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第4讲 实数的化简与计算
课堂思维碰撞
模块一：实数的基本概念
知识导入
基本概念：
（1）平方根：如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根或者二次方根．
表示方法：一个非负数的平方根记做
（2）算术平方根：如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫做的算术平方根．
表示方法：一个非负数的算术平方根记作
（3）立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根或者三次方根，即：如果，则叫做的立方根．
表示方法：一个数的立方根记作．
注意：互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．
（4）无理数：无限不循环小数．
实数：有理数和无理数统称为实数．
总结：
实数 平方根 算术平方根 立方根
为任意实数
个数 2个（互为相反数） 1个 1个
等于本身的数 0 0和1 0、1和﹣1
夯实基础
例1
（1）的平方根是 ；11的平方根是 ；
的算术平方根是 ； ．
（2）﹣8的立方根是 ；的立方根是 ；
-17的立方根是 ．
（3）若与9的算术平方根互为相反数，那么 ．
（4）若和的和为0，则 ．
【答案】（1），，3，11；（2）；；；（3）14；（4）．
例2
（1）下列说法：①一个实数的立方根与这个数同号；②中，a一定是正数；③没有算术平方根；④带根号的数和分数统称实数；⑤正实数和负实数统称实数；⑥时，表示的算术平方根．其中错误的是 ．
（2）有下列实数：，其中是无理数的是
【答案】（1）②③④⑤；（2）．
模块二：实数的计算
知识导入
有理数范围内适用的运算律和运算法则，在实数范围内仍然可以使用．
1．实数的四则运算：
加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算在实数范围内总可以进行，且结果仍然是实数（封闭性），但只有正数和0才可以开偶次方．
2．实数的混合运算：
实数的混合运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号先算括号里面的．
能力提升
例3 加减运算
（1） （2）
（3） （4）+
（5）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
例4 混合运算
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）3．
例5
（1）下列结论正确的是（ ）
A．两数之和为正，这两数同为正
B．两数之差为负，这两数为异号
C．几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定
D．正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数
（2）下列各式的计算结果为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）D；（2）C．
例6 直接开方解方程：
（1） （2） （3）
（4） （5）
（6）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）
模块三：实数的化简
知识导入
重要公式：
（1）平方根的两个重要等式：；．
（2）立方根的重要公式：；
（3）①数a的相反数是 (a表示任意实数)；②．
能力提升
例7
（1）当时，化简= ．
（2）化简计算： ．
（3）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简
【答案】（1）3；（2）；（3）．
例8
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）1＋的整数部分是 ，小数部分是 ；
（3）若设2＋整数部分是x，小数部分是y，求x－y的值．
（4）比较大小：① ②
【答案】（1）4，；（2）2，,；（3）；（4）①＞，②＜，③＞．
课后创新培养
课后作业
练1 （1）下列运算：①；②；③；④．其中错误的是
（2）比较2，，的大小，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】（1）①②③④；（2）C．
练2 计算：（1） （2）
（3） （4）．
【答案】（1）5；（2）3；（3）；（4）3．
练3 解方程：
（1） （2） （3）
（4） （5）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
练4 （1）若，化简：．
（2）若，则化简．
【答案】（1）1；（2）．
练5 如果的小数部分为，的小数部分为，求的值
【答案】．

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