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2020-2021真题精编-直线与圆
一、直线方程的表示
1．（2021·全国卷）点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国卷）如下图，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
5．（2020·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（2021·全国卷）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为____
二、圆的定义及标准方程
7．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2020·全国·高考真题（文））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若
，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
三、直线与圆的位置应用
10．（2021·全国卷）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分没必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也没必要条件
11．（2020·全国·高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
13．（2020·全国·高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全国卷）-（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
15．（2021·全国·高考真题）-（多选）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
16．（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
17．（2020·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
18．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
2020-2021真题精编-直线与圆
解析版
一、直线方程的表示
1．（2021·全国卷）点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
点到直线的距离为，
故选：D.
2．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】
设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
3．（2021·全国卷）如下图，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解.
【详解】
由图可得直线的倾斜角为30°，
所以斜率，
所以直线与轴的交点为，
所以直线的点斜式方程可得：，
即．
故选：D
4．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】
本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.
【详解】
结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D.
5．（2020·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】
首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.
【详解】
由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即为.
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.
6．（2021·全国卷）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________
【答案】
【分析】
根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.
【详解】
由可得，
所以圆心为，
由可得，所以直线的斜率为，
所以与直线垂直的直线的斜率为，
所以所求直线的方程为：，即，
故答案为：.
二、圆的定义及标准方程
7．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
圆的圆心为，半径为，得到圆方程.
【详解】
根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.
故选：B.
8．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】
求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【详解】
设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
9．（2020·全国·高考真题（文））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【分析】
首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】
设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、直线与圆的位置应用
10．（2021·全国卷）圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分没必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也没必要条件
【答案】C
【分析】
由直线与圆相切的等价条件，易判断
【详解】
由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”，因此充分性成立；
“直线与圆相切”“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；
可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件
故选：C
11．（2020·全国·高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】
由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
【点睛】
本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
12．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】
由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得.
故选：C.
13．（2020·全国·高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】
圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
14．（2021·全国卷）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】
转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】
圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
15．（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】
计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
16．（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
【答案】5
【分析】
根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．
【详解】
因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
17．（2020·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
【答案】
【分析】
由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可.
【详解】
设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以（舍）或者，
解得.
故答案为：
【点晴】
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
18．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
【分析】
设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】
设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.

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