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期末复习单元卷：三角函数
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2021高一下·西安月考）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2020高一上·台州期末）已知半径为1的扇形AOB的周长为 ，则扇形AOB的面积为（ ）
A． B． C． D．π
3.（2021·淄博模拟）若 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
4.（2021·甘肃模拟）已知 是第四象限角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5.（2021·河南模拟）由射线 （ ）逆时针旋转到射线 （ ）的位置所成角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6.（2021高三上·如皋月考）若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7.（2021·南昌模拟）已知函数 与直线 在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为 ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
8.（2021高一下·岑溪期末）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，则当函数 在 有零点时，关于其零点之和有以下阐述：其中结果有可能成立的是（ ）
①零点之和为 ；②零点之和为 ；③零点之和为 ；④零点之和为 .
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2020高一上·台州期末）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10.（2021高二上·官渡开学考）将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象最小正周期为
C．函数 的图象在 上单调递增
D．函数 的图象关于直线 对称
11.（2021高三上·广西壮族自治开学考）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12.（2021高三上·建平月考）如图是函数 的部分图象，若 在 内有且只有一个最小值点， 的值可以为（ ）
A． B． C．1 D．2
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（2021高一下·丰台期末）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象．若函数 的图象关于原点对称，则 的一个取值为 ．
14.（2021高一下·新余期末）已知单位圆上第三象限内的一点 沿圆周逆时针旋转 到点 ，若点 的横坐标为 ，则点 的横坐标为 .
15.（2020高一上·金华期末）已知锐角 满足 ，则 ______．
16.（2021高一下·咸阳期末）已知函数 ，若 的图像在 上与 轴恰有两个交点，则 的取值范围是 .
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（2020高一上·越秀期末）已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
18.（2021高三上·月考）已知函数 .
（1）求函数 在 内的单调递增区间；
（2）若 ，求实数 的值.
19.（2021高一下·金湖月考）已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 的单调递增区间；
（3）求函数 在区间 上的值域.
20.（2020高一上·望城期末）如图，在扇形 中，半径 ，圆心角 ，B是扇形弧上的动点，矩形 内接于扇形．记 ，求当角 取何值时，矩形 的面积最大？并求出这个最大值．
21.（2021高一下·东城期末）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（t＝0），设 ，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为a．
（1）求f(t)的函数解析式；
（2）当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）；
（3）若水车转速加快到原来的2倍，直接写出f(t)的函数解折式．（参考数据： ）
22.（2020高一上·赣州期末）设函数 .
（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数 在区间 上的简图(请先列表，再描点连线)；
（2）若 ，求 的值.
答案及解析
1.【答案】 A
【解析】由 ，因为 ，所以 ，
即 ，
2.【答案】 A
【解析】设扇形AOB的弧长为 ，半径
则扇形周长为： ，解得：
所以扇形AOB的面积为
3.【答案】 C
【解析】由 ，可得 ，
因为 ，可得 ，且 ，可得 ，所以 ，
又由 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，即 ，解得 .
4.【答案】 D
【解析】因为 是第四象限角，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
5.【答案】 A
【解析】解：设 （ ）的倾斜角为 ，则
射线 （ ）的倾斜角为 ，
∴
6.【答案】 D
【解析】因为 ，且 ，
所以 ，
所以 .
7.【答案】 D
【解析】解：由题意得 ， 则函数f(x)的周期T=π，令f(x)=a，则或 ，
其中 ，
则
所以
则
8.【答案】 D
【解析】解：∵ 定义在 上的函数 满足
∴函数 的图象关于对称
∴ 函数 的图象也关于对称
若f(x)-a=0，则
①若零点之和为 ， 则 ， ， 而当时，f(x)=a矛盾，故①不成立；
②若零点之和为 ， 则f(x)-a=0在上有唯一零点，且
作出函数 在上的图象，如图，
由图可知，当即可，故②正确；
③若零点之和为 ， 则f(x)-a=0在上有唯一零点，且 ， 则即可，故③正确；
④若零点之和为，则f(x)-a=0在上有2个零点，且 ， 由图可知，当即可，故④正确；
9.【答案】CD
【解析】因为角 为第二象限角，可得 ，所以A不正确；
由 ，所以B不正确；
由 ，所以C正确；
由 ，所以D正确.
10.【答案】AC
【解析】由题可知， .
因为 ，故 正确；
因为 的周期为 ，故 错误；
因为 ，故可得 ，故 正确；
因为正切函数不是轴对称函数，故 错误.
11.【答案】AC
【解析】依题意 ，
，
，
，
，
，代入 ，
，
化简得 ，
两边除以 ， ，
，
解得 或 。
12.【答案】BC
【解析】由图可知： ，即 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 在 有且只有一个最小值点，
所以 ，即 ，解得 。
13.【答案】
【解析】将函数 的图象向左平移 个单位长度，
可得 ，由函数 的图象关于原点对称，
可得 ,
所以 ， ，
当 时， .
14.【答案】
【解析】由题意设 ，
从而点 沿圆周逆时针旋转 到点 ，即 点坐标为 ，
所以 ， ，
∵ ，∴ ，则 ，
所以 ，
所以，点 的横坐标为 。
15.【答案】 50°
【解析】 ，
所以 ， ，则 ， ，
所以， ，解得 。
16.【答案】
【解析】∵ 且 ，∴ ，
再利用 在 上恰好与 轴有2个交点，
∴ 且 ，解之得 。
17.【答案】 （1）解：因为 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，所以
（2）解：
18.【答案】 （1）解：由题意得 ，
由 ，
解得
又因为 ，
所以 或
所以 在 内的单调递增区间为 和
（2）解：由 .
可得 ，
得 ，
由 .
可得 ，
所以
解得 或 .
当 时， ，故舍去.
综上可得 .
19.【答案】 （1）解：
因为 ，所以函数的最小正周期
（2）解：由 得
的单调递增区间为
（3）解：因为 ，所以 ，所以 ，所以
所以函数的值域为
20.【答案】 解：在 中， ，
在 中，
所以
所以
设矩形 的面积为 ，则

由 ，得 ，所以当 ，即 时，
因此，当 时，矩形 的面积，最大面积为
21.【答案】（1）由题意设 ，则 ， ，则 ，
由题意 ， 是锐角，所以 ，
， ， ，
所以 ；
（2）河水上涨 米，在 中， ， ．
（3）水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半，即 ， ，
所以 ．
22.【答案】 （1）解：列表如下：
0
2 0 -2 0 2
（2）解：由 ，得 ，
由 ，
得 ，
由 ，
得 ，
则 .
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期末复习学案：三角函数
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作raD．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
1．200°角是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【解析】因为180°<200°<270°，第三象限角α的取值范围为k·360°+180°<α2．若角α与角终边相同，则在[0，2π]内终边与角终边相同的角是　　　　　.
【答案】
【解析】由题意，得α=+2kπ(k∈Z)，(k∈Z).又[0，2π]，所以k=0，1，2，3，相应地有
3．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 (　　)
A． B． C．- D．-
【答案】A
【解析】将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转，故选项C，D不正确.又拨慢10分钟，所以转过的角度应为圆周的，即为2π=
4．设集合M=，N={α|-π<α<π}，则M∩N等于　　　　　.
【答案】
【解析】当k=-1，0，1，2时M中的角满足条件，故M∩N=
1．已知集合M=x=±45°，k∈Z，P=，则M，P之间的关系为 (　　)
A．M=P B．M P C．M P D．M∩P=
【答案】B
【解析】对于集合M，x=±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°，k∈Z，对于集合P，x=±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°，k∈Z.∴M P.
2．已知α，β都是锐角，且α+β的终边与-280°角的终边相同，α-β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小.
【解析】由题意可知，α+β=-280°+k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴0°<α+β<180°.
取k=1，得α+β=80°①
α-β=670°+k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴-90°<α-β<90°.
取k=-2，得α-β=-50°②
由①②，得α=15°，β=65°.
3．若角α的终边与角的终边关于直线y=x对称，且α∈(-4π，4π)，则α=　　　　.
【答案】-，-
【解析】如图所示，设角的终边为OA，OA关于直线y=x对称的射线为OB，则以OB为终边且在0到2π之间的角为，
故以OB为终边的角的集合为αα=2kπ+，k∈Z.
∵α∈(-4π，4π)，∴-4π<2kπ+<4π，∴-∵k∈Z，∴k=-2，-1，0，1.∴α=-，-
4．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求:
(1)的长；
(2)弓形(阴影部分)的面积.
【解析】(1)∵120°=，
=6=4π，的长为4π.
(2)过点O作OD⊥AB于点D，则D为AB的中点，
AB=2BD=2·OB·cos30°=2×6=6，
OD=OB·sin30°=6=3.
∵S扇形AOB=OB=4π×6=12π，
S△OAB=AB·OD=63=9，
∴S弓形=S扇形AOB-S△OAB=12π-9
∴弓形的面积为12π-9
1．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.
2．常用结论
（1）三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
（2）若α∈，则tan α>α>sin α.
（3）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
（4）象限角的集合
3．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
同角三角函数基本关系式的常用变形：
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
1．tan的值等于(　　)
A． B．- C． D．
【答案】A
【解析】tan=tan=tan
2．已知角α的终边与单位圆交于点P-，y，则cos α= (　　)
A．- B．- C．- D．±
【答案】B
【解析】角α的终边与单位圆交于点P-，y，
∴cosα=-
3．已知cos θ=，且<θ<2π，则的值为(　　)
A． B．- C． D．-
【答案】D
【解析】因为cosθ=，且<θ<2π，所以sinθ=-=-
所以tanθ=-，故=-选D．
1．已知cos α+sin α=-1/2，则sin αcos α的值为(　　)
A．-3/8 B．±3/8 C．-3/4 D．±3/4
【答案】A
【解析】由已知得(cosα+sinα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=1/4，解得sinαcosα=-3/8.
2．若tan2x-sin2x=，则tan2xsin2x=　　　　　.
【答案】
【解析】tan2xsin2x=tan2x(1-cos2x)=tan2x-tan2xcos2x=tan2x-sin2x=
3．证明:
证明:∵左边==
==右边，
∴原等式成立.
4．已知角的终边经过点，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为已知角的终边经过点，且，所以有，求得；
（2）由（1）可得，，
原式===．
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
3．常用结论
（1）同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
（2）诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
1．若，则=(　　)
A．sin α B．-sin α C．cos α D．-cos α
【答案】B
【解析】，∴sinα<0=-sinα.
2．若cos(π-α)=-，则cos(-2π-α)的值为(　　)
A． B．± C．- D．±
【答案】A
【解析】∵cos(π-α)=-cosα=-，∴cosα=∴cos(-2π-α)=cos(-α)=cosα=
3．若角7π-α的终边与单位圆的交点坐标是，则cos(α-2 018π)=(　　)
A．± B．± C． D．-
【答案】A
【解析】依题意，sin(7π-α)=，即sinα=，于是cosα=±，故cos(α-2018π)=cosα=±
4．化简下列各式．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式＝
（2）原式＝
5．已知f(n)=sin(n∈Z)，则f(1)=　　　　　　，f(7)=　　　　　，f(1)+f(2)+…+f(8)=　　　　　，f(1)+f(2)+…+f(100)=　　　　　　.
【答案】　-　0　1+
【解析】∵f(n)=sin(n∈Z)，∴f(1)=，f(2)=1，f(3)=，f(4)=0，f(5)=-，f(6)=-1，f(7)=-，f(8)=0.
即sin+sin+sin+…+sin=0，
且以8为循环周期.
则f(1)+f(2)+…+f(100)=sin+sin+sin+…+sin=sin+sin+sin+sin=1+
1．已知P(sin 40°，-cos 140°)为锐角α终边上的点，则α= (　　)
A．40° B．50° C．70° D．80°
【答案】B
【解析】∵P(sin40°，-cos140°)为角α终边上的点，因而tanα==tan50°，又α为锐角，则α=50°，故选B．
2．已知tan=5，则tan=　　　　　.
【答案】-5
【解析】tan=tan=-tan=-5.
3．求值:sin2+sin2=　　　　　.
【答案】1
【解析】-α++α=，∴sin2=sin2=cos2
∴sin2+sin2=sin2+cos2=1.
4．若角的终边上有一点，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）点到原点的距离为，
根据三角函数的概念可得，解得，（舍去）.
（2）原式，
由（1）可得，，
所以原式.
5．化简：
【解析】原式==
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
1．函数y=sin(-x)，x∈[0，2π]的简图是(　　)
【答案】B
【解析】y=sin(-x)=-sinx，x∈[0，2π]的图象可看作是由y=sinx，x∈[0，2π]的图象关于x轴对称得到的，故选B．
2．函数f(x)=-2sin的最小正周期为(　　)
A．6 B．2π C．π D．2
【答案】D
【解析】T==2.
3．函数y=|sin x|的一个单调递增区间是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出y=|sinx|的图象即可求解.
故选C．
4．若函数f(x)=tan与函数g(x)=sin的最小正周期相同，则ω=(　　)
A．±1 B．1 C．±2 D．2
【答案】A
【解析】∵函数g(x)的周期为=π，∴=π，∴ω=±1.
5．已知函数最小正周期为，图象过点.
（1）求函数解析式
（2）求函数的单调递增区间.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知得，解得.
将点代入【解析】式，，可知，
由可知，于是.
（2）令
解得，
于是函数的单调递增区间为
1．已知f(x)=sin，g(x)=cos，则f(x)的图象(　　)
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位，得g(x)的图象
D．向右平移个单位，得g(x)的图象
【答案】D
【解析】由诱导公式，得f(x)=sin=cosx，所以f(x)=sin=cosx的图象向右平移个单位，得到g(x)的图象.
2．函数y=的定义域是　 .
【答案】，k∈Z
【解析】要使函数有意义，只需2cosx-≥0，即cosx由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为，k∈Z.
3．函数y=sin2x+2cos x的最大值和最小值分别是(　　)
A．，- B．，-2 C．2，- D．2，-2
【答案】B
【解析】因为函数y=sin2x+2cosx=1-cos2x+2cosx=-(cosx-1)2+2，又cosx
所以当cosx=-1，即x=π时，函数y取得最小值为-4+2=-2；当cosx=，即x=时，函数y取得最大值为-+2=
4．函数y=sin |x|+sin x的值域是　　　　　.
【答案】[-2，2]
【解析】∵y=sin|x|+sinx=-2≤y≤2.
5．函数y=tan的值域为　　　　　　　　　　.
【答案】(-∞，-1]∪[1，+∞)
【解析】∵-≤x≤，且x≠0，
∴-x≤，且-x≠.
∴由y=tanx的图象知y=tan的值域为(-∞，-1]∪[1，+∞).
6．已知函数y=sin x+|sin x|.
(1)画出这个函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗 如果是，求出它的最小正周期.
【解析】(1)y=sinx+|sinx|=
函数图象如图所示.
(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，故函数的最小正周期是2π.
1．两角和与差的余弦公式
C（α－β）：cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β ．
C（α＋β）：cos（α＋β）＝ cos αcos β－sin αsin β ．
2．两角和与差的正弦公式
S（α＋β）：sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β ．
S（α－β）：sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β ．
3．两角互余或互补
（1）若α＋β＝，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与互余，＋α与互余．
（2）若α＋β＝π，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与互补，与π－α互补．
4．两角和与差的正切公式
（1）T（α＋β）：tan（α＋β）＝ ．
（2）T（α－β）：tan（α－β）＝ ．
5．两角和与差的正切公式的变形
（1）T（α＋β）的变形：
tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）
tan α＋tan β＋tan αtan βtan（α＋β）＝tan（α＋β）
tan α·tan β＝．
（2）T（α－β）的变形：
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）
tan α－tan β－tan αtan βtan（α－β）＝tan（α－β）
tan αtan β＝．
6．倍角公式及其变形形式
sin 2α＝2sinαcosα；
cos 2α＝cos2α-sin2α＝2cos 2α-1＝1-2sin2α ；
cos2α＝；
sin2α＝；
tan 2α＝
tan 2α＝＝（α≠kπ，k∈Z）．
1．cos 285°等于(　　)
A． B． C． D．-
【答案】A
【解析】cos285°=cos(360°-75°)=cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°=.
2．若sin=cos，则tan α=(　　)
A．-1 B．0 C． D．1
【答案】A
【解析】由已知得cosα-sinα=cosα-sinα，因此sinα=cosα，于是tanα=-1.
3．已知sin，则cos的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】cos=cos=1-2sin2=1-2×.
4．cos2的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】cos2.
5．已知，，且，，
求，.
【答案】；.
【解析】∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴ ，
∴ ；
.
1．设α∈，β∈，且tan α=，则(　　)
A．3α-β= B．3α+β= C．2α-β= D．2α+β=
【答案】C
【解析】由tanα=，得，得sinαcosβ-cosαsinβ=cosα，sin(α-β)=sin.
又α∈，β∈，
故α-β=-α，即2α-β=.
2．若α为锐角，3sin α=tan α=tan β，则tan 2β等于(　　)
A． B． C．- D．-
【答案】D
【解析】因为α为锐角，3sinα=tanα，所以cosα=，则tanα=2，即tanβ=2，所以tan2β==-.
3．化简cos(α-55°)cos(α+5°)+sin(α-55°)sin(α+5°)=　　　　　.
【答案】
【解析】原式=cos[(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=.
4．若cos θ=-，θ∈，则cos=　　　　　.
【答案】-
【解析】∵cosθ=-，θ∈，∴sinθ=-.
∴cos=cosθcos+sinθsin=-=-.
5．已知sin+sin α=-，则cos= (　　)
A．- B．- C． D．
【答案】D
【解析】∵sin+sinα=sincosα+cossinα+sinα=-，∴sinα+cosα=-，
即sinα+cosα=-.
∴sin=-.
故cos=cos
=-sin.
6．若tan α=，则=　　　　　.
【答案】7
【解析】因为tanα=，所以=7.
7．求下列各式的值:
(1)；
(2)2tan 15°+tan215°；
(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
【解析】(1)原式=====1.
(2)原式=tan30°(1-tan215°)+tan215°=(1-tan215°)+tan215°=1.
(3)(方法一)sin10°sin30°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=.
(方法二)令x=sin10°sin50°sin70°，y=cos10°cos50°cos70°.
则xy=sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°
=sin20°·sin100°·sin140°
=sin20°sin80°sin40°
=cos10°cos50°cos70°=y.
∵y≠0，∴x=.
从而有sin10°sin30°sin50°sin70°=.
8．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2
【解析】（Ⅰ）由题意得：
原式
（Ⅱ），
=．
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x － －+ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
4．常用结论
（1）.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
（2）.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标.
1．函数y=sin在区间上的简图是(　　)
【答案】A
【解析】当x=0时，y=sin=-<0，故可排除B，D；当x=时，sin=sin0=0，排除C．
2．已知函数.
（1）列表并画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（2）将函数的图象作怎样的变换可得到的图象？
【解析】（1）函数的周期
由，解得. 列表如下：
x
0 π 2π
3sin() 0 3 0 –3 0
描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图. 图象如下.
（2）先把的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到的图象.
1．要得到函数y=sin的图象，只需将函数y=sin的图象(　　)
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】C
【解析】因为y=sin=sin，所以应将函数y=sin的图象向右平移个单位.
2．如图为一半径是4米的水轮，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每分钟旋转5圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+1，则(　　)
A．ω=，A=4 B．ω=，A=3
C．ω=，A=5 D．ω=，A=4
【答案】A
【解析】由题意可得T=，可得ω=，
由图象可知y的最大值为5，sin(ωx+φ)=1时取得最大值，∴5=A+1，解得A=4.
3．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y=sin x的图象相同，求f(x)的解析式.
【答案】f(x)=sin.
【解析】(反过来想)y=sinx的图象y=sin的图象y=sin的图象，即所求解析式为f(x)=sin.
1．三角函数符号规律：第一象限全正，二正三切四余弦。
2．同角三角函数关系式：
①倒数关系： ②商数关系：
③平方关系：
诱导公试：奇变偶不变，符号看象限。
3．两角和与差的三角函数：
（1）两角和与差公式：
注：公式的逆用或者变形
（2）二倍角公式：
(3)几个衍生公式：
①辅助角公式：
②降次公式：
③
1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为s=6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　)
A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s
【答案】D
【解析】单摆来回摆动一次所需的时间即为函数s=6sin的一个周期T==1(s)
2．某地一天0~24时的气温y(单位:℃)与时间t(单位:h)的关系满足函数y=6sin+20(t∈[0，24])，则这一天的最低气温是　　　　　℃.
【答案】14
【解析】因为0≤t≤24，所以-t-，故当t-=-，即t=2时函数取最小值-6+20=14.
1．动点A(x，y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是(　　)
A．[0，1] B．[1，7] C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]
【答案】D
【解析】由已知可得该函数的周期为T=12，ω=.
又当t=0时，A，则y=sin，由t∈[0，12]，可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12].
2．求tan9°+cot117°﹣tan243°﹣cot351°的值．
【答案】4
【解析】原式=tan9°﹣tan27°﹣cot27°+cot9°
=（tan9°+cot9°）﹣（tan27°+cot27°）
=
=．
3．已知方程2x2﹣4x sinθ+3cosθ=0的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根．
【答案】
【解析】由题意得△=b2﹣4ac=（﹣4sinθ）2﹣4 2 3cosθ=0，
即16sin2θ﹣24cosθ=0，∴16（1﹣cos2θ）﹣24cosθ=0，
∴2cos2θ+3cosθ﹣2=0，
解得cosθ=或cosθ=﹣2（舍去）．
又θ为锐角，∴θ=60°．
因此，原方程可化为，
解得相等的二根为．
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