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(共27张PPT)第二课时　函数的最大(小)值
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．
[问题]　(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？
(2)设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？
(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f(x)≤M f(x)≥M
x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
对函数最大值和最小值定义的再理解
(1)M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；
(2)最大(小)值定义中的“ ”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．　　　　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何函数都有最大(小)值．(　　)
(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)或f(b)．(　　)
(3)函数的最大值一定比最小值大．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________，________．
答案：－1　2
3．函数f(x)＝，x∈[2，4]，则f(x)的最大值为______，最小值为________．
答案：1　
图象法求函数的最值
[例1]　已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
[解]　y＝－|x－1|＋2＝
x＋1，x<1，))函数图象如图所示．
由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值．所以其值域为(－∞，2]．
用图象法求最值的3步骤
　　　　
[跟踪训练]
1．函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A．－2，f(2)　　　　　　　　 B．2，f(2)
C．－2，f(5) D．2，f(5)
解析：选C　由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)．
2．已知函数f(x)＝
x，1≤x≤2.))
(1)画出f(x)的图象；
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值．
解：(1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值．
单调性法求函数的最值
[例2]　(链接教科书第81页例5)已知函数f(x)＝8＋.
(1)证明：f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(2)求f(x)在[2，4]上的最值．
[解]　(1)证明： x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∵x2>x1>0，∴x2－x1>0，x1x2>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)可知f(x)在[2，4]上单调递减，
∴当x∈[2，4]时，f(2)≥f(x)≥f(4)．
又f(2)＝8＋＝，f(4)＝8＋＝，
∴f(x)在[2，4]上的最小值为，最大值为.
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性；
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)；
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．　　　　
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝，x∈[3，5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)f(x)是增函数，证明如下：
x1，x2∈[3，5]，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝，
因为3≤x1所以x1－x2＜0，(x1＋2)(x2＋2)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以f(x)在[3，5]上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，
则f(x)max＝f(5)＝，
f(x)min＝f(3)＝.
实际应用中的最值问题
[例3]　(链接教科书第80页例4)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时所得年利润最大？最大年利润是多少？
[解]　(1)当0y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N*)．
(2)当020时，160－x<140，故x＝16时所得年利润最大，最大年利润为156万元．
即当该工厂年产量为16件时所得年利润最大，最大年利润为156万元．
求解实际问题的4步骤
　　　　
[跟踪训练]
1．用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为(　　)
A．3 m B．4 m
C. m D. m
解析：选A　设隔墙的长度为x m，场地面积为S m2，则S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，S有最大值，为18，故隔墙的长度为3 m时，矩形场地的面积最大．故选A.
2．近年来，“共享单车”的出现为人们“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每座城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入资金为x(单位：万元)，两城市的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；
(2)试问如何安排甲、乙两座城市的投资，才能使公司总收益最大？
解：(1)当x＝128时，此时甲城市投资128万元，乙城市投资112万元，所以总收益f(128)＝4－6＋×112＋2＝88(万元)．
(2)设甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，
依题意得解得80≤x≤160.
当80≤x<120时，120<240－x≤160，
f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16.
当120≤x≤160时，80≤240－x≤120，
f(x)＝4－6＋(240－x)＋2
＝－x＋4＋56.
令t＝，则t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋4t＋56
＝－(t－8)2＋88，
当t＝8，即x＝128时，y的最大值为88.
因为88>26＋16，所以当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，公司总收益最大，且最大收益为88万元．
1．函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为(　　)
A．f(2)，f(－2) B．f，f(－1)
C．f，f D．f，f(0)
解析：选C　根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x＝－时，有最小值f；当x＝时，有最大值f.
2．函数y＝x＋的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[4，＋∞) D．[，＋∞)
解析：选B　函数y＝x＋在[2，＋∞)上单调递增，所以其最小值为2，其值域为[2，＋∞)．
3．函数y＝的最大值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C　当x<1时，函数y＝x＋3单调递增，有y<4，无最大值；当x≥1时，函数y＝－x＋6单调递减，在x＝1处取得最大值5.所以该函数的最大值为5.
4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，求边长x的值．
解：设矩形花园的边长x的邻边长为y，则＝，即y＝40－x，由此可知，矩形花园的面积S＝x·(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，所以当x＝20 m时，面积最大．所以边长x的值为20 m.
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7(共37张PPT)单调性与最大(小)值
新课程标准解读 核心素养
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性 数学抽象
2.理解单调性的作用和实际意义 逻辑推理、数学运算
3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义 数学抽象、数学运算
第一课时　函数的单调性
德国著名的心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了有趣的数据．数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”，如图：
[问题]　(1)当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？
(2)“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学的观点进行解释？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　增函数、减函数
前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D I
条件 x1，x2∈D，x1都有f(x1)f(x2) 都有f(x1)f(x2)
图示
结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减
特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是函数
1．对区间D的要求
函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分．
2．x1，x2的三个特征
(1)同区间性，即x1，x2∈D；
(2)任意性，即不可用区间D上的两个特殊值代替x1，x2；
(3)有序性，即需要区分大小，通常规定x11．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性．(　　)
(2)因为f(－1)(3)定义在(a，b)上的函数f(x)，如果 x1，x2∈(a，b)，当x1(4)如果函数f(x)在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1①f(x)＝x2；②f(x)＝；
③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1.
答案：②
知识点二　函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
1．区间D一定是函数的定义域吗？
提示：不一定，可能是定义域的一部分．
2．函数y＝在定义域上是减函数吗？
提示：y＝在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)．
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是________．
答案：[－3，1]
2．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________．
答案：(－∞，－1]
3．若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为________．
答案：(0，＋∞)
函数单调性的判定与证明
[例1]　(链接教科书第78页例1)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上单调性，并用定义加以证明．
[解]　(1)由x2－1≠0，得x≠±1，
所以函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠±1}．
(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减．
证明： x1，x2∈(1，＋∞)，且x1有f(x2)－f(x1)＝eq \f(1,x－1)－eq \f(1,x－1)＝eq \f(（x1－x2）（x1＋x2）,（x－1）（x－1）).
由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，
所以x－1>0，x－1>0，x1＋x2>0.
又x1f(x2)，
所以，函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减．
利用定义证明函数单调性的4步骤
　　　　
[跟踪训练]
1．(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　)
A．y＝|x|＋1　　　　　 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x＋
解析：选CD　y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C、D.
2．证明函数f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减．
证明：设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，
且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝
(x1－x2)＝.
∵0∴x1－x2<0，0∴>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减.
求函数的单调区间
[例2]　画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
[解]　
y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0，1]上单调递增，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上单调递减．所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调减区间是(－1，0)和(1，＋∞)．
[母题探究]
(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”变为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？
解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1，1]，[3，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－1)，(1，3)．
求函数单调区间的2种方法
法一：定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；
法二：图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．
[注意]　(1)如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上单调性相同，则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接；
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．　　　　
[跟踪训练]
1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1，4]上单调递增
C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D．函数在区间[－5，5]上没有单调性
解析：选ABD　若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不能用“∪”连接．故选A、B、D.
2．求函数f(x)＝的单调减区间．
解：函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
函数单调性的应用
[例3]　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________；
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
[解析]　(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上单调递增，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
[答案]　(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1)
[母题探究]
1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．
解：由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．
解：由题意可知，解得x>.
∴x的取值范围为.
1．利用单调性比较大小或解不等式的方法
(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法
(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；
(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．　　　　
[跟踪训练]
1．若函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是(　　)
A．fB．f(－1)C．f(－2)D．f(－2)解析：选D　∵f(x)在(－∞，－1]上是增函数，
且－2<－<－1，
∴f(－2)2．若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)解析：依题意，得不等式组
解得答案：
复合函数y＝f(g(x))的单调性
[典例]　已知函数f(x)＝，x∈[2，6]．
(1)判断此函数在x∈[2，6]上的单调性；
(2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤．
提示：(1)函数f(x)＝可分解为函数y＝和函数u＝x－1.
因为x∈[2，6]，所以u∈[1，5]，显然函数u＝x－1在x∈[2，6]上单调递增，函数y＝在u∈[1，5]上单调递减，由复合函数的单调性，知f(x)＝在x∈[2，6]上单调递减．
(2)解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性．
结论：复合函数的单调性：一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，单调性如表所示，简记为“同增异减”．
g(x) f(x) f(g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
[迁移应用]
判断函数f(x)＝，x∈[3，8]上的单调性．
解：∵函数f(x)＝＝1＋，可分解为函数f(x)＝1＋和函数u＝x－1.
因为x∈[3，8]，所以u∈[2，7]，显然函数u＝x－1，在x∈[3，8]上单调递增，函数f(u)＝1＋在u∈[2，7]上单调递减，由复合函数的单调性，知f(x)＝在x∈[3，8]上单调递减．
1.如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选B　由题图，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.
2．函数f(x)在R上是减函数，则有(　　)
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
解析：选C　因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．
3．(多选)下列四个函数中在(－∞，0]上单调递减的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝
解析：选AD　通过观察各函数的图象(图略)，易知f(x)＝－x2，f(x)＝x＋1在(－∞，0]上单调递增，f(x)＝x2－2x，f(x)＝在(－∞，0]上单调递减．
4．已知函数f(x)＝.
(1)求f(f(3))的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义法证明．
解：(1)因为f(3)＝＝，
所以f(f(3))＝f＝＝3.
(2)函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
证明： x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝，
由x1，x2∈(1，＋∞)，得(x1－1)(x2－1)>0，
由x10，所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．由单调性的定义可知，f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减．
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10(共21张PPT)第二课时　函数奇偶性的应用(习题课)
利用函数的奇偶性求解析式
角度一　定义法求函数解析式
[例1]　(链接教科书第86页习题11题)已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1.
(1)求f(－1)；
(2)求f(x)的解析式．
[解]　(1)因为函数f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－(－2×12＋3×1＋1)＝－2.
(2)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函数，则f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝2x2＋3x－1.当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，
则f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
所以f(x)的解析式为f(x)＝
[母题探究]
(变条件)若将本例中的“奇”改为“偶”，“x>0”改为“x≥0”，其他条件不变，求f(x)的解析式．
解：当x<0时，－x>0，此时f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝－2x2－3x＋1，所以f(x)的解析式为
f(x)＝
利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．　　　　
角度二　方程组法求函数解析式
[例2]　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
[解]　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，把x换为－x，构造方程组求解．　　　　
[跟踪训练]
1．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于(　　)
A．－26　　　　　　　　 B．－18
C．－10 D．10
解析：选A　法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
法二：由已知条件，得
①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.
又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26.
2．已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________．
解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，因为函数f(x)为R上的偶函数，故f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)．
答案：x(x＋1)
利用函数的单调性和奇偶性比较大小
[例3]　已知偶函数f(x)的定义域为R，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)[解析]　∵f(x)在R上是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．∵2<3<π，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴f(2)[答案]　A
[母题探究]
1．(变条件)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系如何？
解：因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以有f(2)>f(3)>f(π)．又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，从而有f(－2)>f(－3)>f(π)．
2．(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小．
解：因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数在R上是增函数，
因为－3<－2<π，所以f(－3)利用函数的奇偶性与单调性比较大小的方法
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．　　　　
[跟踪训练]
已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为(　　)
A．f(1)>f(－10)
B．f(1)C．f(1)＝f(－10)
D．f(1)和f(－10)关系不定
解析：选A　∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10，∴f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．
利用函数的单调性和奇偶性解不等式
[例4]　已知定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)[解]　因为f(x)在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调递减，所以f(x)在区间[－2，2]上单调递减．
又f(1－m)即解得－1≤m<.
故实数m的取值范围是.
[母题探究]
(变条件)若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在区间[－2，0]上单调递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增，
原不等式可化为f(|1－m|)故可得即
解得利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
(2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题．
[注意]　在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)<0，则f(x－1)[跟踪训练]
已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围．
解：由f(1－a2)＋f(1－a)<0，
得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1，1]上是奇函数，
∴－f(1－a)＝f(a－1)，
∴f(1－a2)又∵f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴解得
∴0≤a<1，∴a的取值范围是[0，1)．
1．已知y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和是(　　)
A．4 B．2
C．1 D．0
解析：选D　因为y＝f(x)是偶函数，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝0的所有实数根之和为0.
2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＝x3，则f(2)的值是(　　)
A．8 B．－8
C. D．－
解析：选B　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2)＝f(－2)＝(－2)3＝－8，故选B.
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x－x2.求当x<0时，f(x)的解析式．
解：当x<0时，－x>0，
于是f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(－2x－x2)＝2x＋x2，
即f(x)＝2x＋x2(x<0)．
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5(共27张PPT)奇偶性
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 数学抽象
2.了解奇偶函数图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用 直观想象、逻辑推理
第一课时　奇偶性的概念
生活因对称而美丽，下面的图形一定会给你美的感受吧．数学上也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性，如二次函数y＝x2的图象关于y轴对称，反比例函数y＝的图象关于原点对称．
[问题]　我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象的对称性反映了函数的什么性质呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　函数的奇偶性
偶函数 奇函数
前提 函数f(x)的定义域为I， x∈I，都有－x∈I
条件 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
定义域特征 关于原点对称
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称
对函数奇偶性的再理解
(1)定义域I具有对称性，即 x∈I，－x∈I.定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数；
(2)当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系．特别地，若f(－x)≠±f(x) f(x)是非奇非偶函数；若f(－x)＝±f(x) f(x)既是奇函数又是偶函数．　　　　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)奇函数的图象一定过原点．(　　)
(2)若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)是奇函数．(　　)
(3)若函数f(x)的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数，若关于原点对称，则该函数是奇函数．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．下列函数是偶函数的是________(填序号)．
①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝；④y＝x2，x∈[0，1]．
答案：②
3．若函数y＝f(x)，x∈[－1，a]是奇函数，则a＝________．
答案：1
4．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________．
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.
答案：－2　0
判断函数的奇偶性
[例1]　(链接教科书第84页例6)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[解]　(1)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称．f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
　　　　
(2)图象法
[注意]　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．　　　　
[跟踪训练]
1．下列四个函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝
C．y＝x2－2x D．y＝|x|
解析：选D　由题易知A为奇函数；B中，函数的定义域为{x|x≠1}，故y＝为非奇非偶函数；C中，f(－x)≠－f(x)，f(x)≠f(－x)，故y＝x2－2x为非奇非偶函数；D中，函数的定义域为R，f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，故y＝|x|为偶函数．
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝
解：(1)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)因函数f(x)＝
画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．
奇偶函数的图象问题
[例2]　(链接教科书第85页练习1题)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间．
[解]　(1)由题意完整函数图象如图：
(2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．
1．巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性；
(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上的图象；
(3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称作出函数在(－∞，0](或[0，＋∞))上的图象．
2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略
(1)应用类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式等问题；
(2)处理策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察求解．　　　　
[跟踪训练]
已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5，0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值范围．
解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值范围为(－2，0)∪(2，5)．
利用函数奇偶性求参数
[例3]　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________．　
[解析]　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
[答案]　(1)　0　(2)0
利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数；
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．　　　　
[跟踪训练]
1．若函数f(x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，则a＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选D　∵f(x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，∴f(－x)＝f(x)对于任意x∈R都成立．∴f(－1)＝f(1)，即2－|a－3|＝2－|a＋3|，解得a＝0.故选D.
2．已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，
即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.
答案：1
1．下列函数不具备奇偶性的是(　　)
A．y＝－x B．y＝－
C．y＝ D．y＝x2＋2
解析：选C　y＝－x与y＝－都是奇函数，y＝x2＋2是偶函数，y＝的定义域为{x∈R|x≠－1}，不关于原点对称，故y＝既不是奇函数也不是偶函数，故选C.
2．(2021·江苏淮安一中月考)如图，给出奇函数y＝f(x)的部分图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　)
A．－2 B．2
C．1 D．0
解析：选A　f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.
3．函数f(x)＝－x的图象(　　)
A．关于y轴对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝－x对称
解析：选C　∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于坐标原点对称．
4．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
解：(1)函数f(x)的定义域为R.
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)的定义域是R.
因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
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