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第6讲 二元一次方程组进阶
课堂思维碰撞
第一层：二元一次方程组的基本解法
知识导入
<复习回顾>
1．二元一次方程：
（1）定义：含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程．
（2）四个必需条件：①含有两个未知数；②未知数的系数不为0；③含有未知数的项的次数是1；④等式两边都是整式．
2．二元一次方程组：
（1）定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
（2）四个必需条件：①含有两个未知数；②未知数的系数不全为0；③每个含未知数的项的次数为1；④每个方程都是整式方程．
3．二元一次方程组的基本解法：
（1）代入消元法
代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法．解法步骤如下：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如，用另一个未知数如的代数式表示出来，即写成的形式；
②代入另一个方程中，消去，得到一个关于的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出的值；
④回代求解：把求得的的值代入中求出的值，从而得出方程组的解．
⑤把这个方程组的解写成的形式．
例：解方程组．
解：由①得：③
将③代入②，得：，解之得：④
将④代入③，得：，
所以方程组的解为：．
（2）加减消元法
加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．
当二元一次方程组的两个方程中，同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法．解法步骤如下：
①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；
②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；
⑤把这个方程组的解写成的形式．
例：解方程组．
解：①×3得： ③
②×2得： ④
③－④得：，解之得：，
将代入①得：，解得：，
所以方程组的解为： ．
4．解方程方法的选择：
（1）代入消元方法的选择：
①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0=0”的形式，求不出未知数的值.
②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1 时，用代入法较简便 .
（2）加减消元方法的选择：
①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；
②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；
③某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；
④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解．
夯实基础
例1 复习回顾
（1）已知是关于的二元一次方程，则 ， ．
（2）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
（3）若二元一次方程组的解是，则 ．
【答案】（1）；（2）B；（3）
能力提升
例2 运用代入消元法解下列方程组：
【答案】；．
例3 运用加减消元法解下列方程组：
【答案】；
例4 运用适当的方法解下列方程组：
【答案】； ．
第二层：同解方程和错解方程
知识导入
同解方程：两个方程的解相同，则称它们是同解方程．
同解方程一般有两种解法：
（1）只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案．
（2）两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．
注意：两个解的数量关系有很多种，比如相等，互为相反数或2倍等等．
能力提升
例5 同解问题
（1）已知方程组的解满足，则________．
（2）已知方程组的解满足方程组，则 ， ．
（3）已知方程与同解，求、的值是多少．
（4）已知方程组和方程组的解相同，求代数的值．
【答案】（1）-5；（2）14,2；（3）；
（4）联立方程组，解得，将这组值代入剩余的两个方程中，可解得，则代数式．
例6 错解问题
（1）方程组的解是，其中的值被墨水污染了，则的值为 ．
（2）孔明同学在解方程组的过程中，错把看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知，则________，________．
（3）小明与小强同解、的方程组 ，小明除了看错①中之外，无其他错误，求得解为；小强除了看错②式中的之外，无其他错误，求得解为，试求出、之值与方程组的解．
（4）已知甲、乙两人共同解方程组，如果甲看错了方程①中的，得方程组的解为，而乙看错方程②中的，得到方程组的解是，请求的值．
【答案】（1）；（2）4，-11；（3），原方程组的解为；
（4）把代入,可得；把代入可得，
则．
课后创新培养
课后作业
练1 （1）已知关于的二元一次方程，则 ， ．
（2）二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
（3）用加减消元法解方程组时，若要消去y，最简捷的方法是（ ）
A．①×4-②×3 B．①×4+②×3
C．②×2-① D．②×2+①
【答案】（1）；（2）B；（3）D．
练2 用适当的方法解下列方程组:
⑴ ⑵
(3) (4)
【答案】⑴；⑵；（3）；（4）．
练3 小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数△和□，求这两个数分别是多少．
【答案】，．
练4 关于x，y的方程组和的解相同，求和的值，以及方程组的解．
【答案】，方程组的解为．

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