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(共18张PPT)对数函数的概念
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例了解对数函数的概念 数学抽象、数学运算
[问题]　(1)已知细胞分裂个数y与分裂次数x满足y＝2x，那么反过来，x是关于y的函数吗？
(2)如果用x表示自变量，用y表示函数，那么这个函数是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，定义域是(0，＋∞)．
对数函数的解析式有何特征？
提示：在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数函数的定义域为R.(　　)
(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数．(　　)
答案：(1)×　(2)√
2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(　　)
A．[1，＋∞)　　　　　 B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
答案：B　
3．若函数f(x)＝(a－1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
答案：2
对数函数的概念
[例1]　指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；
(3)y＝logx5；(4)y＝log2x＋1.
[解]　(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式log2x后又加上1，不是对数函数．
判断一个函数是对数函数的依据
　　　　
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
答案：1
2．若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2，1)，则f(8)＝________．
解析：依题意知1＝loga2，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x，
故f(8)＝log28＝3.
答案：3
对数型函数的定义域
[例2]　(链接教科书第130页例1)求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝.
[解]　(1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域为(－∞，1)．
(2)要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域为(－∞，3)∪(3，4)．
求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0；
(2)根指数为偶数时，被开方数非负；
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.　　　　
[跟踪训练]
求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
解：(1)要使函数有意义，需满足
x－3≠0，))解得x>2且x≠3.
∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足
x＋1>0，
x＋1≠1，))解得－1∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4)．
对数型函数的实际应用
[例3]　(链接教科书第131页例2)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
[解]　(1)由题意知y＝
1.5＋2log5（x－9），x>10.))
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
即log5(x－9)＝2，
∴x－9＝52，解得x＝34.
∴老江的销售利润是34万元．
实际问题中对数函数模型要建模准确，计算时充分利用对数运算性质，注意变量的实际意义．　　　　
[跟踪训练]
某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　)
A．300只　　　　　 B．400只
C．500只 D．600只
解析：选A　由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
1．(多选)下列函数中为对数函数的是(　　)
A．y＝log(－x) B．y＝2log4(x－1)
C．y＝ln x D．y＝log(a2＋a＋2)x(a是常数)
解析：选CD　对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，y＝2log4(x－1)＝log2(x－1)，真数是x－1，不是x，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝＋>1，故D是对数函数．
2．已知对数函数的图象过点M(9，－2)，则此对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log2x B．y＝log3x
C．y＝logx D．y＝logx
解析：选C　设函数f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)，
∵对数函数的图象过点M(9，－2)，
∴－2＝loga9，∴a－2＝9，a>0，
解得a＝.
∴此对数函数的解析式为y＝logx.故选C.
3．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若其图象过点(6，3)，则f(2)的值为(　　)
A．－2 B．2
C. D．－
解析：选B　将点(6，3)代入f(x)＝loga(x＋2)中，
得3＝loga(6＋2)＝loga8，即a3＝8，∴a＝2，
∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log2(2＋2)＝2.
4．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝.
解：(1)要使函数式有意义，需解得x>1，且x≠2.
故函数y＝的定义域是{x|x>1，且x≠2}．
(2)要使函数式有意义，需即解得x≥4.
故函数y＝的定义域是{x|x≥4}．
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4(共19张PPT)第二课时　对数函数的图象和性质的应用(习题课)
对数型函数的单调性
[例1]　(1)函数y＝log2|x－2|在区间(2，＋∞)上的单调性为(　　)
A．先增后减　　　　　　　 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
(2)函数y＝lg(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是________．
[解析]　(1)当x>2时，函数f(x)＝log2|x－2|＝log2(x－2)．又函数y＝log2u是增函数，u＝x－2在区间(2，＋∞)上也是增函数，故y＝log2|x－2|在区间(2，＋∞)上是一个单调增函数，故选C.
(2)由－x2＋2x＋3>0得－1设u(x)＝－x2＋2x＋3，
则u(x)在区间(－1，1]上单调递增，在区间[1，3)上单调递减．
所以函数y＝lg(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是(－1，1]．
[答案]　(1)C　(2)(－1，1]
形如y＝logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0，
当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致；
当00的前提下与y＝f(x)的单调性相反．
[注意]　研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．　　　　
[跟踪训练]
1．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3＞1，解得a＞2.
答案：(2，＋∞)
2．讨论函数y＝loga(3x－1)的单调性．
解：由3x－1>0，得函数的定义域为.
当a>1，x>时，
函数f(x)＝loga(3x－1)为增函数；
当0时，
函数f(x)＝loga(3x－1)为减函数．
对数型函数的最值与值域
[例2]　求下列函数的值域：
(1)y＝log(－x2＋2x＋1)；
(2)f(x)＝log2·log2(1≤x≤4)．
[解]　(1)设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.
∵y＝logt为减函数，且0(2)∵f(x)＝log2·log2＝(log2x－2)·(log2x－1)
＝－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，
即x＝2＝2时，f(x)取最小值－；
当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值2，
∴函数f(x)的值域是.
求对数型函数值域的方法
(1)求对数型函数的值域，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解；
(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，并结合函数的单调性求解，当函数较为复杂时，可对对数型函数进行换元，把复杂问题简单化．　　　　
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)＝3logx的定义域为[3，9]，则函数f(x)的值域是________．
解析：∵y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，
∴当3≤x≤9时，log9≤logx≤log3，
即－2≤logx≤－1，
∴－6≤3logx≤－3，
∴函数f(x)的值域是[－6，－3]．
答案：[－6，－3]
2．函数y＝2x－log(x＋1)在区间[0，1]上的最大值为________，最小值为________．
解析：因为y＝2x在[0，1]上单调递增，y＝log(x＋1)在[0，1]上单调递减，所以y＝f(x)＝2x－log(x＋1)在[0，1]上单调递增，所以y的最大值为f(1)＝21－log2＝2－(－1)＝3，最小值为f(0)＝20－log1＝1－0＝1.
答案：3　1
对数函数性质的综合应用
[例3]　已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间．
[解]　(1)要使此函数有意义，则有
x－1>0))或
x－1<0，))
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga，
令u＝1＋，则函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，
所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0解决对数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分，因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧；
(2)解答问题时应注意定义域优先的原则；
(3)由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需分类讨论．　　　　
[跟踪训练]
已知f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域．
解：(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0因此log4(4x1－1)即f(x1)(3)因为f(x)在区间上递增，
又f＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在上的值域为[0，log415]．
1．已知函数f(x)＝2x的反函数为y＝g(x)，则g的值为(　　)
A．－1 B．1
C．12 D．2
解析：选A　∵由y＝f(x)＝2x，得x＝log2y，
∴原函数的反函数为g(x)＝log2x，
则g＝log2＝－1.故选A.
2．已知函数f(x)＝log2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是(　　)
A．[0，2) B．(0，＋∞)
C．(0，2) D．[0，＋∞)
解析：选B　f(x)＝log2(1＋2－x)，∵1＋2－x>1，
∴log2(1＋2－x)>0，∴函数f(x)的值域是(0，＋∞)，故选B.
3．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析：因为y＝log5x与y＝2x＋1均为增函数，故函数f(x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调增区间是.
答案：
4．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0，1]，求m的取值范围．
解：作出f(x)＝|logx|的图象(如图)可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.
∴m的取值范围为[1，2]．
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4(共26张PPT)对数函数的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象 直观想象
2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点 直观想象、逻辑推理
3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1) 数学抽象
第一课时　对数函数的图象和性质
观察下图，回答下面的问题．
[问题]　(1)从图①上看，函数y＝log2x与y＝logx的图象有什么关系？函数y＝logax与y＝logx(a>0，且a≠1)呢？
(2)从图②上看，对数函数的图象的分布与底数有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　对数函数的图象及性质
a的范围 0＜a＜1 a＞1
图　象
性　　质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
定点 (1，0)，即x＝时，y＝
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
对数函数图象的再理解
(1)对数函数的图象永远在y轴的右侧，对数函数的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在第一、四象限内；
(2)①若01且x>1，则有y>0；
②若01，或a>1且01．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝log0.3x是减函数．(　　)
(2)对数函数的图象一定在y轴右侧．(　　)
答案：(1)√　(2)√
2．下列所给函数图象可以是y＝log2x的图象的是(　　)
答案：C
3．函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)恒过________点．
答案：(0，0)
知识点二　反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．两者的定义域和值域正好互换．
反函数性质的再理解
(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称；
(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．　　　　
1．函数f(x)＝的反函数是________．
答案：f(x)＝logx
2．函数g(x)＝log8x的反函数是________．
答案：g(x)＝8x
3．已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)
答案：增
对数型函数的图象
[例1]　(1)当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
(1)[解析]　y＝a－x＝，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0)．故选C.
[答案]　C
(2)[解]　因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
有关对数型函数图象的判断及应用技巧
(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)；
(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法；
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．　　　　
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过点(　　)
A．(1，1)　　　　　　　 B．(1，2)
C．(2，1) D．(2，2)
解析：选C　令x－1＝1，即x＝2，
得f(2)＝loga1＋1＝1，因此f(x)的图象恒过点(2，1)．故选C.
2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，，，，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是________．
解析：当a>1时，对数函数y＝logax的图象是上升的；当0答案：，，，
3．作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象．
解：第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
比较对数值的大小
[例2]　(链接教科书第133页例3)比较下列各题中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)．
[解]　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.9<2，所以log31.9(2)因为log23>log21＝0，log0.32log0.32.
(3)π>3.14，当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
有logaπ>loga3.14；
当0有logaπ综上可得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；
(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．　　　　
[跟踪训练]
比较下列各组对数值的大小：
(1)log与log；
(2)3log45与2log23；
(3)log0.3与log3；
解：(1)因为y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，且<，所以log>log.
(2)∵3log45＝log4125，2log23＝log29＝log481，且函数y＝log4x在区间(0，＋∞)上增函数，又125>81，所以3log45>2log23.
(3)由对数的性质知log0.3>0>log3，所以log0.3>log3.
求解对数不等式
[例3]　解不等式：
(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；
(2)loga(x－4)－loga(2x－1)＞0(a＞0且a≠1)．
[解]　(1)原不等式等价于
解得＜x≤3.
所以不等式的解集为.
(2)原不等式化为loga(x－4)＞loga(2x－1)．
当a＞1时，
不等式等价于 无解．
当0＜a＜1时，不等式等价于解得x＞4.
综上可知，当a＞1时，解集为 ；当0＜a＜1时，解集为{x|x＞4}．
常见对数不等式的]2种解法
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．　　　　
[跟踪训练]
1．求满足不等式log3x<1的x的取值集合．
解：∵log3x<1＝log33，
∴x满足的条件为
即0∴x的取值集合为{x|02．已知log0.7(2x)解：∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.7(2x)得
解得x>1.
∴x的取值范围是(1，＋∞)．
1．函数y＝loga(x－2)(a＞0且a≠1)的图象恒过的定点是(　　)
A．(1，0)　　 B．(2，0)　　　
C．(3，0)　　 D．(4，0)
解析：选C　令x－2＝1，得x＝3.当x＝3时，y＝0，故函数的图象恒过定点(3，0)．
2.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A．0＜a＜b＜1
B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1
D．b＞a＞1
解析：选B　作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
3．已知loga>1，求a的取值范围．
解：由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解；
②当0所以a的取值范围是.
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7(共23张PPT)不同函数增长的差异
新课程标准解读 核心素养
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型 数学抽象
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义 逻辑推理
3.能根据具体问题选择合适的函数模型 数学建模
1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已．他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大利亚人才算松了一口气．
[问题]　想想看，澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75亿只？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　三种常见函数模型的增长差异
　　函数性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度
增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
三种函数模型的再理解
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．　　　　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(　　)
(2)函数y＝log2x增长的速度越来越慢．(　　)
(3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A．y＝ex　　　　　　 B．y＝ln x
C．y＝2x D．y＝e－x
答案：A
3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　)
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b
解析：选B　由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.
几类函数模型增长的差异
[例1]　(链接教科书第139页练习1题)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
[解析]　以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
[答案]　y2
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变；
(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”；
(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓；
(4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．　　　　
[跟踪训练]
下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是________．
①y＝3×1.04x；②y＝20＋x10；
③y＝40＋lg(x＋1)；④y＝80.
解析：结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大．
答案：①
几类函数模型的比较
[例2]　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 021)，g(2 021)的大小．
[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
所以1x2，
从图象上可以看出当x1所以f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 021)>g(2 021)；
又因为g(2 021)>g(6)，
所以f(2 021)>g(2 021)>g(6)>f(6)．
不同函数的变化规律
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．　　　　
[跟踪训练]
函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示：
(1)指出曲线C1，C2分别对应题中哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
函数模型的选择问题
[例3]　某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
[解]　根据题意可列方程组
解得
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①式与②式得
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型；
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论；
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．　　　　
[跟踪训练]
某人对东北一种松树生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
t(年) 1 2 3 4 5 6
h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
解：据表中数据作出散点如图．由图可以看出与一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．
不妨将(2，1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.
故可用函数h＝log3(t＋1)来刻画h与t的关系．当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米．
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A．y＝6x　　　　　　 B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
解析：选B　D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析：选D　将x＝0.50代入计算，可以排除A；将x＝2.01代入计算，可以排除B、C.故选D.
3.向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是(　　)
解析：选B　水深h为自变量，随着h的增大，A项中V的增长速度越来越快，C项中先慢后快，D项中增长速度不变，只有B项中V的增长速度越来越慢．
4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)＞g(x)．　
答案：f(x)＞g(x)
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