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(共29张PPT)函数的零点与方程的解
新课程标准解读 核心素养
1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系 数学抽象、直观想象
2.了解函数零点存在定理，会判断函数零点的个数 直观想象、逻辑推理
路边有一条河，小明从A点走到了B点．观察下列两幅图．
[问题]　推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　函数的零点
1．概念：使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
1．函数的零点是实数，而不是点．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0)．
2．并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝，y＝x2＋1均没有零点．
3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．　　　　
1．函数f(x)＝log2x的零点是(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
答案：A
2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个．
答案：3
知识点二　函数零点存在定理
1．条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0；
2．结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数．
2．函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0
提示：不一定，如f(x)＝x2在区间(－1，1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则函数在区间(a，b)内有唯一的零点．(　　)
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上f(a)·f(b)>0，则在区间(a，b)内一定没有零点．(　　)
(3)“f(a)f(b)<0”是“函数y＝f(x)(f(x)的图象在[a，b]上是连续不断的)在区间(a，b)内至少有一个零点”的充分不必要条件．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)
A．(1，＋∞) B.
C. D.
答案：B
求函数的零点
[例1]　(1)求函数f(x)＝的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0和－.
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．　　　　
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)
A．－，－1　　　　　　 B.，1
C.，－1 D．－，1
解析：选B　方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.
2．若f(x)＝
1，－1解析：求g(x)的零点即求f(x)＝x的根，
∴
x2－x－1＝x))或
1＝x，))
解得x＝1＋或x＝1.
∴g(x)的零点为1＋，1.
答案：1＋，1
函数零点个数问题
角度一　判断函数零点个数
[例2]　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
[解]　法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．
故函数f(x)有且只有一个零点．
法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
判断函数零点个数的4种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点；
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数；
(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数；
(4)转化成两个函数图象的交点问题．　　　　
角度二　根据零点个数求参数范围
[例3]　已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1，0) D．[－1，0)
[解析]　当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，
∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
[答案]　D
已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．　　　　
[跟踪训练]
若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，
令f(x)＝0得a＝2x，
因为0<2x≤20＝1，所以0所以实数a的取值范围是(0，1]．
答案：(0，1]
函数零点所在区间问题
[例4]　(链接教科书第144页练习2题)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
[解析]　法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，
∴f(x)在(0，1)内有零点．
法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0，1)．
[答案]　C　
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点；
(3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．　　　　
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝ln x＋x－3的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选C　∵f(1)＝ln 1＋1－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋2－3＝ln 2－1<0，
f(3)＝ln 3＋3－3＝ln 3>0，且f(x)的图象是连续不断的，
∴f(x)在(2，3)内有零点，故选C.
2．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　　 B．[2，＋∞)
C. D.
解析：选D　由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，∴实数a的取值范围是.
1．若f(x)＝，则函数y＝f(4x)－x的零点是(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
解析：选A　根据函数零点的概念，函数y＝f(4x)－x的零点就是方程f(4x)－x＝0的根，解方程f(4x)－x＝0，即－x＝0，得x＝，故选A.
2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．3
解析：选C　因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.
3．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)
B．函数f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1
C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点
D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
解析：选BD　根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．因此B，D正确．
4．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选B　由题表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又函数f(x)的图象是连续不断的曲线，故f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点．
5．函数f(x)＝2x＋2x在下列区间内一定有零点的是(　　)
A．[－1，0] B．[－3，－2]
C．[1，2] D．[3，4]
解析：选A　函数f(x)＝2x＋2x是单调递增函数，且f(－1)＝－2＝－<0，f(0)＝1>0，由函数零点存在定理可知，函数在区间[－1，0]上一定存在零点.
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6(共27张PPT)用二分法求方程的近似解
新课程标准解读 核心素养
1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图 数学抽象
2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解 数学运算
3.了解用二分法求方程近似解具有一般性 数学运算、逻辑推理
电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”．例如参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”．参赛者又猜50元，主持人说“低了”．参赛者再猜80元，主持人说“低了”．这样一直猜下去，直到猜中为止．
[问题]　(1)我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？
(2)这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　二分法
条件 (1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断；(2)在区间端点的函数值满足f(a)f(b)<0
方法 不断地把函数y＝f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值
用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值不异号)不适用．　　　　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．(　　)
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．(　　)
答案：(1)×　(2)×
2．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是________．
①f(x)＝3x；　②f(x)＝x2；
③f(x)＝ln x; ④f(x)＝|x－1|.
答案：②④
知识点二　二分法求函数零点近似值的步骤
二分法求函数零点近似值口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；
同号去，异号算，零点落在异号间；
周而复始怎么办？精确度上来判断．　　　　
1．用二分法求方程的近似解，精确度为ε，则终止条件为(　　)
A．|x1－x2|>ε　　　　　　 B．|x1－x2|<ε
C．x1<ε答案：B　
2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案：(0，0.5)　f(0.25)
二分法概念的理解
[例1]　(链接教科书第155页习题1题)(1)下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是(　　)
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
[解析]　(1)根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D.
(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2)．
[答案]　(1)D　(2)(1，2)
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．　　　　
[跟踪训练]
在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A．[1，4]　　　　　　　 B．[－2，1]
C. D.
解析：选D　∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.
用二分法求方程的近似解
[例2]　(链接教科书第146页例2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
[解]　令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解．
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5，0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625，0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
(0.687 5，0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
[母题探究]
(变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？
解：在本例的基础上，取区间(0.687 5，0.75)的中点x＝0.718 75，因为f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个近似解．
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)；
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．　　　　
[跟踪训练]
用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据如下表：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
解：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＝－1<0，f(2)＝22＋2－4＝2>0.
用二分法逐次计算，列表如下：
区间 精确度 区间中点值xn f(xn)的值及符号
(1，2) |2－1|＝1 x1＝1.5 f(x1)≈0.33>0
(1，1.5) |1.5－1|＝0.5 x2＝1.25 f(x2)≈－0.37<0
(1.25，1.5) |1.5－1.25|＝0.25 x3＝1.375 f(x3)≈－0.035<0
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.
二分法实际应用举例
乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的．乒乓球是两个半圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶水的气味．乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神，很有好处．因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动．
现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同．用一架天平，限称b次，把这个“坏乒乓球”找出来，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重．
[问题探究]
1．当a＝12，b＝3时，又该如何称？
2．若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，又该如何称？
提示：1.第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：
(1)若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中．第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上．
①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放到天平上一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；
②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重．任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”．
(2)若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重．从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左面4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边．看天平，有三种可能．
①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；
②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边．因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；
③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重．
2．将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”．
综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”．
[迁移应用]
将“a个乒乓球”改为“从A地到B地的海底电缆有15个接点”，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，则怎样检测最合理？
解：如下图所示，把从A地到B地的海底电缆抽象成一条线段，图中的15个点代表电缆上的15个接点．按照从左到右的顺序将其编号为1，2，3，…，15.先检查最中间的接点，即第8号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端．假设此时左端断路，则检查1～7号中间的接点，即第4号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端．假设此时左端断路，则检查第2号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点；若左端断路，则故障点为第1号接点；若右端断路，则故障点为第3号接点，到此检查完毕．
1．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　)
A．f(x)＝x3－1　　　　　 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
解析：选C　因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
2．用二分法求如图所示的图象对应的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
解析：选C　能用二分法求在[a，b]内的零点的函数必须满足图象在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3附近的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.
3．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间(　　)
A．(2，2.25) B．(2.25，2.5)
C．(2.5，2.75) D．(2.75，3)
解析：选C　因为f(2.5)＜0，f(2.75)＞0，由零点存在定理知，方程的根在区间(2.5，2.75)，选C.
4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.437 5 1.406 25
f(x) －2 0.625 －0.984 －0.260 0.162 －0.054
求方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度0.04)．
解：因为f(1)f(1.5)<0，所以x0∈(1，1.5)；
因为f(1.406 25)≈－0.054<0，
又f(1.437 5)≈0.162>0，所以x0∈(1.406 25，1.437 5)，此时|1.406 25－1.437 5|＝0.031 25<0.04.所以x0可以是[1.406 25，1.437 5]之间的任意一个数，故取x0＝1.406 25.
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7(共29张PPT)函数模型的应用
新课程标准解读 核心素养
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具 数学建模
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律 数学运算
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕．若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁．也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理．例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式．假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.
[问题]　五期后的本利和是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　几种常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
分段函数模型 y＝
对于建立的各种函数模型，要能够对其进行识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．
运用已知函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正．　　　　
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　)
A．一次函数　　　　　　 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析：选D　由于一次函数、二次函数、指数型函数后期增长不会越来越慢，只有对数型函数后期增长越来越慢．
2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为________．
解析：分裂一次后为2×2＝22个，分裂两次后为4×2＝23个，……，分裂x次后为y＝2x＋1个，所以函数关系式y＝2x＋1.
答案：y＝2x＋1
指数型模型的应用
[例1]　(链接教科书第149页例4)一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
[解]　(1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0．9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，
即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
指数函数模型的应用
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．　　　　
[跟踪训练]
据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2019年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2019年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)
A．y＝0.95·m
B．y＝(1－0.05)·m
C．y＝0.9550－x·m
D．y＝(1－0.0550－x)·m
解析：选A　设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝0.95，所以从2019年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.95·m.
对数型模型的应用
[例2]　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是 m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
[解]　(1)由v＝log3可知，
当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，
即log3－log3＝1，得＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
[母题探究]
(变设问)若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100 个单位时，它的游速是多少？
(2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．
解：(1)将θ＝8 100代入函数解析式，
得v＝log381＝×4＝2(m/s)，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s.
(2)令v＝0，得log3＝0，即＝1，则θ＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位．
对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．　　　　
[跟踪训练]
某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
解析：依题意得
即
解得a＝2，b＝－2.
∴y＝2log4x－2，当y＝8时，2log4x－2＝8，
解得x＝1 024.
故他的销售额应为1 024万元．
答案：1 024
建立拟合函数模型解决实际问题
[例3]　(链接教科书第150页例5)某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
月投资A种商品的金额/万元 1 2 3 4 5 6
纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
月投资B种商品的金额/万元 1 2 3 4 5 6
纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润．(精确到0.1万元)
[解]　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图所示．
据此，可考虑用函数y＝－a(x－4)2＋2(a>0)　①表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系，用y＝bx(b>0)　②表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系．
把x＝1，y＝0.65代入①式，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2来表示．
把x＝4，y＝1代入②式，解得b＝0.25，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝0.25x来表示．
设下个月投入A，B两种商品的资金分别是xA万元，xB万元，纯利润为W万元，
得
即W＝－0.15＋0.15×＋2.6.
故当xA＝≈3.2时，W取得最大值，约为4.1，
此时，xB＝8.8.
即下个月投入A，B两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元．
建立拟合函数与预测的基本步骤
　　　　
[跟踪训练]
某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x(元)与日销量y(件)之间有如下关系：
销售单价x(元) 30 40 45 50
日销售量y(件) 60 30 15 0
(1)根据表中提供的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．
解：(1)由题表中数据，在平面直角坐标系中作出实数对(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0)对应的点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示．
设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，
将点(50，0)，(45，15)代入，
得解得
∴y＝－3x＋150(30≤x≤50)．
经检验(30，60)，(40，30)在此直线上，
∴所求函数关系式为y＝－3x＋150(30≤x≤50)．
(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50)，
∴当x＝40时，P取得最大值，最大值为300.
故当销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
1．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝ae－kt，新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)
A．75　　 B．100　　　
C．125　　 D．150
解析：选A　由题意，得a＝ae－50k，解得e－25k＝.令ae－kt＝a，即e－kt＝＝(e－25k)3＝e－75k，则t＝75，即需经过的天数为75.
2．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝2kx＋m(k，m为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是64小时，在18 ℃的保鲜时间是16小时，则该食品在36 ℃的保鲜时间是(　　)
A．4小时 B．8小时 C．16小时 D．32小时
解析：选A　依题意得解得
∴y＝2－x＋6.
当x＝36时，y＝2－×36＋6＝22＝4，故选A.
3．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：
月份 1 2 3
产量/千件 50 52 53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
解：若用函数y＝ax＋b(a≠0)模拟，取(1，50)，(2，52)，
则有得
∴y＝2x＋48.
当x＝3时，y＝54.
若用函数y＝ax＋b模拟，取(1，50)，(2，52)，
则有得∴y＝2x＋48.
当x＝3时，y＝56.
由题知3月份的产量为53.9千件，
因此用函数y＝2x＋48模拟的估计误差较小，故用函数y＝ax＋b模拟比较好．
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