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高中三角函数专项
一、选择题（共6题）
（2020·北京海淀区·期末）在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边经过点 ，则
A． B． C． D．
（2021·北京西城区·期中）若 ，，则
A． B． C． D．
（2021·北京西城区·期中） 的弧度数是
A． B． C． D．
（2021·北京西城区·期中） 的值等于
A． B． C． D．
（2021·北京西城区·期中）函数 的最小正周期是
A． B． C． D．
（2021·北京西城区·期中）设 ，且 ，则
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
二、填空题（共10题）
（2021·北京西城区·期中）函数 （）的最大值是 ，最小值是 ．
（2021·北京西城区·期中）已知 ，且 ，那么 ， ．
（2021·北京西城区·期中）设扇形的弧长为 ，半径为 ，则该扇形的圆心角为 ．
（2021·北京西城区·期中）化简 ．
（2021·上海闵行区·期中）函数 的部分图象如图所示，设 是图象的最高点，， 是图象与 轴的交点，则 ．
（2021·单元测试）已知函数 在一个周期内的简图如图所示，则函数 的解析式为 ，方程 的实根个数为 ．
（2021·同步练习）定义在 上的函数 ，给出以下四个论断：① 的最小正周期为 ；② 在区间 上是增函数；③ 的图象关于点 对称；④ 的图象关于直线 对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题（写成“”的形式） ．（用到的论断都用序号表示）
（2019·昭通市水富县·期中）已知函数 ，若存在实数 ，，，，当 时，满足 ，则 的取值范围是 ．
（2015·南平市建瓯市·期末）函数 ，函数 ，若对所有的 总存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 ．
（2020·同步练习）某时钟的秒针端点 到中心点 的距离为 ，秒针均匀地绕点 旋转，当时间 时，点 与钟面上标 的点 重合，将 ， 两点的距离 表示成 的函数，则 ，其中 ．
三、解答题（共9题）
（2021·北京西城区·期中）已知函数 满足下列 个条件：
①函数 的周期为 ；② 是函数 的对称轴；③ ．
(1) 请任选其中二个条件，并求出此时函数 的解析式；
(2) 若 ，求函数 的最值．
（2021·北京西城区·期中）已知函数 ．
(1) 求 的值；
(2) 求 的最小正周期和单调递增区间；
(3) 将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，若函数 在 上有且仅有两个零点，求 的取值范围．
（2019·上海徐汇区·期中）某种波的传播是由曲线 来实现的，我们把解析式 称为“波”，把振幅都是 的波称为“ 类波”，把两个波的解析式相加称为波的叠加．
(1) 已如“ 类波”中的两个波， 与 加后是一个“ 类波”，求 的值；
(2) 已知三个不同的“ 类波”，从 ，，（其中 ，， 互不相同），三个波叠加后是“平波”，即 ，求 的值．
（2019·上海徐汇区·期中）某同学用“五点法”画函数 （，）在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：
(1) 请写出上表的 ，，，及函数 的解析式；
(2) 将函数 的图象向右平移 个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，求 的解析式及 的单调递增区间；
(3) 在（）的条件下，若 在 上恰有奇数个零点，求实数 与零点个数 的值．
（2017·天津南开区·期末）已知如图为函数 的部分图象．
(1) 求 的解析式及其单调递增区间；
(2) 求函数 的值域．
（2021·同步练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出了计算弧田（由圆弧和其所对的弦所围成）面积的经验公式，．公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为 ，弦长等于 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积 与实际面积 的误差为多少平方米．（用 计算）
（2021·北京昌平区·期中）对于定义域为 的函数 ，若存在正常数 ，使得 是以 为周期的函数，则称 为余弦周期函数，且称 为其余弦周期．已知 是以 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 ．设 单调递增，，．
(1) 验证 是以 为余弦周期的余弦周期函数；
(2) 设 ，证明对任意 ，存在 ，使得 ；
(3) 证明：“ 为方程 在 上的解”的充要条件是“ 为方程 在 上的解”，并证明对任意 都有 ．
（2021·同步练习）求下列各式的值．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
（2021·单元测试）已知函数 （，，）的部分图象如图所示．
(1) 求函数 的解析式；
(2) 求函数 的单调递增区间．
答案
一、选择题（共6题）
1. 【答案】C
【知识点】任意角的三角函数定义
2. 【答案】A
【知识点】两角和与差的正切
3. 【答案】D
【知识点】弧度制
4. 【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦
5. 【答案】B
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
6. 【答案】A
【知识点】任意角的三角函数定义
二、填空题（共10题）
7. 【答案】 ；
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
8. 【答案】 ；
【知识点】二倍角公式
9. 【答案】
【知识点】弧度制
10. 【答案】
【知识点】二倍角公式
11. 【答案】
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
12. 【答案】 ；
【解析】显然 ，由图象过点 ，得 ，
即 ，又 ，
所以 ，
又 是图象上的点，
所以 ，即 .
由题图可知， 是图象在 轴右侧部分与 轴的第二个交点，
所以 ，解得 ，
所以函数 的解析式为 .
在同一平面直角坐标系内作出函数 和函数 的简图，
如图所示．
因为 的最大值为 ，
所以令 ，得 ．
由图象易知，这两个函数图象在 内有两个交点，
又 ．且 ，
所以这两个图象在 内有 个交点，另外在 内还有 个交点．
所以方程 共有 个实根．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
13. 【答案】①④ ②③或①③ ②④
【解析】①④ ②③：因为 的最小正周期为 ，
所以 ，函数 ，
又 的图象关于直线 对称，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
此时 ，②③成立，
故①④ ②③．
①③ ②④：因为 的最小正周期为 ，
所以 ，函数 ，
又 的图象关于点 对称，
所以 ，
又
所以 ，
此时 ，
②④成立，
故①③ ②④．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
14. 【答案】
【解析】由题意，函数 ，
画出函数的图象，如图所示，
令 ，则 ，
由图象可知，设 和函数 的图象有四个交点，
可得 ，
其中 ，则 ，解得 ，
且 ，则 ，
所以
其中 ，
设 ，则函数 ，函数 单调递增，
则 ，，
所以 的取值范围是 ．
【知识点】函数的零点分布、对数函数及其性质、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
15. 【答案】
【解析】提示： 化简后得 ，可求出 的值域为 ． 的值域为 ．
依题意可知 ，所以 ．
【知识点】恒成立问题、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
16. 【答案】
【解析】如图，设 ，由垂径定理，得 ．因为 所以 化简即得
【知识点】任意角的三角函数定义
三、解答题（共9题）
17. 【答案】
(1) 选①②，则 ，，解得 ，
因为 ，
所以 ，即 ；
选①③，，
由 得 ，
因为 ，
所以 ，即 ；
选②③，，由 得 ，
因为 ，
所以 ，即 ．
(2) 由题意得，因为 ，所以 ，
所以当 即 时， 有最大值 ，
所以当 即 时， 有最小值 ．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
18. 【答案】
(1) 因为函数 ，
所以 ，故 ．
(2) 由函数的解析式为 可得，它的最小正周期为 ．
令 ，求得 ，
可得它的单调递增区间为 ．
(3) 将函数 的图象向右平移 个单位，
得到函数 的图象，
若函数 在 上有且仅有两个零点，
则在 上有且仅有两个实数，满足 ，即 ．
在 上，，
所以 ，求得 ．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
19. 【答案】
(1) 与 加后是一个“ 类波”，即：
由定义解析式 称为“波”，把振幅都是 的波称为“ 类波”，
所以 ．
(2) 设 ，，，
由 恒成立，
同（）化简方法利用两角和差公式及辅助角公式，
可解得 ，
易得
由两式变型平方可得 ；，
两式左右完全平方相加可得 ；，
同理可得 ；，
所以 ．
【知识点】辅助角公式、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
20. 【答案】
(1) 由表格根据五点法作图的规律，可得 ，
解得 ，，，，．
(2) 将函数 的图象向右平移 个单位，
可得 的图象；
再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象．
函数 ，
由 ，可得 ，
要求函数的单调递增区间，即求 的减区间，而 的减区间为 ，
故 的单调递增区间为 ．
(3) ，
令 ，则 ，
显然当 时， 不存在零点，因此只需考虑 时， 的零点情况，
令 （ 且 ），则 ，，
则函数 在 和 上单调递减，且 时 ，
当 时，，
所以当 时， 与 有两个交点，此时方程 存在 个实根，
当 时， 与 有一个交点，此时方程 存在 个实根，
当 或 时， 与 有两个交点，此时方程 存在 个实根．
因为 在 上恰有奇数个零点，
所以当 时， 只可能存在 个零点．
因此只有 时符合条件，
所以 时 的零点为： 个．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦函数的图象
21. 【答案】
(1) 因为函数图象过点 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
由 可得 ，
所以 的单调递增区间为 ，．
(2) 由（）知 ，
令 ，可得 ，
所以得 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，即函数的值域为 ．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
22. 【答案】圆心角为 ，弦长等于 米．
设圆心到弦的距离为 米，则扇形半径 米，
由勾股定理得 ，解得 米．
所以扇形面积等于 平方米，
平方米．
圆心到弦的距离等于 米，
所以矢长为 米，
按照题目中弧田面积经验公式计算得 平方米．
所以 ．
【知识点】弧度制
23. 【答案】
(1) 易见 的定义域为 ，
对任意 ，，
所以 ，
即 是以 为余弦周期的余弦周期函数．
(2) 由于 的值域为 ，
所以对任意 ， 都是一个函数值，即有 ，使得 ．
若 ，则由 单调递增得到 ，与 矛盾，所以 ．
同理可证 ．故存在 使得 ．
(3) 若 为 在 上的解，
则 ，且 ，，
即 为方程 在 上的解．
同理，若 为方程 在 上的解，则 为该方程在 上的解．
以下证明最后一部分结论．
由（）所证知存在 ，使得 ，．
而 是函数 的单调区间，．
与之前类似地可以证明： 是 在 上的解当且仅当 是 在 上的解．
从而 在 与 上的解的个数相同．
故 ，．
对于 ，，，
而 ，故 ．
类似地，当 ， 时，有 ．
结论成立．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
24. 【答案】
(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】积化和差与和差化积公式
25. 【答案】
(1) 设 的最小正周期为 ．
由题图可知 ，，
所以 ，，
所以 ．
因为函数 的图象过点 ，
所以 ，，．
因为 ，
所以取 ，则 .
所以 ．
(2) 由 ，，
得 ，，
故函数 的单调递增区间为 ，．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质

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