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(共36张PPT)
定义:对于两个集合A,B,如果集合A中任
元素都
集合B中的元素,称集合A为集合B的子集
Venn图
是B
A)或(B(A)
的子集
号表示:ACB或者B2A
定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素
时集合B的任
素都是集合A的元素,
那么集合A与集合B相等
Venn图
等
符号表示:若AcB且BC
B
定义:如果集合ACB,但存在元素x∈B
A,则称集合A是集合B的真子集
Venn图:(B
是B的
真子集
符号表示:A军B或者BzA集合间的基本关系
新课程标准解读 核心素养
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 数学抽象、逻辑推理
2.在具体情境中，了解空集的含义 数学抽象
3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用 数学抽象、直观想象
第十三届全国人民代表大会第四次会议，于2021年3月5日在北京开幕，会议审查了《国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要(草案)》．此次有2 907名代表参加会议，其中北京代表55名，若所有代表组成集合A，北京代表组成集合B.
[问题]　(1)集合B中的元素与集合A中的元素的关系是怎样的？
(2)集合B与集合A又存在着什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显．　　　　
知识点二　两个集合之间的关系
1．子集
2．集合相等
3．真子集
集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A；
(2)对于集合A，B，C，若A B，且B C，则A C；若A?B，B?C，则A?C.　　　　
符号“∈”与“ ”有什么区别？
提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1 N.
②“ ”是表示集合与集合之间的关系，比如N R，{1，2，3} {3，2，1}．
③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“ ”的两边均为集合．
1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则(　　)
A．P∈Q　　　　　　　　　 B．P Q
C．Q P D．Q∈P
解析：选C　集合Q中的元素都在集合P中，所以Q P.
2．已知集合A＝{x|－1A．B?A B．A?B
C．B解析：选A　由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可．如图所示，由图可知，B?A.
3．设a∈R，若集合{2，9}＝{1－a，9}，则a＝________．
解析：因为{2，9}＝{1－a，9}，则2＝1－a，所以a＝－1.
答案：－1
知识点三　空集
定义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集
记法
规定 空集是任何集合的子集，即 A
特性 空集只有一个子集，即它的本身， ；若A≠ ，则 A
与0，{0}，{ }有何区别？
提示：
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合；0是实数 不含任何元素；{0}含一个元素0 不含任何元素；{ }含一个元素，该元素是
关系 0 ?{0} ?{ }
下列集合中，是空集的为________(填序号)．
①{0}；②{x|x>8且x<5}；③{x∈N|x2＋1＝0}；
④{x|x>4}；⑤{(x，y)|x2＝－y2，y∈R}．
答案：②③
集合间关系的判断
[例1]　(链接教科书第8页例2)判断下列集合的关系：
(1)A＝{1，2，3}，B＝{x|(x－1)(x－2)(x－3)＝0}；
(2)A＝{x|－1(3)A＝{x|x是文学作品}，B＝{x|x是散文}，C＝{x|x是叙事散文}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[解]　(1)B＝{x|(x－1)(x－2)(x－3)＝0}＝{1，2，3}＝A.
(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A?B.
(3)画出Venn图，可知C?B?A.
(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
判断集合间关系的常用方法
　　　　
[跟踪训练]
1．(多选)下列关系中，正确的有(　　)
A．0∈{0}　　　　　　　 B． ?{0}
C．{0，1}?{(0，1)} D．{(1，2)}＝{(2，1)}
解析：选AB　对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以 ?{0}正确；对于C，{0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以C错误；对于D，{(1，2)}与{(2，1)}是不同的点集，所以D错误．
2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.
解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A?C；(3){2}?C；(4)2∈C.
答案：(1)＝　(2)?　(3)?　(4)∈
子集、真子集个数问题
[例2]　(链接教科书第8页例1)已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}．
(1)写出集合M的子集、真子集；
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数．
[解]　M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0，1}，N＝{x|－2＜x＜2，且x∈Z}＝{－1，0，1}．
(1)所以M的子集为 ，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为： ，{0}，{1}．
(2)N的子集为： ，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}．
所以N的子集数为8个，真子集数为7个，非空真子集数为6个．
求集合子集、真子集个数的3个步骤
[注意]　(1)要注意两个特殊的子集： 和自身；
(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏．　　　　
[跟踪训练]
1．已知集合A＝{－1，0，1}，则含有元素0的A的子集的个数为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B　根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}，共4个．
2．已知集合A＝{a－2，1，2}，且－3∈A，试写出集合A的子集，并写出集合A的真子集．
解：∵A＝{a－2，1，2}，且－3∈A，∴a－2＝－3，解得a＝－1.
∴集合A＝{－3，1，2}，
∴集合A的子集为 ，{－3}，{1}，{2}，{－3，1}，{－3，2}，{1，2}，{－3，1，2}．
集合A的真子集为 ，{－3}，{1}，{2}，{－3，1}，{－3，2}，{1，2}．
由集合间的关系求参数(范围)
[例3]　(链接教科书第9页习题5题)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|11)，且B A，则实数m的取值范围是________．
[解析]　由于B A，结合数轴分析可知，m≤4，
又m>1，所以1[答案]　1[母题探究]
1．(变条件)本例若将“B＝{x|11)”改为“B＝{x|1解：若m≤1，则B＝ ，满足B A.
若m>1，则由例题解析可知1综上可知m≤4.
2．(变条件)本例若将集合A，B分别改为A＝{－1，3，2m－1}，B＝{3，m2}，其他条件不变，则实数m的值又是什么？
解：因为B A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，当m＝1时，A＝{－1，3，1}，B＝{3，1}满足B A.所以m的值为1.
由集合间的包含关系求参数的方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．
[注意]　(1)不能忽视集合为 的情形；
(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．　　　　
[跟踪训练]
已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．
(1)若B A，求a的取值范围；
(2)若A B，求a的取值范围．
解：(1)因为B A，B是A的子集，由图①得a≤3.
(2)因为A B，A是B的子集，由图②得a≥3.
子集个数的探究
阅读下表，找出规律并回答下面的问题：
集合 元素个数 所有子集 子集个数
{a} 1 ，{a} 2
{a，b} 2 ，{a}，{b}，{a，b} 4
{a，b，c} 3 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8
[问题探究]
1．你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？
提示：“元素个数”与“子集个数”之间的关系是：设该集合的元素有n个，则该集合的子集个数为2n.
2．如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集和真子集数目的公式吗(用n表达)
提示：子集个数为2n，真子集个数为2n－1.
[迁移应用]
1．已知集合A＝{(x，y)|4x＋3y－12＜0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集的个数为(　　)
A．3　　　　　　　　　 B．4
C．7 D．8
解析：选D　用列举法表示集合A，得A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，则集合A的子集的个数为23＝8.
2．已知集合M满足{1，2}?M {1，2，3，4，5}，则所有满足条件的集合M的个数是(　　)
A．6　　 B．7
C．8　　 D．9
解析：选B　由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此集合M的个数为25－2－1＝7.
1．下列各组两个集合A和B，表示相等集合的是(　　)
A．A＝{π}，B＝{3.141 59}
B．A＝{2，3}，B＝{(2，3)}
C．A＝{1，，π}，B＝{π，1，|－|}
D．A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1}
解析：选C　集合相等，两集合中的元素完全相同．
选项A，∵π≠3.141 59，∴A≠B；
选项B，∵2，3表示两个实数，而(2，3)表示一个点，
∴A≠B；
选项C，∵|－|＝，∴A＝B；
选项D，∵A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}＝{0，1}，B＝{1}，∴A≠B.
2．(多选)下列说法中，正确的有(　　)
A．空集是任何集合的真子集
B．若A?B，B?C，则A?C
C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
D．如果不属于B的元素一定不属于A，则A B
解析：选BD　空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选项A错；真子集具有传递性，故选项B正确；若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C错；由Venn图易知选项D正确．故选B、D.
3．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是(　　)
A．A B　　　　　　　　　 B．A B
C．A?B D．A?B
解析：选D　集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以B?A.
4．已知集合A＝{－1，3，m}，B＝{3，4}，若B A，则实数m＝________．
解析：∵B A，∴元素3，4必为A中元素，∴m＝4.
答案：4
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