．
【答案】4，4，7．
例4 角度计算
（1）已知：∠MON=132°，射线OC是∠MON内一条射线，且，问OM与OC是否垂直，并说明理由．
（2）如图，，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．
【答案】（1），解出，∴．
（2）设，则有，解得：，∴．
模块二：平行线的性质判定进阶
知识导入
1．平行线的定义：
定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
如图，如果直线与直线没有公共点，则称直线与直线平行，记作∥，读作平行于．
性质：平行直线在同一平面内，且没有公共点．
易错点：必须强调是在同一平面内．
2．平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等．
性质2：两直线平行，内错角相等．
性质3：两直线平行，同旁内角互补．
推论：①两直线平行，同位角的角平分线也平行．
②两直线平行，内错角的角平分线也平行．
③两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．
3．平行线的判定：
（1）平行线的定义
（2）判定1：同位角相等，两直线平行．
（3）判定2：内错角相等，两直线平行．
（4）判定3：同旁内角互补，两直线平行．
推论：①两直线平行，同位角的角平分线也平行．
②两直线平行，内错角的角平分线也平行．
③两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．
能力提升
例5 利用平行线性质计算角度
（1）如图，直线l1∥l2∥l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，若∠1=72°，∠2=48°，则∠ABC=（　　）
A．24° B．120° C．96° D．132°
【答案】 B
（2）如图，，，，则______．
【答案】 20°．
（3）如图，AB∥CD∥EF，CB∥DE∥FG，如果∠1=70°，则∠3的度数为 ．
【答案】110°
例6 平行线的性质与判定综合
（1）如图所示的四边形ABCD，E是CB延长线上的一点，下列推理正确的是（　　）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
【答案】C
（2）已知：如图，，求证：.
【答案】如下图所示：
∵，∴,∴
∵，，∴，
∴．
例7 请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上．
（1）如图⑴，已知：，直线分别交、于、，、分别平分、.求证：.从本题能得到的结论是： .
（2）如图⑵，已知：，直线分别交、于、，、分别平分、.求证：.从本题能得到的结论是： .
（3）如图⑶，已知：，直线分别交、于、，、分别平分、，相交与点.求证：.从本题能得到的结是： .
【答案】（1）两直线平行，同位角的角分线也平行；
（2）两直线平行，内错角的角分线也平行；
（3）两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．
课后创新培养
课后作业
练1 （1）如图，直线AB，CD交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD=4：5，则∠BOD= ．
（2）如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠EOD=4：1，则∠AOF= ．
【答案】（1）40°；（2）120°．
练2 （1）如图所示，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC：∠BOC=1：4，则∠BOD= ．
（2）如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，且∠BOC=α，则∠AOD等于 ．
【答案】（1）150°；（2）．
练3 如图，是的角平分线，交于点交于点.求证：平分.
【答案】由已知条件可得：，，且，∴，所以 平分.
练4 如图，已知、的平分线相交于，过点且．若，，求、的度数．
【答案】由已知可得：，∵，∴，，∴，．
练5 如图，平分，平分，，，求的度数．
【答案】80°．

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