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2021数学中考试题汇编相交线与平行线
一、选择题
(2021·辽宁省沈阳市·历年真题)如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=70°，则∠2的度数是（　　）
A.
B.
C.
D.
(2021·山东省东营市·历年真题)如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF=150°，则∠ABE=（　　）
A.
B.
C.
D.
(2021·浙江省杭州市·历年真题)如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（　　）
A. B. C. D.
(2021·广东省·历年真题)如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）

A. ， B. ， C. ， D. ，
(2021·黑龙江省大庆市·历年真题)下列说法正确的是　　
A. 两直线相交，同位角相等 B. 两直线平行，同位角相等
C. 两直线平行，同旁内角相等 D. 两直线平行，内错角互补
(2021·黑龙江省大庆市·历年真题)如图，下列说法正确的是（）．
A. 由可得 B. 由可得
C. 由可得 D. 由可得
(2021·黑龙江省大庆市·历年真题)如图，下列说法正确的是（　　）
A. 若，可得
B. 若，可得
C. 若，可得
D. 若，可得
(2021·广西壮族自治区贵港市·历年真题)下列命题是真命题的是（　　）
A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两角分别相等的两个三角形相似
(2021·贵州省铜仁市·历年真题)直线AB、BC、CD、EG如图所示，∠1=∠2=80°，∠3=40°，则下列结论错误的是（　　）
A.
B.
C.
D.
(2021·四川省内江市·历年真题)如图，AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3的度数为（　　）
A.
B.
C.
D.
(2021·广东省深圳市·历年真题)如图，直线l1∥l2，AB=BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA=20°，则∠1的度数为（　　）
A.
B.
C.
D.
(2021·河南省·历年真题)如图，a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　）
A.
B.
C.
D.
(2021·广东省深圳市·历年真题)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　）

A. B. C. D.
(2021·湖北省荆州市·历年真题)阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（　　）
如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c.
证明：①∵a⊥b（已知）
∴∠1=90°（垂直的定义）
②又∵b∥c（已知）
∴∠1=∠2（同位角相等，两直线平行）
③∴∠2=∠1=90°（等量代换）
④∴a⊥c（垂直的定义）
A. B. C. D.
二、填空题
(2021·黑龙江省大庆市·历年真题)如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______ 个交点.
(2021·湖南省益阳市·历年真题)如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD= ______ 度.
(2021·广东省深圳市·历年真题)如图， ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于______．
(2021·广西壮族自治区桂林市·历年真题)如图，直线a，b被直线c所截，当∠1 ______ ∠2时，a∥b.（用“＞”，“＜”或“=”填空）
(2021·广东省·历年真题)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=110°，则∠B= ______ ．
(2021·江苏省泰州市·历年真题)如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB=100°，∠EHD=80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转______ °.
三、解答题
(2021·安徽省·历年真题)已知在O中,直径AB=6,BC是弦,ABC=,点P在BC上,点Q在O上,且OPPQ.
(1)如图,当PQAB时,求PQ的长;
(2)如图,当点P在BC上移动时,求PQ长度的最大值.
(2021·四川省资阳市·历年真题)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（-1，0），C（0，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE=1：2时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且DD'=2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，连接CN.当D'N+CN的值最小时，求MN的长.
(2021·广东省深圳市·历年真题)已知AB∥CD，AD∥BC，E为CB延长线上一点，∠EAF=∠EFA.
（1）求证：AF平分∠EAD
（2）若AG平分∠EAB，∠D=70°，求∠GAF的度数。
(2021·浙江省·历年真题)问题：如图，在 ABCD中，AB=8，AD=5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案：EF=2.
探究：（1）把“问题”中的条件“AB=8”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长.
（2）把“问题”中的条件“AB=8，AD=5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值.
(2021·天津市·历年真题)如图，BC为⊙O的直径，点A为BC上方圆周上一动点，连接AB,AC，AD为⊙O的切线，过点B作BD⊥AD，垂足为D，已知AQ平分∠BAC.
（1）求证：BA平分∠DBC；
（2）已知CQ=，①当BD=____,四边形ADBP为正方形；②当AP=____，BP=CP.
(2021·江苏省泰州市·历年真题)（1）如图①，O为AB的中点，直线l1、l2分别经过点O、B，且l1∥l2，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l2于点C，连接AC.求证，直线l1垂直平分AC；
（2）如图②，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l1、l4上，连接PQ.用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D，使线段PD最短.（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）

参考答案
1.【答案】C【解析】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=70°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-70°=110°．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：如图，过点E作GE∥AB，
∵AB∥CD，
∴GE∥CD，
∴∠GEF+∠EFD=180°，
∵EF⊥CD，
∴∠EFD=90°，
∴∠GEF=180°-∠EFD=90°，
∵∠BEF=∠BEG+∠GEF=150°，
∴∠BEG=∠BEF-∠GEF=60°，
∵GE∥AB，
∴∠ABE=∠BEG=60°，
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，
∴PT≥PQ，
故选：C．
根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论．
4.【答案】B
【解析】
解：∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠6，
故选B．
5.【答案】B
【解析】
解：A.两直线平行，同位角相等，故原命题错误，不符合题意；
B.两直线平行，同位角相等，故原命题正确，符合题意；
C.两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意；
D.两直线平行，内错角相等，故原命题错误，不符合题意；
故选B．
6.【答案】D
【解析】解：A.若∠1=∠5，则AD∥BC，；则A错误；
B.若∠3=∠7，则AB // DC ，则；则B错误；
C.若∠2=∠6，则AB∥CD；则C错误；
D.若∠4=∠8，则AD∥BC；则D正确；
故选D.
7.【答案】C
【解析】解：A、由∠DAC=∠FBH，不能得到DE∥FG，因为这两个角不是并不是由两条直线被第三条直线所截得到的，故A错误；
B、由∠CAB=∠HBI，可得AC∥BH（同位角相等，两直线平行），故B错误；
C、由∠BAE=∠FBA，可得DE∥FG（内错角相等，两直线平行），故C正确；
D、由∠DAB=∠FBI，可得DE∥FG（同位角相等，两直线平行），故D错误．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
9.【答案】D
【解析】解：∵∠1=∠2=80°，
∴AB∥CD，
故A正确，不符合题意；
∵∠3=40°，
∴∠EFB=∠3=40°，
∵∠1=∠EBF+∠EFB，
∴∠EBF=40°=∠EFB，
∴EF=BE，
故B正确，不符合题意；故D错误，符合题意；
∵∠2是△FCG的外角，
∴∠FCG+∠3=∠2，
故C正确，不符合题意；
故选：D．
10.【答案】C
【解析】解：如图，
∵AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，
∴∠4=∠1=45°，
∵∠3=∠4+∠2，
∴∠3=45°+35°=80°．
故选：C．
11.【答案】B
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵∠DCA=20°，
∴∠BAC=70°，
∵AB=BC，
∴∠BCA=70°，
∵l1∥l2，
∴∠1=70°．
故选：B．
12.【答案】D
【解析】解：由图得∠2的补角和∠1是同位角，
∵∠1=60°且a∥b，
∴∠1的同位角也是60°，
∠2=180°-60°=120°，
故选：D．
先根据图得出∠2的补角，再由a∥b得出结论即可．
本题主要考查平行线的性质，平行线的性质与判定是中考必考内容，平行线的三个性质一定要牢记．
13.【答案】B
【解析】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF=FE，
∴MN=ME，
∴FM=AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON=S△FOM=，
∴ ON AN= OM FM，
∴ON=OM，
∴ON=MN=EM，
∴ME=OE，
∴S△FME=S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE=S△AOE，
∴S△AOE=18，
∵AF=EF，
∴S△EOF=S△AOE=9，
∴S△FME=S△EOF=3，
∴S△FOM=S△FOE-S△FME=9-3=6=，
∴k=12．
故选：B．
14.【答案】B
【解析】证明：①∵a⊥b（已知），
∴∠1=90°（垂直的定义），
②又∵b∥c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
③∴∠2=∠1=90°（等量代换），
④∴a⊥c（垂直的定义），
①～④步中数学依据错误的是②，
故选：B．
15.【答案】190
【解析】解：∵每两条直线相交有两个交点，
∴n条直线相交最多有个交点，
∴20条直线相交最多有190个交点．
故答案为190．
16.【答案】60
【解析】解：∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB，
∴∠AOE=∠COE，∠COE=∠BOC，
∴∠AOE=∠COE=∠BOC，
∵∠AOE+∠COE+∠BOC=180°，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
故答案为：60．
17.【答案】3
【解析】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB∥CD
∴∠EDP=∠DAB=60°，
∴sin∠EDP=
∴EP=PD
∴PB+PD=PB+PE
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠A==
∴BE=3
故答案为3
18.【答案】=
【解析】解：要使a∥b，只需∠1=∠2．
即当∠1=∠2时，
a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故答案为=．
由图形可知∠1 与∠2是同位角，只需这两个同位角相等，便可得到a∥b．
此题考查了平行线的判定．难度不大，注意掌握同位角、内错角、同旁内角的识别．
19.【答案】70°
【解析】解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠A=110°，
∴∠B=70°，
故答案为：70°．
20.【答案】20
【解析】解：当∠EGB=∠EHD时，AB∥CD，
∵∠EGB=100°，∠EHD=80°，
∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°．
故答案为：20．
21.【答案】解: (1)连接OQ,如图1,
PQAB,OPPQ,OPAB,
在RtOBP中,B=,PB=2OP,
OB=3,-=,=9,OP=.
在RtOPQ中,OP=,OQ=3,PQ==.
(2)连接OQ,如图2,
在RtOPQ中,PQ==,
当OP的长度最小时,PQ的长度最大,
易知当OPBC时,OP长度最小,此时OP=OB=,
PQ长度的最大值为=.
22.【答案】解：（1）∵y=-x2+bx+c经过B（-1，0），C（0，3），
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
(2)如图1中，过点B作BT∥y轴交AC于T,过点P作PQ∥OC交AC于Q．
设P(m,-m2+2m+3),
对于抛物线y=-x2+2x+3，令y=0,可得x=3或-1，
∴A(3,0),
∵C(0,3),
∴直线AC的解析式为y=-x+3,
∵B(-1,0),
∴T(-1,4),
∴BT=4,
∵PQ∥OC,
∴Q(m,-m+3),
∴PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m,
∵PQ∥BT,
∴==,
∴-m2+3m=2,
解得m=1或2，
∴P(1,4)或（2,3）．
（3）如图2中，连接AD′,过点N作NJ⊥AD′于J,过点C作CT⊥AD′于T．
∵抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点D(1,4),
∵C(0,3),
∴直线CD的解析式为y=x+3,CD=,
∵DD′=2CD,
∵DD′=2,CD′=3,
∴D′(3,6),
∵A(3,0),
∴AD′⊥x轴，
∴OD′===3,
∴sin∠OD′A==,
∵CT⊥AD′,
∴CT=3,
∵NJ⊥AD′,
∴NJ=ND′ sin∠OD′A=D′N,
∴D'N+CN=CN+NJ,
∵CN+NJ≥CT,
∴D'N+CN≥3,
∴D'N+CN的最小值为3．
此时N为OD'与CT的交点，
∴N（1.5，3），
∵平移后抛物线的解析式为y=-（x-3）2+6，MN平行y轴，将x=1.5代入抛物线解析式，
∴M（1.5，3.75），
∴MN=0.75.
23.【答案】
（1）证明：因为，，
所以四边形为平行四边形，
，
又，
所以，
则AF平分；
（2）解：四边形ABCD为平行四边形，
，
设，
在三角形BAF中，，
，
所以.
24.【答案】解：（1）①如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8，BC=AD=5，AB∥CD，
∴∠DEA=∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD=5，
同理：BC=CF=5，
∵点E与点F重合，
∴AB=CD=DE+CF=10；
②如图2所示：
∵点E与点C重合，
∴DE=DC=5，
∵CF=BC=5，
∴点F与点D重合，
∴EF=DC=5；
（2）分三种情况：
①如图3所示：
同（1）得：AD=DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD=DE=EF=CF，
∴=；
②如图4所示：
同（1）得：AD=DE=CF，
∵DF=FE=CE，
∴=；
③如图5所示：
同（1）得：AD=DE=CF，
∵DF=DC=CE，
∴=2；
综上所述，的值为或或2．
25.【答案】(1)证明:连接AD为O的切线,OAAD,BDAD,
AOABD=BAO,
OA=OB,BAO=ABO,ABD=ABO,
即:BA平分DBC;
(2)3;;
提示如下:连接BQ,AQ平分BAC,='
BQC为等腰直角三角形,BC=CQ=6,OB=3,四边形ADBP为正方形,
BD=BP=同上可知BC=6,BP=BP=2,PC=4,OP=3-2=1,
在RtPOQ中,OP=1,OQ=3,PQ==PAB=PCQ,ABC=AQC,
APB∽CPQ,AP:CP=BP:PQ,代入可得:AP=,故答案为:3;
26.【答案】（1）证明：∵OA=OB=OC，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠OCB，∠A+∠B+∠ACB=180°
∴2∠A+2∠B=180°
∴∠A+∠B=90°
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥CB，
∵l1∥l2，
∴l1⊥AC，
∵OA=OC，
∴直线l1平分AC，
∴直线l1垂直平分线段AC．
（2）解：如图，线段PD即为所求．
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