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高考试题中数列问题的类型与解法
大家知道，数列问题是近几年高考的热点内容之一，高考试卷中不是大题，就是两到三个小题，分值一般在十到十五分之间。从题型上看，可能是大题，也可能是选择题（或填空题）；难度系数较低，一般为中档题或低档题型。纵观近几年高考试题，归结起来，数列问题主要包括：①数列的基本概念；②等差数列问题；③等比数列问题；④求数列通项公式；⑤求数列前n项和等几种类型，各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、数列{}的前n项和为，+2=，数列{}满足=（3-）（n），则数列{}的前10项和为 （2021成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①数列通项公式及运用；②数列前n项和公式及运用；③数列通项与前n项和之间的关系；④求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】根据数列通项公式，前n项和公式及数列通项与前n项和之间的关系，结合问题条件，得到3-=2，从而得到=（3-）=2=，求出数列{}的通项公式，运用求数列前n项和的基本方法就可求出数列{}的前10项和。
【详细解答】当n=1时，+2=3=3，=1，当n2时，+2=， +2=，+2（-）-=3-=2，=（3-）=2=， =n+1，数列{}的前10项和为2+3+4+-----+11=65。
2、（理）已知数列{ }的前n项和满足=，记数列{}的前n项和为，n，则使＜成立的n的最大值为（ ）（2021成都市高三二诊）
A 17 B 18 C 19 D 20
（文）已知数列{}的前n项和满足=，记数列{}的前n项和为，n，则的值为（ ）
A B C D
【解析】
【考点】①数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用；④裂
项相消法求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（理）根据数列通项公式与前n项和公式，求出数列{ }的通项公式，从而得到数列{}的通项公式，运用裂项相消法求数列前n项和的基本方法求出，从而求出使＜成立的n的最大值就可得出选项。（文）根据数列通项公式与前n项和公式，求出数列{}的通项公式，从而得到数列{}的通项公式，运用裂项相消法求数列前n项和的基本方法求出的值就可得出选项。
【详细解答】（理）①当n=1时，==1，=1；②当n 2时，=-=
-=2n-1, 当n=1时， =2-1=1成立，数列{ }的通项公式为=2n-1, ==（-），=（1-+-+-------+
-+-）=（1-）=，=＜，n＜20，即使＜成立的n的最大值为19，C正确，选C。（文）①当n=1时，==1，=1；②当n 2时，=-=-=2n-1, 当n=1时，=2-1=1成立，数列{}的通项公式为=2n-1, =
=（-），=（1-+-+-------+-+-）=（1-）=， C正确，选C。
3、设数列｛｝满足+ =3n-1，前16项和为540，则= （2020全国高考新课标I文）
【解析】
【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用；③数列递推公式及运用。
【解答思路】当为奇数时，根据问题条件得到-=3n-1，从而得到++-----+含的式子；当n为偶数时，根据问题条件得到+ =3n-1，从而求出++----+的值，根据前16项和为540得到关于的方程，求解方程就可求出的值。
【详细解答】当为奇数时，-=2，-=8，-=14，数列{-}是以2为首项，6为公差的等差数列，-=2+66=38，-=27+6=140，
=140+,++-----+=（2+10+24+44+70+102+140）+8=392+8；当n为偶
数时，+=5，+=11，+=17，数列{+}是以5为首项，6为公差的等
差数列，+=5+66=41， ++++，+++=5+17+29+41=92，
=+++-----++=392+92+8=484+8=540，=7。
4、数列｛｝中，=2，=.，若++-----+=-，则k= （ ）（2020全国高考新课标II理）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考点】①数列通项公式及运用；②数列递推公式及运用；③等比数列的定义与性质。
【解答思路】令m=1,根据问题条件得到=.=2，从而判断数列｛｝是以2为首项，2为公比的等比数列，求出数列｛｝的通项公式，由++-----+=-得到关于k的方程，求解方程求出k的值就可得出选项。
【详细解答】令m=1, =2，=.，=.=2，数列｛｝是以2为首项，2为公比的等比数列，=2=，++-----+=++---
+=（1+2++----+）=（-1）=-，k=4，C正确，选C。
5、0—1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列，，------，，----满足∈{0，1}（i=1,2,----）,且存在正整数m，使得=（i=1,2,----）成立,则称其为0—1周期
序列，并称满足=（i=1,2,----）的最小正整数m为这个序列的周期，对于周期为m
的0—1序列，，------，，----C（k）=（k=1，2，----，m-1）是描述其
性能的重要指标，下列周期为5的0—1序列中，满足C（k） （k=1，2，3，4）的序
列是（ ）（2020全国高考新课标II理）
A 11010 B 11011 C 10001 D 11001
【解析】
【考点】①0—1周期序列的定义与性质；②0—1周期序列周期的定义与性质。
【解答思路】根据0—1周期序列和0—1周期序列周期的性质，运用公式C（k）=（k=1，2，----，m-1）对各选项通过计算就可得出选项。
【详细解答】对A, C（k）== （11+10+11+10+10+11+10
+01+00+10）=＞，排除A；对B, C（k）== （11+10+1
1+11+10+11+11+01+01+11）=＞，排除B；对C, C（k）=
= （10+10+10+11+00+00+01+00+01+01）=，C正确，选C。
6、将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列｛｝，则｛｝的前n项和为
（2020全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用；④等差数列的定义与性质。
【解答思路】根据数列{2n-1}={1，3，5，7，9，11，13，-----,2n-1},数列{3n-2}={1，4，7，10，13，----，3n-2}，从而得到数列｛｝=｛1，7，13，19，------｝是以1为首项，6为公差的等差数列，利用等差数列前n项和公式就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】数列{2n-1}={1，3，5，7，9，11，13，-----,2n-1},数列{3n-2}={1，4，7，10，13，----，3n-2}，数列｛｝=｛1，7，13，19，------｝，数列｛｝是以1为首项，6为公差的等差数列，=n+6=3-2n。
7、（理）设数列｛｝的前n项和为，若=1，=35，且=+（n 2且n∈），则++------+ 的值为 ；
（文）设数列｛｝的前n项和为，若=5，=10，且{ }是等差数列，则||+||+||+------+||的值为 （2020成都市高三三诊）
【解析】
【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④裂项相消法求数列前n项和的基本方法；⑤等差数列的定义余性质；⑥求数列前n项和的基本方法。
【解答思路】（理）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件求出数列的通项公式，利用裂项相消法求数列前n项和的基本方法就可求出++------+的值；（文）运用等差数列的性质，结合问题条件求出数列｛｝的前n项和为，根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，从而求出||+||+||+------+||的值。
【详细解答】（理）=1，=35，且=+，==1，=1+①，=+②，=+7③，联立①②③解得：=5，=12，=22，=-
=5-1=4，=-=12-5=7，=-=22-12=10，=-=35-22=13，数列｛｝
是以1为首项，3为公差的等差数列，即=1+3（n-1）=3n- 2（n∈）,
= = (-),++------+ = (1-+
-+-+--------+-+-)= (1-)==;（文）设等差数列{ }的公差为d ，数列｛｝的前n项和为，=5，=10，且{ }是等差数列，
==5，==2，-=2-5==3=4d, d=-，数列{ }是以5为首项，-为公差的等差数列，=5-（n-1），即=-+n，当n 2时，=-=-（-+2n-1）+（n-n+1）=-n+, 当n =1时，=-+=5成立，=-n+（n∈），即||+||+||+------+||=5++2++1++4++7+=。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与数列概念相关的问题，解答这类问题需要理解数列的定义，注意数列的通项公式、递推公式的意义，同时掌握数列分类和数列表示的基本方法；
（2）数列是一个特殊的函数，它的表示与函数一样有：①解析法；②列表法；③图像法；但需要注意数列的特殊性是它的定义域为正整数。
【典例2】解答下列问题：
1、（理）已知数列{}的各项均为正数，记为{}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立。①数列{}是等差数列；②数列{}是等差数列；③=3。注：若选择不同组合分别解答，则按第一个解答计分。
（文）记为{}的前n项和，已知>0，=3，且数列{}是等差数列，证明：数列{}是等差数列（2021全国高考甲卷）。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④证明数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】（理）由题意，不妨选择①③为条件，证明②成立，根据等差数列的性质和等差数列通项公式，结合问题条件得到关于等差数列{}首项，公差d的等式，从而把首项表示为关于公差d的式子，运用等差数列前n项和公式得到关于公差d的式子，利用证明数列为等差数列的基本方法就可证明数列{}是等差数列。（文）根据等差数列的性质和等差数列通项公式，结合问题条件得到关于等差数列{}公差d，的等式，从而把公差d表示为关于首项的式子，运用等差数列前n项和公式得到关于数列首项的式子，从而得到关于数列首项的式子，利用证明数列为等差数列的基本方法就可证明数列{}是等差数列。
【详细解答】（理）设等差数列{}的公差为d，=+d，=3，=，=n+d=(+-)d=d，数列{}的各项均为正数，d>0，==，当n=1时，=，当n2时，=，
=，-=（-）=为常数，数列{}是以
为首项，为公差的等差数列。（文）证明：设等差数列{}的公差为d，>0，=3，=，==2，d=-=2-
=， =+（n-1）=n，=，当n=1时，==，当
n2时，=-=-=（-+2n-1）=（2n-1），=[2（n-1）-1] =（2n-3），-=[2n-1-(2n-3)] =2为常数， -=3
-=2，数列{}是以为首，2为公差的等差数列。
2、（理）记为{}的前n项和，为数列{}的前n项积，已知+=2。
（1）证明：数列{}是等差数列；
（2）求数列{}的通项公式。
（文）设{}是首项为1的等比数列，数列{}满足：=，已知，3，9成等差数列。
（1）求数列{}，{}的通项公式；
（2）记和分别为{}，{}的前n项和，证明：<（2021全国高考乙卷）。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②判断一个数列是等差数列的基本方法；③数列通项与前n项和之间的关系；④等比数列的定义与性质；⑤等差中项的定义与性质；⑥等比数列通项公式及运用；⑦等比数列前n项和公式及运用；⑧裂项相消法求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据判断一个数列是等差数列的基本方法，结合问题条件就可证明数列{}是等差数列；（2）根据数列通项与前n项和之间的关系，运用（1）的结论就可求出数列｛｝的通项公式。（文）根据等比数列通项公式和等差中项的性质，结合问题条件得到关于等比数列｛｝公比的方程，求解方程求出公比的值就可求出数列{}，{}的通项公式；（2）根据等比数列前n项和公式与裂项相消法求数列前n项和的基本方法分别求出数列｛｝，{}的前n项和与就可证明结论。
【详细解答】（理）（1）证明：当n2时，=，+=2，+=2，
2（-）=1，-=，当n=1时，+=2，=2，=，数列{}是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得：=+（n-1）=，
+=2，+=2，=，=，当n=1时，=
=，当n2时，=-=-=-， 当n=1时，=-，
数列{}的通项公式为：= ，n=1，
-，n2。
（文）设等比数列{}的公比为q，数列{}首项为1，，3，9成等差数列，6q=1+9，=0，q=，=，==n，数列{}，{}的通项公式分别为：=，=n；（2）==-，
=+2+3+------+（n-1）+n①，=+2+3+-----+（n-1）+ n ②，①-②得：=+++-----+- n =
- n =-- n =-（+），=-（+），
-=-（+）-+=（--）=-<0，<。
3、（理）为数列｛｝的前n项和，已知>0，+2=4+3。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设=，求数列｛｝的前n项和。
（文）已知等差数列｛｝的前n项和满足：=0，=-5。
（1）数列｛｝的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和（2021全国高考新高考I）。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④判断一个数列是等差数列的基本方法；⑤等差数列前n项和公式及运用；⑥裂项相消求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件求出，从而得到关于，的等式，运用判断一个数列是等差数列的基本方法判断数列｛｝是等差数列，利用等差数列的通项公式就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。（文）（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列｛｝的首项为，公差为d的方程组，求解方程组求出等差数列｛｝的首项为，公差为d的值就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（理）（1）当n=1时， +2=4+3，=4，=3或=-1，>0，=3；当n2时，+2=4+3①，+2=4+3②，①-②得：
-+2-2=4（-）=4，（+）（-）-2（+）=（+）
（--2）=0，+>0，--2=0，-,=2，+2=4（+）+3，=16，=5或=-3，>0，=5，当n2时，数列｛｝是以5为首项，2为公差的等差数列，=5+2（n-2）=2n+1（n2），当n=1时，=21+1
2+1=3成立，数列｛｝的通项公式为： =2n+1；（2）==
=（-），=++------+=（-+-+-------+-
+-）=（-）=，即数列｛｝的前n项和为。
（文）（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=3+3d=0①，=5+10d=-5②，联立①②解得：=1，d=-1，=1-（n-1）=2-n，即数列｛｝的通项公式为： =2-n；
（2）===（-），=（-1-1+1-+-+-+-------+-+-）=（-1-）
=-，即数列｛｝的前n项和为-。
4、记是公差不为0的等差数列{}的前n项和，若=，.=。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求使>成立的n的最小值（2021全国高考新高考II卷）。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式与前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列{}首项，公差的方程组，求解方程组求出等差数列{}首项，公差的值就可求出数列{}的通项公式；（2）由（1）得到等差数列{}的通项公式与前n
项和公式，从而得到关于n的不等式，求解不等式就可求出使>成立的n的最
小值。
【详细解答】（1）设等差数列{}的首项为，公比为q，=，.=，
+2d=3+3d①，（+d）（+3d）=4+6d②，联立①②解得：=0，d=0或=-，d=，d0，=-，d=，=-+（n-1）=n-，数列{}的通项公式=n-；（2）由（1）得：=-n+=-n，>，
-n>n-，-4n+3>0，n<1或n>3，n， n>3，即使>成立的n的最小值为4。
5、记为等差数列｛｝的前n项和，若=-2，+=2，则= （2020全国高考新课标II文）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的公差为d，结合问题条件得到关于d的方程，求解方程得出d的值，从而求出数列前n项和就可求出的值。
【详细解答】设等差数列｛｝的公差为d，=-2，+=2，-4+6d=2，d=1，=10（-2）+1=-20+45=25。
6、（理）北京天坛的国丘坛为古代祭天的场所，分上，中，下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环也依次增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A 3699块 B 3474块 C 3402块 D 3339块
（文）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，------，设1 iA 5 B 8 C 10 D 15
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】（理）设国丘坛每层的环数为m，结合问题条件分别得到中层，下层扇面形石板数关于m的式子，从而得到关于m的方程，求解方程求出m的值，利用数列前n项和公式求出三层共有扇面形石板数就可得出选项；（文）根据原位大三和弦的定义，运用k-j=3且j-i=4，求出，，的所有可能取值就可得出原位大三和弦的个数，根据原位小三和弦的定义，运用k-j=4且j-i=3，求出，，的所有可能取值就可得出原位小三和弦的个数，从而求出原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和就可得出选项。
【详细解答】设国丘坛每层的环数为m，上层的第m环扇面形石板数为9+9（m-1）=9m，
中层的第m环扇面形石板数为（9m+9）+9（m-1）=18m，中层的扇面形石板数为（9m + 9）m+9=+m，下层的扇面形石板数为m（18m+9）+ 9=
+m，(+m)-( +m)=9=729，m=9，上层的扇面形石板数为
99+9=405，中层的扇面形石板数为81+9=1134，下层的扇面形石板数为
81+9=1863，三层共有扇面形石板数为405+1134+1863=3402，C正确，选C；（文）当i=1时， k-j=3且j-i=4，j=5，k=8；当i=2时， k-j=3且j-i=4，j=6，k=9；当i=3时， k-j=3且j-i=4，j=7，k=10；当i=4时， k-j=3且j-i=4，j=8，k=11；
当i=5时， k-j=3且j-i=4，j=9，k=12；所有原位大三和弦有：，，；，，；，，；，，；，，共5个；原位小三和弦满足：k-j=4且j-i=3，k-i=7，k=8，9，10，11，12也是5个，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为5+5=10，C正确，选C。
7、设等差数列｛｝的前n项和为，且0，=3，则=（ ）（2020成都市高三一诊）
A B C D
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，结合问题条件得到关于，d的等式，从而把d表示成关于的式子，得出数列前n项和，求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+4d=3=3+6d，
d=-,=n+=n(n+1), ==,C正确，选C。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与等差数列相关的问题，解答这类问题需要理解等差数列的定义和性质，掌握求等差数列通项公式与前n项和的基本方法；
（2）解答等差数列问题的关键是由条件求出：①等差数列的首项；②等差数列的公差；
（3）求等差数列的首项，公差的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于首项，公差的方程（或方程组）；②求解方程（或方程组）；③运用求得的结果求问题的结果。
【典例3】解答下列问题：
1、等比数列{}的公比为q，前n项和为，设甲：q>0，乙：{}是递增数列，则（ ）
A 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C 甲是乙的充分必要条件 D 甲既不是乙的充分条件也表示乙的必要条件
记为等比数列{}的前n项和，若=4，=6，则=（ ）（2021全国高考甲卷）
A 7 B 8 C 9 D 10
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列前n项和公式及运用；③充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与性质，④判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法。
【解题思路】（理）根据等比数列的性质和等比数列前n项和公式，运用充分条件，必要条件，充分必要条件的性质和判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法对甲与乙之间的关系给出正确判断就可得出选项。（文）根据等比数列的性质和等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列{}首项，公比的方程组，求解方程组求出等比数列{}首项，公比的值，运用等比数列前n项和公式求出的值就可得出选项。
【详细解答】（理）由q>0，不能判断等比数列{}是递增数列，也不能判断数列{}是递增数列，但由数列{}是递增数列，能够判断等比数列{}是递增数列，从而推出q>0，甲是乙的必要条件但不是充分条件，B正确，选B。（文）设等比数列{}的首项为，公比为q， =（1+q）=4①，=（1+q++）=6②，联立①②解得：=8-4，q=，==7，A正确，选A。
2、若等比数列{ }满足+=2，-=6，则=（ ）（2021成都市高三一诊）
A -32 B -8 C 8 D 64
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用。
【解题思路】根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列{}的首项，公比的方程组，求解方程组求出等比数列{}的首项，公比的值，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，+=2，-=6，q（1+q）=2①；q（1+q）（1-q）=6②，联立①②解得：=1，q=-2，=，=1
=-32，A正确，选A。
3、设｛｝是公比不为1的等比数列，为，的等差中项。
（1）求｛｝的公比；
（2）若=1，求数列｛｝的前n项和（2020全国高考新课标I理）。
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③等比数列通项公式的定义与性质；④等比数列前n项和的定义，公式与求法。
【解题思路】（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质得到关于公比q的方程，求解方程就可求出等比数列｛｝的公比；（2）根据等比数列前n项和公式通过运算就可得出等比数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）设等比数列｛｝的公比为q，=q，=，为，的等差中项，2=q+ ，+q-2=0，q=1或q=-2，q1，q=-2；（2）=1，
q=-2，==-。
4、已知公比大于1的等比数列｛｝满足+=20，=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记为｛｝在区间（0，m]（m∈）中的项的个数，求数列{}的前100项和（2020全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式的定义与求法；④等比数列前n项和的定义，公式与求法；⑤任意数列前n项和的定义与求法。
【解题思路】（1）运用等比数列通项公式得到关于首项，公比q的方程组，求解方程组就可求出首项，公比q的值，从而得出等比数列｛｝的通项公式；（2）根据题意确定出数列{}各项的值，利用任意数列前n项和的定义与求法就可求出数列｛｝的前100项的和。
【详细解答】（1）设等比数列｛｝的首项为，公比为q，=q，=，=， 20，+==8，q+=20①，=8②，联立①②解得：q=2，=2，或=32，
q=，q>1， q=2，=2，=2=；（2）1<=22，2<==44，4<==88，10<==1616，30<==3232，60<==6464，=
=128>100，=0，==1，====2，==-----==3，==-----
==4，==-----==5，==-----=6，=0+12+24+38+416
+532+637=0+2+8+24+64+160+236=484。
5、已知公比大于1的等比数列｛｝满足+=20，=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求-+------+（2020全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式的定义与求法；③④对数的定义与性质；⑤等比数列前n项和公式定义与运用；⑥错项相减求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）运用等比数列的性质，求等比数列通项公式的基本方法，结合问题条件求出等比数列首项和公比q的值，从而得到等比数列的通项公式；（2）根据（1）得到=.=，从而知道-+------+
中奇次项为正，偶次项为负，将奇次项组合在一起得到一个等比数列，偶次项组合在一起也得到一个等比数列，利用等比数列前n项和公式分别求出两个等比数列的和再相加就可求出-+------+，这里需要注意项数为奇数和偶数两种情况的不同结果。
【详细解答】（1）设等比数列的首项为，公比为q，+=q（1+）=20，==8，
=32，q=，或=2，q=2，q>1，=2，q=2，=2=；（2）
=.=，-+------+=-+-+----
+=（++-------）-（++-------），①当n为奇数时，-+------+=+-=-+++-=8+（1-4）+=8-+；②当n为偶数时，-+------+=-=-++-=8+（1-4）=8-。
6、设数列｛｝是等比数列，且++=1，++=2，则++=（ ）（2020全国高考新课标I文）
A 12 B 24 C 30 D 32
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比的值，求出++的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，++=1，++=2，
（1+q+）=1①, q（1+q+）=2②,联立①②解得：=，q=2，++=
（1+q+）=132=32，D正确，选D。
7、记为等比数列｛｝前n项和，若-=12，-=24，则=（ ）（2020全国高考新课标II文）
A -1 B 2- C 2- D -1
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比的值，求出等比数列通项与前n项和，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，-=12，-=24，（
-1）=12①，（-1）=24②，联立①②解得：=1，q=2，=，==-1，==2-，B正确，选B。
8、已知等比数列｛｝的各项均为正数，若++------+=12，则=（ ）（2020全国高考北京卷）
A 1 B 3 C 6 D 9
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法；④对数的定义与性质。
【解答思路】设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式和对数的性质，结合问题条件得到关于首项，公比q的等式，把首项表示成关于公比q的式子，运用求等比数列通项公式的基本方法将表示成关于公比q的式子，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，=，++-----+
===12，=，=9，==9，D正确，选D。
9、已知等比数列｛｝的各项均为正数，若++------+=12，则=（ ）（2020成都市高三零诊）
A 1 B 3 C 6 D 9
【解析】
【考点】①等比数列通项公式的定义与性质；②等比数列的定义与性质；③求等比数列通项公式的基本方法；④对数的定义与性质。
【解答思路】设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式的性质，结合问题条件得到关于首项，公比q的等式，求出首项关于公比q的式子，运用求等比数列通项公式的基本方法把表示成关于，q的式子，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，=，++------+
===12，=，=9，
==9，D正确，选D。
10、设正项等比数列｛｝满足=81，+=36，则= （2020成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比，再根据求等比数列通项公的基本方法求出结果。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，==84+=q+
=36， 4-9q-9=0，q=3或q=-，等比数列{}为正项等比数列， q=3，=3，=3=。
11、已知｛｝是递增的等比列数，=1，且2，，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设=（n∈），求数列｛｝的前n项和（2020成都市高三二珍）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③等比数列通项公式的定义
与求法；④对数的定义与性质；⑤裂项相消求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质得到关于公比q的方程，求解方程求出等比数列｛｝的公比就可得到等比数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）设等比数列｛｝的公比为q， =q，=，=，
2，，成等差数列，3=2q+，-3+2q=0，q=0或q=1或q=2，=1，｛｝是递增的等比列数，q=2，=1=；
（2）===-，=1-+-+-------+-
+-=1-=。
12、在等比数列｛｝中，已知=，则该数列的公比是（）（2020成都市高三三诊）
A -3 B 3 C 3 D 9
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列的首项和公比的等式，求出等比数列的公比就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，=.=
==，=，当且仅当=时，q=3，B正确，选B。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与等比数列相关的问题，解答这类问题需要理解等比数列的定义和性质，掌握求等比数列通项公式与前n项和的基本方法；
（2）解答等比数列问题的关键是由条件求出：①等比数列的首项；②等比数列的公比；
（3）求等比数列的首项，公比的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于首项，公比的方程（或方程组）；②求解方程（或方程组）；③运用求得的结果求问题的结果。
【典例4】解答下列问题： +1，n为奇数，
1、已知数列｛｝满足：=1，= +2，n为偶数。
（1）记=，写出，，并求数列{}的通项公式；
（2）求｛｝的前20项和（2021全国高考新高考I）。
【解析】
【考点】①数列递推公式及运用；②等差数列的定义与性质；③等差数列通项公式及运用；
④等差数列前n项和公式及运用；⑤判断一个数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】（1）根据数列递推公式，结合问题条件求出，，运用判断一个数列是等差数列的基本方法，判断数列{}为等差数列，利用等差数列的通项公式就可求出数列{}的通项公式；（2）由（1）知求数列｛｝的奇项数列和偶项数列都是以3为公差的等差数列，运用等差数列的前n项和公式就可求出｛｝的前20项和。
【详细解答】（1）=1，=，==+1=1+1=2，==+1=+2+1=2+2+1=5，
==+1=+2+1=+3，=，-=+3-=3，数列{}是以2为首项，3为公差的等差数列，=2+3（n-1）=3n-1，即数列{}的通项公式为：
=3n-1；（2）由（1）知数列｛｝的奇项数列和偶项数列都是以3为公差的等差数列，=101+3+102+3=30+1093=300，即数列｛｝的前20项和为300。
2、(理）设数列｛｝满足=3，=3-4n。
（1）计算，，猜想数列｛｝的通项公式并加以证明；
（2）求数列｛｝的前n项和
（文）设等比数列｛｝满足+=4，-=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记为数列｛｝的前n项和，若+=，求m（2020全国高考新课标III）。
【解析】
【考点】①已知数列首项和递推公式求数列通项公式的基本方法；②等比数列的定义与性质；③等比数列通项公式的定义与求法；④对数的定义与性质；⑤等比数列前n项和公式定义与运用；⑥错项相减求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用数列递推公式，结合问题条件求出，，并作出猜想，根据已知数列首项和递推公式求数列通项公式的基本方法加以证明；（2）运用错项相减求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。（文）（1）运用等比数列｛｝的通项公式得到关于首项，公比q的方程组，求解方程组求出首项，公比q的值就可得到数列｛｝的通项公式；（2）运用对数的定义与性质求出数列｛｝的通项公式，从而得到数列｛｝的前n项和公式，根据数列｛｝的前n项和公式得到关于m的方程，求解方程就可得出m的值。
【详细解答】（理）（1）=3，=3-4n，=3-41=9-4=5，=3-42=7，
=3=21+1，=5=22+1，=7=23+1，猜想数列｛｝的通项公式为：=2n+1，
证明：=3，=3-4n①，=3-4（n-1)②，①-②得：-=3（-）-4，=3，--2=5-3-2=0，当n2时，数列｛--2｝是以0为首项，3为公比的等比数列，--2=0，-=2；=3，数列｛｝是以3为首项，2为公差的等差数列，=3+（n-1）2=2n+1；（2）数列｛｝的通项=（2n+1），=32+5+7+------（2n-1）+(2n+1) ①
2=3+5+7+------（2n-1）+(2n+1) ②，①-②得：-=32++
++-----+-(2n+1) =2+++++------+-(2n+1) =-
(2n+1) =-（2n+1-2）-2=-(2n-1) -2，=（2n-1）+2。（文）（1）设等比数列｛｝的公比为q，+=（1+q）=4①，-=（-1）=8②，联立①②
解得：q=3，=1，数列｛｝的通项公式为=1=；（2）=
=n-1，=0+1+2+-------+（n-1）=，=，=，
==，+=，+
=，-5m-6=0，m=-1或m=6，m， m=6。
3、已知数列｛｝中，=1，=3，+3=4，=-，n。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记=（+），数列｛｝的前n项和为，求（2021成都市高三三诊）。
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②判断一个数列是等比数列的基本方法；③等比数列通项公式及运用；④对数的定义与性质；⑤等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】（1）根据等比数列的性质和判断一个数列是等比数列的基本方法，结合问题条件得到数列｛｝是等比数列，运用等比数列的通项公式就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据（1）求出关于n的式子，从而得到=+，运用对数的性质得到数列｛｝的通项公式，运用等差数列的前n项和公式就可求出的值。
【详细解答】（1）+3=4，=-，-=3（-），
=3，=3，=1，=3，=-=3-1=2，数列｛｝是以2为首项，3为公比的等比数列，数列｛｝的通项公式为：=2；（2）=（-）+（-）+------+（-）+（-）+=++------+++=+1=，
=-，=+，=（+）===n，=+
+------+=1+2+------+（n-1）+n=，即==210。
『思考问题4』
（1）【典例4】是数列通项公式和数列前n项和的问题，解答这类问题需要理解数列通项公式和数列前n项和的定义，掌握求数列通项公式和数列前n项和的基本方法；
（2）求数列通项公式问题涉及到几种不同的类型，各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同，在实际解答问题时，应该注意抓住问题的结构特征，采用恰当的方法快捷，准确地解答问题。
（3）求数列前n项和问题涉及到几种不同的类型，各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同，在实际解答问题时，应该注意抓住问题的结构特征，采用恰当的方法快捷，准确地解答问题。

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