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第2讲 平行线的构造
课堂思维碰撞
第一层：平行线的基本模型
知识导入
基本几何模型：平行线+拐点
（1）单拐点锯齿模型（“猪蹄”模型）
已知：
结论：
（2）单拐点铅笔模型
已知：
结论：
（3）拐点在平行线外的模型
已知：
结论：
已知：
结论：
夯实基础
例1
（1）如图，，且，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
（2）如图，已知直线，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
（3）如图，已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
（4）已知：如图所示，，，，则____
【答案】50°
（5）如图所示，，，请写出和之间的数量关系 ．
【答案】
例2
（1）如图，直线，，，则________．
【答案】30°
（2）如图，已知直线，，则 ．
【答案】90°
（3）如图，，则的度数等于 ．
【答案】180°
（4）如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是 ．
【答案】80°
例3 已知，如图，,试证明.
【答案】解法一：过点作，则，
又，
∴，∴
解法二：作，则，
∵，
∴，
∴，
∴，∴
例4
（1）如图，，证明：．
证明：过 点作直线 ,
∵,且（ ），
∴ （ ），
∵ （ ），
∴（ ）,
∵（ ）,
∴ （ ），
∴（ ）,即：．
【答案】过E点作直线EF,
∵,且（已知），
∴ CD （平行公理的推论），
∵ EF （已作），
∴（两直线平行，内错角相等）,
∵（已证）,
∴ ∠DEF （两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换）,即：．
（2）已知如右图所示，，求证
【答案】如图，过点A作,则有，,
∴．
横扫学霸
例5 如图，已知，求证：．
【答案】过点G作，则有，∵，∴，
∴．根据模型则有：,,
又∵，∴．
第二层：多拐点图形中的平行线构造
1．辅助线：当从已知条件无法直接得出结论时，可以在图中添出新的线，为几何图形性质的应用创造条件，这些添置的线叫辅助线. 辅助线起着沟通已知和未知、化分散为集中等作用.
2．复杂的多拐点平行问题
（1）多拐点锯齿模型（已知：）
结论：
（2）多拐点铅笔模型（已知：）
结论：
3．利用平行线性质直接计算角度
利用平行线性质与判定综合的角度计算
能力提升
例6
（1）如图，AB//CD，则∠AEF+∠EFG+∠FGH+∠GHC = .
【答案】540°
（2）如图所示，两直线、平行，则_____ __．
【答案】900°
（3）如图，、、、、、、之间的关系是 ．
【答案】
例7 （1）如图，已知，试说明．
【答案】如图，分别过点作的平行线，可证．
（2）如图，AB∥CD，∠E=60°，求的值．
【答案】如图，分别过点作的平行线，．
横扫学霸
例8 如图（1），已知，探索、、…、和、、…、之间的关系，并证明你的结论．
（2）如图（2），已知，探索、、、与、之间的关系，并证明你的结论．
（3）如图（3），已知，探索、、…、之间的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）；
(向右凸出的角的和＝向左凸出的角的和，,均为锐角)
（2）；注意和第⑴问的区别；
（3）
课后创新培养
课后作业
练1 （1）如图，已知直线AB∥CD，∠A=22°，∠C=40°，则∠E= ．
【答案】62°
（2）如图，、、、之间的关系是 ．
【答案】
练2 如图所示，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，求∠E的度数．
【答案】50°．
练3 (1)如图，若，判断是否成立，并证明．反之，若，可否得直线AB与CD平行？请说明．
【答案】成立，过E点作的平行线即可证明．
(2)若点E移到如图位置，已知，试判断、、之间的关系，并说明理由.
【答案】，过E点作的平行线即可证明．
练4 如图所示，，求证．
【答案】过作，如下图所示，则有，
∴，∴，
∴．
练5 已知AB∥CD，∠1=30°，∠2=50°，∠3=60°，求∠4的度数．
【答案】140°．

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