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(共32张PPT)
ABC、OAD正弦函数、余弦函数的图象
新课程标准解读 核心素养
1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象 数学抽象、直观想象
2.会用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题 数学运算、直观想象
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象．数学中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．
[问题]　(1)你能画出y＝sin x, x∈[0，2π]的图象吗？
(2)y＝sin x，x∈[0，2π]上的五个关键点的坐标是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1]
图象画法 五点法 五点法
关键五点 (0，0)，，(π，0)，，(2π，0) (0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)
1．“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象；若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x，x∈R和y＝cos x，x∈R的图象．
2．将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度得y＝cos x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cos x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．　　　　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝sin x的图象关于y轴对称．(　　)
(2)函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点．(　　)
(3)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于(　　)
A.　　　 B．π　　　　
C.　　　 D．2π
答案：B
3．函数y＝－cos x，x∈[0，2π]的图象与y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于________对称．
答案：x轴
4．用“五点法”作函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点是(0，1)，，(π，1)，________，(2π，1)．
答案：
正、余弦函数图象的初步认识
[例1]　(1)下列图象中，是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是(　　)
(2)下列函数图象相同的是(　　)
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(π＋x)
B．f(x)＝sin与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(－x)
D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin x
[解析]　(1)由y＝sin x在[0，2π]上的图象作关于x轴的对称图形，知y＝－sin x在[0，2π]上的图象为选项D中的图象．故选D.
(2)A项，因为g(x)＝sin(π＋x)＝－sin x，f(x)＝sin x，所以不正确；
B项，因为f(x)＝sin＝－cos x，g(x)＝sin＝cos x，所以不正确；
C项，因为g(x)＝sin(－x)＝－sin x，f(x)＝sin x，所以不正确．故D正确．
[答案]　(1)D　(2)D
解决正、余弦函数图象的注意点
对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．　　　　
[跟踪训练]
已知函数y＝sin x的部分图象如图所示，完成下列各题：
(1)点A的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)|BD|＝________，|AE|＝________．
答案：(1)(－2π，0)　　(2)2π　
“五点法”作正、余弦函数的图象
[例2]　(链接教科书第199页例1)用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0，2π]；
(2)y＝2＋cos x，x∈[0，2π]．
[解]　(1)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
sin x－1 －1 0 －1 －2 －1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
(2)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
2＋cos x 3 2 1 2 3
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
　　　　
[跟踪训练]
用“五点法”画出函数y＝2sin x在区间[0，2π]上的图象．
解：按五个关键点列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2sin x 0 2 0 －2 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
正、余弦函数图象的简单应用
角度一　解有关三角不等式
[例3]　利用正弦曲线，求满足[解]　首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0，2π]上，当所以用三角函数图象解三角不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)写出不等式的解集．　　　　
角度二　求有关三角函数的定义域
[例4]　函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为________．
[解析]　要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，即sin x>－.画出y＝sin x，x∈的草图，如图所示．
当－－成立，所以sin x>－的解集为.
可知函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为.
[答案]　
求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用基本三角函数的图象直观地求得解集．　　　　
[跟踪训练]
1．在[0，2π]内，求不等式sin x<－的解集．
解：画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下．
因为sin ＝，所以sin＝－，sin＝－.即在[0，2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－在[0，2π]内的解集是.
2．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝ ；
(2)f(x)＝lg cos x＋.
解：(1)要使函数有定义，需满足2cos2x＋sin x－1≥0，
即2sin2x－sin x－1≤0，
解得－≤sin x≤1，由正弦函数的图象(图略)，可得.
(2)由题意，得x满足不等式组
即作出y＝cos x的图象，如图所示．
结合图象可得：
x∈∪∪.
1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　　)
A．0，，π，π，2π　　　　 B．0，，，π，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析：选B　由五点作图法，令2x＝0，，π，π，2π，解得x＝0，，，π，π.
2．函数y＝－cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　)
A. B．(π，1)
C．(0，1) D．(2π，1)
解析：选B　用五点作图法作出函数y＝－cos x(x>0)的一个周期的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．
3．函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图是(　　)
解析：选A　列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2－sin x 2 1 2 3 2
观察各图象发现A项符合．
4．已知函数f(x)＝3＋2cos x的图象经过点，则b＝________．
解析：b＝f＝3＋2cos＝4.
答案：4
5．函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为________．
解析：作出函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为，.
答案：，
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8(共28张PPT)第二课时　正、余弦函数的单调性与最值
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)这几个循环路径．
[问题]　(1)函数y＝sin x与y＝cos x图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是y＝sin x，y＝cos x的什么性质？
(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数y＝sin x，y＝cos x的什么性质？函数y＝sin x，y＝cos x的图象在什么位置取得最大(小)值？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　正、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
值域 [－1，1] [－1，1]
单调性 增区间 ，，k∈Z [π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z
减区间 ，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
最值 ymax＝1 x＝＋2kπ，k∈Z x＝2kπ，k∈Z
ymin＝－1 x＝－＋2kπ，k∈Z x＝π＋2kπ，k∈Z
对单调区间的理解
(1)k取Z内的每一个值，都对应着一个增区间及减区间，这些区间是断开的；
(2)正弦函数和余弦函数不是定义域内的单调函数；
(3)正弦函数或余弦函数取最值时，对应着图象的最高点或最低点．　　　　
1．从图象的变化趋势来看，正、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？
提示：正、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐弯的地方．
2．研究正弦函数单调性时，为什么常取区间，而不选[0，2π]作为一个周期呢？
提示：从图象可以看出，如果选[0，2π]这一段，其增函数的图象是断开的，不易分析，而选取作为一个周期区间，则能很好地体现其单调性．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数y＝sin x在R上是增函数．(　　)
(2)余弦函数y＝cos x的一个减区间是[0，π]．(　　)
(3) x∈[0，2π]满足sin x＝2.(　　)
(4)当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．函数y＝2sin x在区间[－π，π]上的单调递增区间是(　　)
A.　　　　　 B.
C. D.
答案：A
3．函数y＝3＋2cos x的最小值为________．
答案：1
4．函数f(x)＝2sin x(x>0)的值域是________．
答案：[－2，2]
正、余弦函数的单调性
[例1]　(链接教科书第206页例5)求下列函数的单调区间：
(1)y＝cos；
(2)y＝2sin.
[解]　(1)当2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，
故函数的单调递增区间是(k∈Z)．　
当2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z时，
函数单调递减，故函数的单调递减区间是(k∈Z)．
(2)∵y＝2sin＝－2sin，
∴函数y＝－2sin的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定．
2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，①
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．②
解①得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
解②得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝2sin的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)，(k∈Z)．
求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1)数形结合：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；
(2)整体代换：确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法，采用“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“Z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin Z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转化为正数．　　　　
[跟踪训练]
1．函数y＝|cos x|的一个单调减区间是(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
解析：选C　函数y＝|cos x|＝图象如下图所示：
单调减区间有，，…，故选C.
2．求函数y＝sin，x∈的单调递减区间．
解：由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z)．
又x∈，
所以函数y＝sin，x∈的单调递减区间为，.
三角函数值的大小比较
[例2]　(链接教科书第206页例4)不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos与cos.
[解]　(1)∵函数y＝sin x在上单调递减，
且90°<250°<260°<270°，
∴sin 250°>sin 260°.
(2)cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos.
∵函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，
且0<<<π，
∴cos>cos，
∴cos>cos.
比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．　　　　
[跟踪训练]
不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin与sin；
(2)sin 194°与cos 160°.
解：(1)sin＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin ，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin即sin(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°，
∴sin 14°∴－sin 14°>－sin 70°，
即sin 194°>cos 160°.
正、余弦函数的最值(值域)
[例3]　(链接教科书第205页例3)(1)求函数y＝2cos，x∈的值域；
(2)求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合．
[解]　(1)∵－∴0<2x＋<，
∴－∴函数y＝2cos，x∈的值域为(－1，2)．
(2)y＝cos2x＋4sin x
＝1－sin2x＋4sin x
＝－sin2x＋4sin x＋1
＝－(sin x－2)2＋5.
∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；
当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.
∴ymax＝4，此时x的取值集合是
；
ymin＝－4，此时x的取值集合是
.
三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数(余弦函数)的有界性，注意对a正负的讨论；
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值；
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．　　　　
[跟踪训练]
　求函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值．
解：因为f(x)＝sin2x＋cos x－，
f(x)＝1－cos2x＋cos x－，
令cos x＝t且t∈[0，1]，
则y＝－t2＋t＋＝－＋1，
则当t＝时，f(x)取最大值1.
1．函数f(x)＝2sin x在区间上的最大值为(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．－
C. D．2
解析：选D　因为x∈，所以当x＝时，
函数f(x)有最大值2.
2．函数y＝3cos在x＝________时，y取最大值．
解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，
x＝4kπ＋(k∈Z)．
答案：4kπ＋(k∈Z)
3．sin________sinπ(填“>”或“<”)．
解析：sinπ＝sin＝sin，
sinπ＝sin＝sin.
因为y＝sin x在上单增，
又0<<<，
所以sin所以sin<.
答案：<
4．求函数f(x)＝sin在上的单调递增区间．
解：令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又0≤x≤，
所以f(x)在上的单调递增区间是.
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7(共37张PPT)正弦函数、余弦函数的性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解周期函数的概念、正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期 数学抽象、数学运算
2.了解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性 数学抽象、直观想象、逻辑推理
3.了解正弦函数与余弦函数的单调性，并会利用函数单调性求函数的最值和值域，会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间 数学抽象、数学运算
第一课时　正、余弦函数的周期性与奇偶性
①盛夏到来，天气异常炎热．随着人民生活水平的提高，外出旅游，消夏避暑成为人们生活的一种常态．当我们来到内蒙古大草原，顿时感到心旷神怡，精神焕发，密密麻麻的风力发电机成为一道靓丽的风景．风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动，这种周而复始的转动就是周期现象．
②
[问题]　(1)你能用数学语言刻画出函数的周期性吗？
(2)从它们的图象上你能得到哪些信息？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　函数的周期性
1．周期函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求．
2．形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函数的周期常用公式T＝来求．　　　　
是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？
提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
1．函数f(x)＝2cos 2x的最小正周期是(　　)
A.　　　　　 B.
C．π D．2π
答案：C
2．若函数f(x)的周期3，且f(1)＝－2，则f(7)＝________．
答案：－2
知识点二　正、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
对正、余弦函数奇偶性的再理解
因为sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，所以正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称．
正、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．　　　　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由于sin＝sin ，则是正弦函数y＝sin x的一个周期．(　　)
(2)函数y＝3sin 2x是奇函数．(　　)
(3)函数y＝－cos x是偶函数．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．函数f(x)＝2sin是(　　)
A．T＝2π的奇函数　　 B．T＝2π的偶函数
C．T＝π的奇函数 D．T＝π的偶函数
答案：B
3．函数f(x)＝sin xcos x是________(填“奇”或“偶”)函数．
答案：奇
三角函数的周期性
[例1]　(链接教科书第201页例2)求下列函数的最小正周期：
(1) (x)＝cos；
(2) (x)＝|sin x|.
[解]　(1)法一(定义法)：∵ (x)＝cos
＝cos
＝cos
＝ (x＋π)，
即 (x＋π)＝ (x)，
∴函数 (x)＝cos的最小正周期T＝π.
法二(公式法)：∵y＝cos，∴ω＝2.
又T＝＝＝π.
∴函数 (x)＝cos的最小正周期T＝π.
(2)法一(定义法)：∵ (x)＝|sin x|,
∴ (x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝ (x)，
∴ (x)的最小正周期为π.
法二(图象法)：∵函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知最小正周期T＝π.
求三角函数的周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用T＝来求；
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．　　　　
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．π
C．2π D．4π
解析：选D　函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝4π.
2．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值为________．
解析：∵k>0，∴T＝≤2，即k≥4π，∴正整数k的最小值是13.
答案：13
三角函数的奇偶性
[例2]　(链接教科书第203页练习3题)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos＋x2sin x；
(2)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x；
(3)f(x)＝＋.
[解]　(1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域为R，关于原点对称，
∵f(x)＝cos x－x3·sin x，
∴f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x)
＝cos x－x3·sin x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)由得cos x＝，此时f(x)＝0，f(x)的定义域为，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
判断函数奇偶性的方法
　　　　
[跟踪训练]
判断下列函数的奇偶性：
(1) (x)＝x2cos；
(2) (x)＝sin(cos x)．
解：(1)函数 (x)的定义域为R，
∵f(x)＝x2cos＝－x2sin x，
∴f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sin x＝－f(x)，
∴ (x)为奇函数．
(2)函数 (x)的定义域为R，
∴ (－x)＝sin＝sin(cos x)＝ (x)，
∴ (x)为偶函数．
三角函数的奇偶性与周期性的应用
[例3]　(链接教科书第203页练习4题)定义在R上的函数 (x)既是偶函数又是周期函数，若 (x)的最小正周期是π，且当x∈时， (x)＝sin x，求 的值．
[解]　∵ (x)的最小正周期是π，
∴ ＝ ＝ .
∵ (x)是R上的偶函数，
∴ ＝ ＝sin＝.
∴ ＝.
[母题探究]
1．(变条件)若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求 的值．
解： ＝ ＝－ ＝－sin＝－.
2．(变设问)若本例条件不变，求 的值．
解： ＝ ＝
＝ ＝sin ＝.
1．解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．
2．推得函数周期的若干形式：
(1)若f(x＋t)＝f(x)，则函数周期为t；
(2)若f(x＋t)＝－f(x)，则函数周期为2t；
(3)若f(x＋t)＝，则函数周期为2t；
(4)若f(x＋t)＝－，则函数周期为2t.　　　　
[跟踪训练]
1．下列函数中是奇函数，且最小正周期为π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
解析：选D　y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
2．函数 (x)为偶函数且 ＝－ (x)， ＝1，则 ＝________．
解析：∵ ＝－ (x)，∴ (x＋π)＝ (x)，即T＝π， ＝ ＝ ＝ ＝1.
答案：1
正弦函数图象对称性问题探究(探究型)
1．下列图案中，哪些是轴对称图形？(①②⑤⑥⑦)哪些是中心对称图形？(③④⑥)有没有既是轴对称又是中心对称的图形？(⑥)
2．正弦函数的图象如下图．利用图象探索正弦函数图象的对称性．
[问题探究]
1．正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由．
提示：由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形，有无数条对称轴，经过最高点或最低点且与x轴垂直的直线都是它的对称轴，对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.
2．正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，如果没有，请说明理由．
提示：由正弦函数的图象可以看出，它也是中心对称图形，有无数个对称中心，图象与x轴的交点都是它的对称中心，对称中心坐标为(kπ，0)，k∈Z.
3．画出函数y＝sin |x|的图象，并利用图象说明它的对称性．
提示：由图象可知，函数y＝sin |x|的图象是轴对称图形，对称轴为y轴，它不是中心对称图形．
[迁移应用]
1．求函数y＝2sin的对称轴方程及对称中心坐标．
解：由x－＝＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝π＋kπ，k∈Z.由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，∴对称中心坐标为，k∈Z.
2．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，那么a的值是多少？
解：∵函数的图象关于直线x＝－对称，
∴f(0)＝f，
即sin 0＋acos 0＝sin＋acos，
∴a＝－1.
1．函数f(x)＝sin(－x)是(　　)
A．奇函数　　　　　　　　 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选A　由于x∈R，
且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
2．函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，则ω等于(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：选B　由题意知T＝＝，所以ω＝10.
3．(多选)下列函数中，周期为2π的是(　　)
A．y＝cos B．y＝cos
C．y＝ D．y＝|cos 2x|
解析：选BC　y＝cos 的周期为T＝＝4π；
y＝cos的周期为T＝2π；
y＝的周期为T＝2π；
y＝|cos 2x|的周期为T＝.故选B、C.
4．若函数f(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称，则a＝________．
解析：∵f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴f(0)＝f，即a＝sin ＋acos ，∴a＝.
答案：
5．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．
解析：因为f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0.
答案：0
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9(共32张PPT)正切函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.能够借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图象 数学抽象、直观想象
2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性．并能利用其性质解决相关问题 直观想象、数学运算
我们知道正切是正弦与余弦的比值，那么如何求正切函数的周期和单调性？正切函数的图象有什么特点？本节课就研究正切函数的性质与图象．
[问题]　(1)前面我们学习了正弦函数的图象与性质，余弦函数的图象与性质，回想一下，我们是如何得到正弦函数图象与余弦函数图象的？
(2)类比正弦函数图象和余弦函数图象的学习过程，对于正切函数的图象是否适用？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
最小正周期
奇偶性 奇函数
单调性 在区间上是增函数
对称性 对称中心
1．正切函数在定义域上不具备单调性，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，无单调递减区间，没有最大值和最小值．
2．画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指，(0，0)，，“两线”是指x＝－和x＝，大致画出正切函数在上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线．　　　　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　)
(2)正切函数在R上是递增的．(　　)
(3)正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心．(　　)
(4)正切函数的最小正周期为π.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．函数y＝2tan的定义域为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：D
3．函数y＝tan x，x∈的最大值为________．
答案：1
4．函数y＝tan的单调递增区间是________．
答案：，k∈Z
正切函数的定义域及值域
[例1]　(链接教科书第212页例6)(1)函数y＝的定义域为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
(2)函数y＝tan2x－2tan x＋3的最小值为________．
[解析]　(1)由1－tan≥0，得tan≤1，所以kπ－(2)y＝(tan x－1)2＋2，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，函数取最小值2.
[答案]　(1)C　(2)2
1．求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解；
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
2．求正切函数值域的方法
(1)对于y＝Atan(ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域；
(2)对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域．　　　　
[跟踪训练]
1．函数y＝tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　由－x≠k1π＋(k1∈Z)得x≠－k1π－(k1∈Z)．从而x≠k2π－(k2∈Z)．
由k2∈Z得x≠kπ＋π(k∈Z)，
∴y＝tan的定义域为.故选D.
2．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________．
解析：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1，1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4；
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4，4]．
答案：[－4，4]
正切函数的周期性、奇偶性
[例2]　(链接教科书第212页例6)(1)若f(x)＝tan ωx(ω>0)的周期为1，则f的值为(　　)
A．－　　　　　　　 B．－
C. D.
(2)已知函数f(x)＝tan x＋，若f(a)＝5，则f(－a)＝________．
[解析]　(1)依题意T＝＝1，ω＝π，所以f(x)＝tan πx.所以f＝tan ＝.故选D.
(2)易知函数f(x)为奇函数，故f(a)＋f(－a)＝0，则f(－a)＝－f(a)＝－5.
[答案]　(1)D　(2)－5
正切函数的周期性、奇偶性问题的解题策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期；
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．　　　　
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝|tan 2x|是(　　)
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
解析：选D　f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝.
2．函数y＝3tan的图象的一个对称中心是(　　)
A. B.
C. D．(0，0)
解析：选C　函数y＝tan x的图象的对称中心为，k∈Z.
由x＋＝，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，所以函数y＝3tan的图象的对称中心是，k∈Z.令k＝0，得.
正切函数的单调性及应用
[例3]　(1)比较大小：tan和tan；
(2)求函数y＝tan的单调区间．
[解]　(1)∵tan＝－tan＝tan ，
tan＝－tan＝tan .
又0<<<，y＝tan x在内单调递增，
∴tan 即tan>tan.
(2)y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)，无单调递增区间．
求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．　　　　
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝tan的单调递增区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选A　由kπ－2．若函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围为________．
解析：由题意知其周期T≥π，即≥π.∴|ω|≤1，又函数为减函数，∴ω<0.故－1≤ω＜0.
答案：[－1，0)
1．函数y＝的定义域为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B　由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈(k∈Z)．
2．已知函数f(x)＝3tan的最小正周期为，则正数ω＝(　　)
A．4　　　 B．3　　　　
C．2　　　 D．1
解析：选C　∵ω>0，∴T＝＝，∴ω＝2，故选C.
3．函数y＝tan的单调递增区间是____________________________________．
解析：令kπ－＜2x＋＜kπ＋，k∈Z，
解得－答案：，k∈Z
4．求函数y＝tan，x∈的值域．
解：由0∴tan 即1∴所求函数的值域为(1， ]．
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