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(共31张PPT)第二课时　两角和与差的正弦、余弦公式
乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明．我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新．
[问题]　(1)你能用类比的方法，由cos(α－β)推导出cos(α＋β)吗？
(2)两角和与差的正弦公式如何推导出来？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两角和与差的余弦、正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos_α·cos_β－sin_αsin_β α，β∈R
两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin_α·cos_β＋cos_αsin_β α，β∈R
两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝sin_α·cos_β－cos_αsin_β α，β∈R
两角和与差的正弦、余弦公式的记忆方法
(1)理顺公式间的联系：
C(α＋β)C(α－β)S(α－β)S(α＋β)
(2)注意公式的结构特征和符号规律：
对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”；
对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．　　　　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)
(2)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β.(　　)
答案：(1)√　(2)×
2．cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°的值为(　　)
A．0　　　　　　　　 B.
C. D．cos 40°
答案：B
3．sin 15°＝________．
答案：
4．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝________．
答案：－
给角求值问题
[例1]　(链接教科书第219页例4)求值：(1)sin 245°·sin 125°＋sin 155°sin 35°；
(2).
[解]　(1)原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°
＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°
＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝.
解给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形；
(2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变形用公式．　　　　
[跟踪训练]
1．cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　)
A．－　　　　　　　 B．－
C. D.
解析：选D　∵cos 200°＝cos(180°＋20°)
＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°，
∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50°
＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝.
2．化简求值：
(1)；
(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．
解：(1)原式＝
＝
＝＝sin 30°＝.
(2)设α＝θ＋15°，
则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos α
＝＋－cos α＝0.
给值求值问题
[例2]　(链接教科书第218页例3)已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝.
(1)求cos的值；
(2)求sin β的值．
[解]　(1)∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝＝，
∴cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.
(2)∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，
由cos(α＋β)＝，得
sin(α＋β)＝＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.
解决给值求值问题的策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．　　　　
[跟踪训练]
1．已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，则sin(α＋β)的值为________．
解析：因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，
所以cos α＝，sin β＝，
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
答案：
2．(2021·河北石家庄辛集中学高一月考)若0<α<<β<π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，求sin α的值．
解：由<β<π，cos β＝－得sin β＝.又0<α<<β<π，所以<α＋β<，所以cos (α＋β)＝－＝－＝－.所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝×＋×＝.
给值求角问题
[例3]　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．
[解]　因为α和β均为钝角，
所以cos α＝－＝－，
cos β＝－＝－.
由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
所以α＋β＝.
给值求角问题的求解策略
(1)解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角；
(2)选三角函数的方法：例如，若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象限，则选正弦函数等．　　　　
[跟踪训练]
已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α.
解：∵α∈，β∈，
∴α－β∈(0，π)．
∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.
∵β∈，sin β＝－，
∴cos β＝.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
又∵α∈，∴α＝.
两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用
在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，试探究P＝sin(A＋B)，Q＝sin A＋sin B，R＝cos A＋cos B的大小，并把P，Q，R按从小到大的顺序排列起来．
[问题探究]
1．当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小．
提示：当A＝30°，B＝30°时，
P＝sin(30°＋30°)＝sin 60°＝，
Q＝sin 30°＋sin 30°＝2sin 30°＝1，
R＝cos 30°＋cos 30°＝2cos 30°＝，
∴P2．当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小．
提示：当A＝30°，B＝45°时，
P＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°
＝×＋×＝，
Q＝sin 30°＋sin 45°＝＋＝，
R＝cos 30°＋cos 45°＝＋＝，
∵P－Q＝－＝<0，
∴P∵Q－R＝－＝<0，
∴Q3．由问题1，2你能得到什么结论，并证明你的结论．
提示：由问题1，2猜想P证明：∵C为钝角，∴0∴A<－B，B<－A，
∴cos A>cos＝sin B，
cos B>cos＝sin A，
∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B>sin B＋sin A－sin A－sin B＝0，即R>Q.
∵P－Q＝sin(A＋B)－sin A－sin B
＝sin Acos B＋cos Asin B－sin A－sin B
＝sin A(cos B－1)＋sin B(cos A－1)<0，
∴P综上可得P4．若将钝角三角形改为锐角三角形，P，Q，R的大小又如何？
提示：∵P－R＝sin(A＋B)－cos A－cos B
＝sin Acos B＋cos Asin B－cos A－cos B
＝(sin A－1)cos B＋(sin B－1)cos A<0，∴P∵△ABC为锐角三角形，
∴0，
∴－B∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B＝cos A＋cos B－cos B－cos A＝0，
∴R综上，P[迁移应用]
已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan＋，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论．
解：任意交换两个角的位置，y的值不变．
证明如下：
∵A，B，C是△ABC的三个内角，A＋B＋C＝π，
∴＝－.
y＝tan＋
＝tan＋
＝tan＋
＝tan＋tan＋tan，
因此任意交换两个角的位置，y的值不变．
1．coscos－sinsin＝(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D．1
解析：选B　cos cos－sinsin＝cos＝cos＝，故选B.
2．已知cos＝，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　∵cos＝－sin α＝，∴sin α＝－，∴－<α<0，∴cos α＝，∴sin＝sin αcos＋cos αsin＝－×＋×＝，故选A.
3．(2021·天津一中高一质检)已知0<β<α<，点P(1，4)为角α的终边上一点，且sin αsin＋cos αcos＝，则角β＝(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　由题意知|OP|＝7(O为坐标原点)，
∴sin α＝，cos α＝.
由sin αsin＋cos αcos＝，
得sin αcos β－cos αsin β＝，
∴sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，
∴0<α－β<，
∴cos(α－β)＝＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.
∵0<β<，∴β＝，故选D.
4．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．
解：∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α
＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，
∴sin β＝－，又β是第三象限角，
∴cos β＝－＝－，
∴sin＝sin βcos＋cos βsin
＝×＋×＝－.
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9(共22张PPT)第三课时　两角和与差的正切公式
如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β.
[问题]　能否求出tan(α－β)和tan(α＋β)的值？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切公式 tan(α＋β)＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切公式 tan(α－β)＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
1．公式的结构特征及符号特征
(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β 的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和；　　　　
(2)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
2．两角和与差的正切公式的变形与特例
(1)变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
tan αtan β＝1－；
(2)公式的特例：tan＝；
tan＝.　　　　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　)
(2)对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)
(3)tan能根据公式tan(α－β)直接展开．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．已知tan α＝，则tan＝(　　)
A.　　　　　　　 B．7
C．－ D．－7
答案：B
3．tan 75°＝________．
答案：2＋
化简求值
[例1]　(链接教科书第219页例4)化简求值：
(1)；
(2)tan＋tan＋tantan.
[解]　(1)
＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－.
(2)tan＋tan ＋ tan tan ＝
tan＋tan tan＝
＋tantan＝.
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换；
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．　　　　
[跟踪训练]
化简求值：
(1)；
(2)tan 10°·tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)．
解：(1)＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
(2)∵tan(10°＋20°)
＝＝，
∴tan 10°＋tan 20°＝(1－tan 10°·tan 20°)．
∴原式＝tan 10°·tan 20°＋×(1－tan 10°·tan 20°)
＝tan 10°·tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.
给值求值问题
[例2]　(链接教科书第218页例3)已知tan＝，tan＝2，求：
(1)tan的值；
(2)tan(α＋β)的值．
[解]　(1)tan
＝tan
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子间的联系以实现求值；
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．　　　　
[跟踪训练]
1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－　　　　　　　　 B.
C. D．－
解析：选A　∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－.
∵tan(π－β)＝＝－tan β，∴tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
2．若tan＝，则tan α＝________．
解析：tan α＝tan
＝＝＝.
答案：
给值求角问题
[例3]　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角．
求α＋β.
[解]　∵α和β均为钝角，∴cos α＝－＝－，cos β＝－＝－.
tan α＝＝－，tan β＝＝－.
tan(α＋β)＝
＝＝－1，
∵α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，
∴α＋β＝.
给值求角问题的解题策略
(1)解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内；
(2)选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数．　　　　
[跟踪训练]
已知tan α＝，tan β＝且α，β∈，求2α＋β的值．
解：∵tan α＝，tan β＝且α，β∈，
∴tan(α＋β)＝＝＝>0，
∴α＋β∈，2α＋β∈(0，π)，
∴tan(2α＋β)＝tan[(α＋β)＋α]
＝＝＝1，
∴2α＋β＝.
1．已知tan α＝2，tan β＝3，则tan(α－β)＝(　　)
A．－7　　 B.　　　
C．－　　 D．－
解析：选D　tan(α－β)＝
＝＝－.故选D.
2．求值tan 15°＝________．
解析：tan 15°＝tan(60°－45°)＝
＝＝2－.
答案：2－
3．已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，求α＋β的值．
解：因为tan(α＋β)＝
＝＝1，α，β都是锐角，
故α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
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6(共23张PPT)第四课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式
世间万物，物以类聚，人以群分，如动物界和植物界，带有一般性的事物涵盖一切，而特殊性的事物内涵丰富，种类繁多．在三角恒等变换中，二倍角的正弦、余弦和正切公式又有什么特点呢？
[问题]　在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式
函数 公式 β＝α 简记符号
正弦 sin 2α＝2sinαcosα S(α＋β) S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C(α＋β) C2α
正切 tan 2α＝ T(α＋β) T2α
二倍角公式的变形
(1)逆用：2sin αcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos 2α，1－2sin2α＝cos 2α；
(2)变形：①cos2α＝，sin2α＝；
②1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.　　　　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)4α是2α的二倍角，α是的二倍角．(　　)
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)
(3)存在α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√
2．已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
答案：D　
3．已知tan α＝，则tan 2α＝________．
答案：－
4．cos215°－sin215°结果等于________．
答案：
利用二倍角公式解决给角求值问题
[例1]　(链接教科书第223页练习5题)求下列各式的值．
(1)1－2sin2750°；
(2)；
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
[解]　(1)原式＝cos(2×750°)
＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝.
(2)原式＝＝
＝＝2.
(3)原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
＝·sin 40°cos 40°cos 80°
＝sin 80°cos 80°
＝·sin 160°
＝＝.
解给角求值问题的方法
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．　　　　
[跟踪训练]
1．cos4－sin4等于(　　)
A．－　　　　　　　　　　 B．－
C. D.
解析：选D　原式＝＝cos＝.
2．求值＝________．
解析：＝＝tan 60°＝.
答案：
利用二倍角公式解决给值求值问题
[例2]　(链接教科书第221页例5)已知<α<π，sin α＝.
(1)求tan 2α的值；
(2)求cos的值．
[解]　(1)由题意得cos α＝－，∴tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝.
(2)∵cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
∴cos＝cos 2αcos ＋sin 2αsin ＝－×＋×＝－.
解决给值求值问题的方法
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系；
(3)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
②cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos.　　　　
[跟踪训练]
1．已知＝，则sin 2x＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选A　∵＝，∴＝，∴cos x＋sin x＝，∴1＋sin 2x＝，∴sin 2x＝－.
2．在△ABC中，tan A＝，tan B＝2，则tan(2A＋2B)＝________．
解析：∵tan A＝.
tan B＝2，
∴tan(A＋B)＝＝＝－2.
∴tan(2A＋2B)＝tan[2(A＋B)]
＝＝＝.
答案：
利用二倍角公式解决化简与证明问题
[例3]　(1)化简：－；
(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.
[解]　(1)原式＝＝＝tan 2θ.
(2)证明：左边＝－
＝
＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2A·cos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边，∴原等式成立．
三角函数式的化简与证明
(1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ；
(2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．　　　　
[跟踪训练]
1．α为第三象限角，则－＝________．
解析：因为α为第三象限角，所以cos α<0，sin α<0，
所以－＝－＝－＝0.
答案：0
2．求证：＝sin 4α.
证明：
＝2cos2α·(－cos 2α)·
＝cos2αcos 2αtan α
＝sin αcos αcos 2α＝sin 2αcos 2α
＝sin 4α，
所以原等式成立．
1．若sin＝，则cos α＝(　　)
A．－　　　　　　　 B．－
C. D.
解析：选C　因为sin＝，
所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×＝.
2．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D．－2
解析：选A　由题意可得，sin α＝－＝－，∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝－，故选A.
3．化简：－tan θtan 2θ.
解：－tan θtan 2θ＝－＝＝＝＝1.
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6(共26张PPT)
同角β的余弦、正弦
cos(a-B)=cos a cos B+ sin a sin B
同角a的余弦、正弦两角和与差的正弦、余弦和正切公式
新课程标准解读 核心素养
1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义 数学抽象、逻辑推理
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 逻辑推理、数学运算
3.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式解决求值、化简等问题 数学运算
第一课时　两角差的余弦公式
很多同学认为两角差的余弦cos(α－β)＝cos α－cos β，那么这个结论正确吗？让我们做一个试验：cos(60°－30°)与cos 60°－cos 30°的值作比较，cos(60°－30°)＝cos 30°＝，cos 60°－cos 30°＝－，显然，cos(60°－30°)≠cos 60°－cos 30°，由此可得cos(α－β)＝cos α－cos β不一定成立．
[问题]　如何用α，β的正、余弦值表示cos(α－β)呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两角差的余弦公式
两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
简记符号 C(α－β)
使用条件 α，β都是任意角
1．公式的结构特征
2．公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合．　　　　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) α，β∈R，cos(α－β)＝cos α－cos β成立．(　　)
(2)对 α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(　　)
答案：(1)√　(2)√
2．cos 20°＝(　　)
A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10°
答案：B
3．设α∈，若sin α＝，则cos＝________．
答案：
给角求值问题
[例1]　(1)cos(－15°)的值为(　　)
A.　　　　　 B.
C. D．－
(2)cos 105°＋sin 105°.
(1)[解析]　cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)
＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝，故选C.
[答案]　C
(2)[解]　cos 105°＋sin 105°
＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°
＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解；
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．　　　　
[跟踪训练]
1．cos 105°＝________．
解析：原式＝cos(150°－45°)
＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45°
＝－×＋×
＝.
答案：
2．求下列各式的值：
(1)cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°；
(2)sin 100°·sin(－160°) ＋cos 200°·cos(－280°)．
解：(1)原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°
＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝.
(2)原式＝sin(180°－80°)·sin(－180°＋20°)＋cos(20°＋180°)·cos(80°－360°)
＝sin 80°·(－sin 20°)＋(－cos 20°)·cos 80°
＝－(cos 20°·cos 80°＋sin 20°·sin 80°)
＝－cos(20°－80°)＝－.
给值求值问题
[例2]　(链接教科书第216页例2)(1)若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值；
(2)已知sin α＝，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值．
[解]　(1)∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，∴sin θ＝，
又θ是第二象限角，∴cos θ＝－.
∵sin＝cos φ＝－，且φ为第三象限角，
∴sin φ＝－，
∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ
＝×＋×＝.
(2)由sin α＝和α为锐角可得cos α＝＝.
由cos(α＋β)＝－和0<α＋β<180°可得sin(α＋β)＝＝.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角；
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．　　　　
[跟踪训练]
1．已知cos α＝，α∈，则cos＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选B　∵cos α＝，α∈，∴sin α＝－＝－，则cos＝(cos α－sin α)＝.
2．已知sin＝－，且π<α<π，求cos α的值．
解：因为π<α<π，所以π<α＋<2π，
所以cos>0，
所以cos＝
＝ ＝，
所以cos α＝cos＝
coscos＋sinsin
＝×＋×＝－.
给值求角问题
[例3]　已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，求α－β的值．
[解]　∵α，β均为锐角，
∴cos α＝，cos β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又∵sin α>sin β，∴0<β<α<，
∴0<α－β<.
故α－β＝.
[母题探究]
(变条件)若本例中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β”，则α－β＝________．
解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又∵sin α∴－<α－β<0，
故α－β＝－.
答案：－
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；
(3)结合三角函数值及角的范围求角．　　　　
[跟踪训练]
若cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β均为锐角，且α<β，求α＋β的值．
解：∵cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β∈，且α<β，∴α－β∈，2α∈(0，π)，∴sin(α－β)＝－，sin 2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋×＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选C　原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝.
2．cos(－75°)的值(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　cos(－75°)＝cos(－30°－45°)＝cos(－30°)×cos 45°＋sin(－30°)sin 45°＝×－×＝，故选C.
3．已知α是锐角，sin α＝，则cos＝________．
解析：因为α是锐角，sin α＝，所以cos α＝，所以cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.
答案：
4．化简：＝________．
解析：
＝
＝＝.
答案：
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7(共26张PPT)简单的三角恒等变换
新课程标准解读 核心素养
1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想 逻辑推理
2.灵活运用和差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明 数学运算
类似电脑输入法有“半角”和“全角”之分(如图)，三角中也有倍角公式与单角公式，那么单角和半角之间的联系是什么？由两角和与差的正弦公式和余弦公式还可以推导出哪些三角恒等式？
[问题]　由cos 30°的值能否求出sin 15°和cos 15°的值？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　半角公式
1．有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的范围便可求的正弦、余弦、正切的值．
2．由于tan ＝及tan ＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．
3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).　　　　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cos ＝ .(　　)
(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　　)
(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos ＝________，sin＝________．
答案：　
3．tan＝________．
答案：－1
应用半角公式求值
[例1]　(链接教科书第225页例7)已知sin α＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．
[解]　∵π<α<，sin α＝－，
∴cos α＝－，且<<，
∴sin ＝ ＝，
cos ＝ － ＝－，
tan＝＝－2.
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解；
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
[注意]　已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．　　　　
[跟踪训练]
已知cos 2θ＝－，<θ<π，求tan的值．
解：因为cos 2θ＝－，<θ<π，依半角公式得
sin θ＝ ＝ ＝，
cos θ＝－ ＝－ ＝－，
所以tan＝＝＝.
三角函数式的化简
[例2]　化简：
(π<α<2π)．
[解]　原式＝
＝
＝.
又∵π<α<2π，∴<<π，
∴cos<0，
∴原式＝＝cos α.
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式；
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切；
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．　　　　
[跟踪训练]
化简：(1)cos－tan·(1＋cos α)；
(2).
解：(1)原式＝－sin α－·(1＋cos α)
＝－2sin α；
(2)原式＝＝＝＝tan 2α.
三角恒等变换的综合应用
[例3]　(链接教科书第227页例9)已知函数f(x)＝sin＋2cos2x－1.求函数f(x)的最大值及其相应的x的取值集合．
[解]　f(x)＝sin＋2cos2x－1＝sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝·sin 2x＋cos 2x＝sin，故f(x)＝sin，所以当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即 x＝kπ＋，k∈Z时，f(x)max＝1.
其相应的x的取值集合为.
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
运用和、差、倍角公式化简
↓
↓
　　　
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．
求函数f(x)的最小正周期．
解：∵f(x)＝sin＋2sin2
＝sin＋1－cos
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
三角恒等变换的实际应用问题
[例4]　(链接教科书第227页例10)如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
[解]　因为∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，
所以∠BAC＝θ，所以AC＝BC＝30 m.
又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，
所以∠CAD＝2θ，
所以AD＝CD＝10 m.
所以在Rt△ADE中，AE＝AD·sin 4θ＝10sin 4θ(m)，
在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 2θ＝30sin 2θ(m)，
所以10sin 4θ＝30sin 2θ，
即20sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，
所以cos 2θ＝，又2θ∈，
所以2θ＝，所以θ＝，
所以AE＝30sin ＝15(m)，
所以θ＝，建筑物AE的高为15 m.
解决此类问题，关键是合理引入自变量，恰当表示题中的有关量，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．　　　　
[跟踪训练]
如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？
解：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α
＝R(sin α＋cos α)＋R
＝Rsin＋R.
因为0<α<，所以<α＋<，
所以l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，即当α＝时，△OAB的周长最长．
1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C. D.
解析：选D　cos2＝＝＝.
2．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析：y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，所以该函数的最小正周期为π.
答案：π
3．已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，求sin ＋cos 的值．
解：因为θ∈(π，2π)，
所以∈，
所以sin ＝ ＝，
cos ＝－＝－，
所以sin ＋cos ＝.
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