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解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件。
一般有以下几个类型：
（1）数列规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系．
（2）图形规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系，本质为数列规律。
（3）周期规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环周期，进而观察商和余数．
（4）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意代数式与序号n之间的关系．
（5）数形结合的规律：观察前n项(一般前3项)及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．
常见的数列规律：
1、等差数列：
（1）1，3，5，7，9，…， (n为正整数) ．
（2）2，4，6，8，10，…，(n为正整数)．
（3）5，8，11，14，17,…，(n为正整数)．
2、等比数列
（1）2，4，8，16，32，…，(n为正整数)．
（2）3，9，27，81，243，…，(n为正整数)．
3、平方数列
1，4，9，16，25，…，(n为正整数)．
平方数列变形：
（1）0，3，8，15，24，…，(n为正整数)．
（2）2，5，10，17，26，…，（为正整数）．
（3）4，9，16，25，36，…， (n为正整数)．
4、乘积数列
（1）2，6，12，20，30，42，…，(n为正整数)．
（2）3，8，15，24，35，…，(n为正整数)．
5、符号数列
（1），1，，1，，…，(n为正整数)．
（2）1，，1，，1，…， (n为正整数)．
总结：以上为5个常见的基本数列，题目中的规律往往是多个规律的综合，
两个特殊数列
1、斐波那契数列
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，
规律：后一项等于前两项之和
2、杨辉三角
规律：下方数字等于上方两个数字之和
数列组合规律
（1）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是________．
【答案】．
（2）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，…，中得到巴尔末公式，从而打开光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第7个数据是 ，第n个分数为 ．
【答案】，或；
（3）观察下列单项式：，，，，……根据你发现的规律写出第5个式子是 ，第8个式子是 ，第n个式子是 ．（n为正整数）．
【答案】，，
（4）一 组 按 规 律 排 列 的 式 子 ： ，其中第8个式子是 ，第n个式子是 （n为正整数）.
【答案】；.
（5）按一定规律排列的一列数：1，1，2，3，4，6，9，13，19，…按此规律排列下去，19后面的数应为 .（）
【答案】规律如下： 第n个数等于第个数与第个数之和，则19后面的数等于．
（6）如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，是某行的前两个数，当时， .
【答案】每一行从第二个数开始都等于它的左上方与右上方两个数之和．第六行左起第一个数是6，第二个数是，∴当时，.
周期规律
（1）有若干个数，第一个数记为，第二个数记为，···，第个数记为．若，从第二个数起，每个数都等于”1与它前面那个数的差的倒数”．试计算：________，________，________，________．你发现这排数有什么规律吗？由你发现的规律，请计算是多少？
【答案】，，，．
规律：每三个数一循环．
（2）让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数，计算得；
第二步：算出的各位数字之和得，计算得；
第三步：算出的各位数字之和得，计算得；
…………
以此类推则_______．
【答案】122．
（3）在很小的时候，我们就用
手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2010时对应的指头是________（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．
【答案】食指．
表格规律与等式规律
（1）正整数按图的规律排列. 请写出第20行第21列的数字： ．
【答案】420；观察可得规律：
第一行第二列的数：；
第二行第三列的数：；
第三行第四列的数：；
……
第n行第列的数：
故可得第20行第21列的数为：.
（2）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规
律，数2009应排的位置是第 行第 列．
第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 2 3
第2行 6 5 4
第3行 7 8 9
第4行 12 11 10
…
【答案】670，3；，，故在第670行第3列.
（3）观察下表，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有 次．
1 2 3 4 …
2 4 6 8 …
3 6 9 12 …
4 8 12 16 …
… … … … …
【答案】2008有1，2，4，8，251，502，1004，2008共8个因数，看所有的竖列，共出现8次。
（4）探索规律：观察下面算式，解答问题：
；；；
①请猜想_________；
②请猜想 ；
③请你用上述规律计算：
【答案】①；②；
图形规律
（1）图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间小三角形三边的中点，得到图3．
①图2有 个三角形；图3有 个三角形；
②按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形？
【答案】①5；9；②.
（2）小卫搭积木块，开始时用2块积木搭拼（第1步），然后用更多的积木块完全包围原来的积木块（第2步），如图反映前3步的田径赛案，当第10步结束后，组成图案的积木块数为________．
【答案】380（规律为）．
（3）如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．
【答案】（3）127；
（4）一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图所示），则这串珠子被盒子遮住的部分有________颗．
【答案】27．
（5）如图摆放在地上的正方体的大小均相等，现在把露在外面的表面涂成红色，从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为：
第一层：侧面个数+上面个数；
第二层：侧面个数+上面个数；
第三层：侧面个数+上面个数；
第四层：侧面个数+上面个数；
…
根据上述的计算方法，总结规律，并完成下列问题：
①求第6层有多少个面被涂成了红色？
②求第n层有多少个面被涂成了红色？（用含n的式子表示）
③若第m层有89个面被涂成红色，请你判断这是第几层？并说明理由．
【答案】①第6层：侧面个数+上面个数，
故第6层有35个面被涂成了红色．
②第n层：被涂成了红色的面的个数为：
③依题意可得：，∴
∴，故这是第15层．
其他规律
（1）一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是________，第个数是________（为正整数）．
【答案】8，．
（2）为了从500只外形相同的鸡蛋中找到唯一的一只双黄蛋，检查员将这些鸡蛋按1至500的顺序排成一列，第一次先从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋的原来位置上又按1-250编号（即原来的2号变为1号，原来的4号变成2号，…，原来的500号变成250号）．又从中取出新序号为单数的蛋进行检查，也没有发现双黄蛋，…，如此下去，检查到最后的一个是双黄蛋，则这只双黄蛋最初的序号是________．
【答案】256．
【解析】第一次取出的是单号的蛋，剩下的蛋的序号是2的倍数，因为原来是500只，所以还剩250只；
第二次取出后，剩下的蛋的序号是4的倍数，所以还剩125只；
第三次取出后，剩下的蛋的序号是8的倍数，所以还剩62只；
第四次取出后，剩下的蛋的序号是16的倍数，所以还剩31只；
第五次取出后，剩下的蛋的序号是32的倍数，所以还剩15只；
第六次取出后，剩下的蛋的序号是64的倍数，所以还剩7只；
第七次取出后，剩下的蛋的序号是128的倍数，所以还剩3只；
第八次取出后，剩下的蛋的序号是256的倍数，只剩1只．
故这只双黄蛋的序号就是256．
解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．
（1）如图是一个程序运算，当输入值为时，输出的数值为________．
【答案】63．
（2）下列程序框图的运算结果为 ．
【答案】20
按下面的程序计算，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为853，试求出满足条件的的所有值．
【答案】3、13、53、213．
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算．
注意事项：（1）新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序；
（2）每个新定义的运算符号只能在本题中实用．
（1）用“※”定义新运算：对于任意有理数，都有，例如，那么________；当m为有理数时，
________．
【答案】52，
（2）现定义两种新运算，对于任意两个整数，都有：，
.试求：的值.
【答案】6
（3）对于正整数、、、，规定，若，则 ．
【答案】3
（4）在有理数的原有运算法则中我们补充定义新运算“※”如下：当时，；当时，．则当时，的值为________．
【答案】．
阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：一般的，n个相同的因数相乘：记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般的，若（且，），则n叫做以为底的对数，记为（即），如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
问题：
（1）计算以下各对数的值：
________，_______，_______；
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？
（3）由（2）的结果，你能归纳一个一般性的结论吗？
________（且，，）．
【答案】（1），，；
（2），；
（3）由（2）的结果，你能归纳一个一般性的结论吗？
（且，，）．
（1）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的．那么这一组数的第个数是________．
【答案】．
（2）一组按规律排列的式子：，，，，…，则第个式子是__________（为正整数）．
【答案】．
（1）下面是由自然数排成的数表，分为A，B，C三列，按这个规律，1999在第 列.
A B C
1 2 3
6 5 4
7 8 9
12 11 10
13…
【答案】A．
（2）如图，每个图案都由若干个棋子摆成．依照此规律，第n个图案中棋子的总
个数可用含n的代数式表示为________．
【答案】．
观察下列等式：
……………………
（1）想一想：等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？
（2）试一试：________．
（3）猜一猜：可得出什么规律．（用带字母的等式表示）
【答案】（1）左边各项幂的底数等于右边幂的底数；
（2）；
（3）．
有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是7，可发现第1次输出的
结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是________，依次继续下去，第2013次输出的结果是_______．
【答案】3；3．
用“☆”定义新运算：对于任意实数，都有．例如
，那么________；当m为实数时， ________．
【答案】8，80．

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