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求数列通项的方法大全(含答案)
一、数列知识点
等差数列 等比数列
定义 (为常数,)
递推 公式
通项 公式 或 （）或
中项 成等差数列的充要条件： 成等比数列的充要条件：
前 项 和 ①； ②
重 要 性 质 ① ②等和性：若（、、、）， 则 ③若（、、），则． ④构成的数列是等差数列. ① ②等积性：若（、、、）， 则 ③若（、、），则 ④构成的数列是等比数列.
单 调 性： 设d为等差数列的公差，则 d>0是递增数列； d<0是递减数列； d=0是常数数列. 递增数列； 递减数列； q=1是常数数列； q<0是摆动数列
证 明 方 法 证明一个数列为等差数列的方法： 1.定义法　 2.中项法　 3. 通项公式法：（为常数） 4. 前n项和公式法：（A,B为常数） 证明一个数列为等比数列的方法： 1.定义法　 2.中项法　 3. 通项公式法：(A,q为不为0的常数) 4. 前n项和公式法：()
设元 技巧 三数等差： 四数等差： 三数等比： 四数等比：
二、求通项的常用方法
（一）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
例.已知数列的前项和记为，（1）求；（2）求证：数列 是等比数列。（3）求出关于的表达式。
解：（1）由，得，又 得
（2）当时，，得
故数列是首项为，公比为的等比数列。
练习：
1.若，，则_____；
2.若,，则____
3.数列｛｝中，若，=2+3，则该数列的通项= .
（二）与的关系（即）求，用作差法：。
例1.已知数列的前项和，求其通项公式.
解析：
所以 所以
又，可知为等差数列，公差为4
所以，也适合上式，故
例2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.
求证：{}是等差数列；
【解】　(1)证明　∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
且an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴－＝2(n≥2)．
又＝＝2，故数列{}是以2为首项，以2为公差的等差数列．
点拨：本例的关键是应用求数列的通项，特别要注意验证的值是否满足的一般性通项公式。
变式
1.已知的前项和满足，求=
2.数列满足，求=
3.数列满足，求=
注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。
（三）已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。
例：1、已知，求（答：）；
2、若，，求。
变式
1.数列中，，则数列｛an｝的通项公式是( )
A． B． C． D．
2.已知数列满足=1，，求=
3.数列中，若，且，则的值是_______.
4.已知，求=
（四）若求用累加法：。
例：已知数列满足（1）求的值；（2）证明：数列是等比数列；（3）求数列的通项公式；
（1）解：
（2）证明：又，，
则是以为首项，3为公比的等比数列
（3）由（2），则时，
故
又适合上式，故，
变式
1．在数列中，， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.若，则______；
3.已知数列满足，，则=______
4.数列{an}的前n项和为，且，数列满足，，求,
（五）已知求，用累乘法：。
练习：
1.若，，则___
2.若，，则
（六）已知求，用作商法：。
如数列中，对所有的都有，则_____
（七）周期性法：根据数列的递推关系式写出数列的前几项，发现周期，再进行计算。
例．已知数列，满足，若，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【详解】由，且则，，
所以，即数列是以3为周期的周期数列所以故选：A
变式：
1.若数列{an}满足则a2 018等于 -1
(八)待定系数法
例：已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
练习：设数列的前项和为 已知
（1）设，证明数列是等比数列 （2）求数列的通项公式。
(九)换元法 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则
故，代入得
即 因为，故
则，即，可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
(十)不动点法
例1 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。
评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。
变式
1 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的不动点。
因为，所以
。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
求数列通项的方法大全教师版
一、数列知识点
等差数列 等比数列
定义 (为常数,)
递推 公式
通项 公式 或 （）或
中项 成等差数列的充要条件： 成等比数列的充要条件：
前 项 和 ①； ②
重 要 性 质 ① ②等和性：若（、、、）， 则 ③若（、、），则． ④构成的数列是等差数列. ① ②等积性：若（、、、）， 则 ③若（、、），则 ④构成的数列是等比数列.
单 调 性： 设d为等差数列的公差，则 d>0是递增数列； d<0是递减数列； d=0是常数数列. 递增数列； 递减数列； q=1是常数数列； q<0是摆动数列
证 明 方 法 证明一个数列为等差数列的方法： 1.定义法　 2.中项法　 3. 通项公式法：（为常数） 4. 前n项和公式法：（A,B为常数） 证明一个数列为等比数列的方法： 1.定义法　 2.中项法　 3. 通项公式法：(A,q为不为0的常数) 4. 前n项和公式法：()
设元 技巧 三数等差： 四数等差： 三数等比： 四数等比：
二、求通项的常用方法
（一）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
例.已知数列的前项和记为，（1）求；（2）求证：数列 是等比数列。（3）求出关于的表达式。
解：（1）由，得，又 得
（2）当时，，得
故数列是首项为，公比为的等比数列。
练习：
1.若，，则_____；
2.若,，则_______
3.数列｛｝中，若，=2+3，则该数列的通项= .
（二）与的关系（即）求，用作差法：。
例1.已知数列的前项和，求其通项公式.
解析：
所以 所以
又，可知为等差数列，公差为4
所以，也适合上式，故
例2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.
求证：{}是等差数列；
【解】　(1)证明　∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
且an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴－＝2(n≥2)．
又＝＝2，故数列{}是以2为首项，以2为公差的等差数列．
点拨：本例的关键是应用求数列的通项，特别要注意验证的值是否满足的一般性通项公式。
变式
1.已知的前项和满足，求（答：）；
2.数列满足，求（答：）
3.数列满足，求（答：）
注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。
（三）已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。
例：1、已知，求（答：）；
2、若，，求。
变式
1.数列中，，则数列｛an｝的通项公式是： A
A． B． C． D．
2.已知数列满足=1，，求（答：）
3.数列中，若，且，则的值是___2_____.
4.已知，求（答：）；
（四）若求用累加法：。
例：已知数列满足（1）求的值；（2）证明：数列是等比数列；（3）求数列的通项公式；
（1）解：
（2）证明：又，，
则是以为首项，3为公比的等比数列
（3）由（2），则时，
故
又适合上式，故，
变式
1．在数列中，， ，则 C
A. B. C. D.
2.若，则______；
3.已知数列满足，，则=______）
4.数列{an}的前n项和为，且，数列满足，，求,
解：由，得；
当时，， ，则
故{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则
由，得
，其中
因为适合上式，故（）
（五）已知求，用累乘法：。
练习：
1.若，，则___
2.若，，则
（六）已知求，用作商法：。
如数列中，对所有的都有，则______（答：）
（七）周期性法：根据数列的递推关系式写出数列的前几项，发现周期，再进行计算。
例．已知数列，满足，若，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【详解】由，且则，，
所以，即数列是以3为周期的周期数列所以故选：A
变式：
1.若数列{an}满足则a2 018等于 -1
解：由已知得，， ，……依此类推,可得an+3=an,
∴a2 018=a672×3+2=a2=-1
(八)待定系数法
例：已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
练习：设数列的前项和为 已知
（1）设，证明数列是等比数列 （2）求数列的通项公式。
解：（I）由及，有
由，．．．① 　则当时，有．．．．．②
②－①得
又，是首项，公比为２的等比数列．
（II）由（I）可得，
数列是首项为，公差为的等比数列．
，
(九)换元法 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则
故，代入得
即 因为，故
则，即，可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
(十)不动点法 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。
评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的不动点。
因为，所以
。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
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