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数列知识点复习讲义（含答案）
一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记.
2．数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
4、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．
5、求数列中最大最小项的方法：最大 最小 考虑数列的单调性
二、等差数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
（2）符号表示：
2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．
通项公式的变形：①；②．
通项公式特点：
是数列成等差数列的充要条件。
3、等差中项
若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列
4、等差数列的基本性质
（1）。
（2）
（3）
5、等差数列的前项和的公式
公式：①；②．
公式特征：，时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式
等差数列的前项和的性质：
①若项数为，则，且，．
②若项数为，则，且，
（其中，）．
③，，成等差数列．
6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：是等差数列
②中项法：是等差数列
③通项公式法：是等差数列
④前项和公式法：是等差数列
三、等比数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
（2）符号表示：
2、通项公式
（1）、若等比数列的首项是，公比是，则．
（2）、通项公式的变形：①；②．
3、等比中项：在与中插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是。
4、等比数列性质
若是等比数列，且（、、、），则；
若是等比数列，且（、、），则．
5、等比数列的前项和的公式：
（1）公式：．
（2）公式特点：
（3）等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．
②．③，，成等比数列（）．
6、等比数列判定方法：
①定义法：为等比数列；
②中项法：为等比数列；
③通项公式法：为等比数列；
④前项和法：为等比数列。
四、等差数列与等比数列性质的比较
等差数列 等比数列
定义 (为常数,)
递推 公式
通项 公式 或 （）或
中项 成等差数列的充要条件： 成等比数列的充要条件：
前 项 和 ①；
重 要 性 质 ① ②等和性：若（、、、）， 则 ③若（、、），则． ④构成等差数列. ① ②等积性：若（、、、）， 则 ③若（、、），则 ④构成的数列是等比数列.
单 调 性： 设d为等差数列的公差，则 d>0是递增数列； d<0是递减数列； d=0是常数数列. 递增数列； 递减数列； q=1是常数数列； q<0是摆动数列
证 明 方 法 证明一个数列为等差数列的方法： 1.定义法　 2.中项法　 3. 通项公式法：（为常数） 4. 前n项和公式法：（A,B为常数） 证明一个数列为等比数列的方法： 1.定义法　 2.中项法　 3. 通项公式法：(A,q为不为0的常数) 4. 前n项和公式法：()
设元 技巧 三数等差： 四数等差： 三数等比： 四数等比：
五、基本题型
一、数列的概念
题型一：数列与函数的关系
例1 已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是（ ）
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
解：，因为，且，最大第5项．
变式
1.数列的通项公式为 ,则数列各项中最小项是( )
A．第4项　　B．第5项　　C．第6项　　D．第7项
2.已知数列是递增数列，其通项公式为,则实数的取值范围是
3.已知，则在数列的最大项为__ ；
题型二：利用Sn与an的关系求通项公式
公式： 2．
例.已知数列的前项和，求其通项公式.
解析：当，
当
又不适合上式，故
变式
1.若数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知数列的前项和，则＝
3．已知数列的，则=____。
4.数列的前项和,，则
二、等差数列
题型一 利用定义法求等差数列的通项公式
例．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
解：因为，则，又，则，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则．故选：D
变式
1.在数列中，，则的值为（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
2．在数列中，，.若为等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：等差数列的通项公式及其应用
例.在等差数列中，　则等于（ B ）
A．40 Ｂ．42 Ｃ．43 Ｄ．45
解：
变式
1.等差数列中，，，则通项　　　　 ；
2．已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（ ）
A．667 B．668 C．669 D．675
3．在数列中，，，若，则（ ）
A．671 B．672 C．673 D．674
4.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 _
题型三：等差中项及应用
例．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（ ）
A．30 B．27 C．24 D．21
【详解】设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.
因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2，
所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.故选：A
变式
1．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（ ）
A． B． C．1 D．2
2.在等差数列中，，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
3.数列为等差数列，与的等差中项为5，与的等差中项为7，则通项等于
题型四：等差数列性质的应用
例．在等差数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，所以公差，又因为，所以，
所以，故选：D.
变式
1．在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知正项等差数列，若，，则( C )
A． B． C． D．
三、等差数列的前n项和
题型一：等差数列前n项和的有关计算
例．在等差数列{an}中：
（1）已知，求；（2）已知，求n.
解：（1）由已知条件得，解得，；
（2），，.
变式
1.在等差数列中，S11＝22，则＝______；
2.数列{}是等差数列，，则________
3．在等差数列中，若，则=
4.在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　)
A．58　　　B．88　　　C．143　　　D．176
5．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于( )
7.等差数列项的和等于（ ）
A． B． C． D．
8.数列的通项an =2n＋1，则由(n∈N*)，所确定的数列的前项和是__________
9.设为等差数列的前n项和，＝14，S10－＝30，则S9＝　　　　.
10.在等差数列中, 求的值。
11.数列中，……，那么
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则a9＋a10＝_
题型二：等差数列片段和的性质
例．记等差数列的前项和为，已知，，则（ C ）
A． B． C． D．
【详解】因为是等差数列的前项，由等差数列前项和的性质可知：
，，成等差数列，所以，即，解得：，故选：C.
变式
1．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
2.等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。
3．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
题型三：等差数列前n项和与n的比值问题
例．在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
解：设等差数列的前项和为，则，
所以是等差数列．因为，
所以的公差为，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以故选：C
变式
1．在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ）
A．0 B．2018 C． D．2020
2．已知数列的通项公式是，前项和为，则数列的前11项和为
A． B． C． D．
3．设是等差数列的前项和，若（ ）
A．　 Ｂ．　 Ｃ．　 Ｄ．
题型四：两个等差数列前n项和的比值问题
例．已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，则．故选：C．
变式
1．已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
2．已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A． B． C． D．
3.设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和为和，若，那么
题型五：等差数列前n项和的最值问题（二次函数、不等式）
例．设是等差数列的前项和，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为等差数列的前项和，
所以由可知，，抛物线开口向下，其对称轴在之间，
所以抛物线与轴正半轴交点的横坐标范围是，
结合二次函数的图象和性质可知；；；.故选：A
变式
1．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
2．已知等差数列满足，是数列的前n项和，则使取最大值的自然数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．在等差数列{}中，=-10，=2，要使前n项和取得最小值，则n等于（ ）
A、5 B、6 C、7 D、5或6
4.等差数列中，，，问此数列前 项和最大？并求此最大值 。
5.在等差数列中，，且，是其前项和，则
A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0　　
B、都小于0，都大于0　D、都小于0，都大于0
题型六：等差数列前n项和偶数项和奇数项和与绝对值问题
例．已知数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】数列的前项和为，若，，
可得：，，，所以不正确；
可得，可知数列奇数项与偶数项都是等差数列，公差都是1，
，所以正确；
，所以不正确；
，所以不正确；故选：B．
变式
1．已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为
A．10 B．20 C．30 D．40
2．已知数列的前n项和，则的值为( )
A．68 B．67 C．65 D．56
3．已知数列的前n项和，求的值
四、等比数列
题型一：等比数列中的基本运算
例．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4－a1＝78，S3＝39，设bn＝log3an，那么数列{bn}的前10项和为（ ）
A．log371 B． C．50 D．55
解：设等比数列{an}的公比为q，由a4－a1＝78得a1(q3－1)＝78，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝39，解得a1＝q＝3，故an＝3n，所以bn＝log33n＝n，
所以数列{bn}的前10项和为.故选：D.
变式
1．若数列是等比数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
3.在等比数列中，，则数列的通项公式为( )
A． B． C． D．
4.在等比数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5.数列中，若，则通项=
题型二：等比中项的应用
例．已知数列是等差数列，，其中公差，若 是和的等比中项，则（ ）
A．398 B．388
C．189 D．199
解：数列是等差数列，，其中公差， 是和的等比中项，
，化为，．所以，则．选：C．
变式
1.已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则( )
A． B． C． D．
3.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则＝
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
题型三：等比数列的证明
例．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.
（1）证明：{an－1}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.
解：（1）证明　∵Sn＝n－5an－85，∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，
两式相减得：an＋1＝1＋5an－5an＋1，整理得：an＋1＝an＋，
∴an＋1－1＝ (an－1)，又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，∴a1－1＝－14－1＝－15，
∴数列{an－1}是以－15为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知an－1＝－15×，∴an＝1－15×.
变式
1．已知是数列的前项和，且
（Ⅰ）求的值，若，试证明数列为等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式.
题型四：等比数列的性质及其应用
例．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．10 B．5 C．4 D．
解：因为，，所以，所以故选：B
变式
1.在等比数列中，若，则此数列的前10项之积等于（ ）
2.各项均为正数的等比数列中，若，则 。
3.在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为
4.若是等比数列，且，则＝
5.设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为
题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值）
例．已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】因为等比数列的通项公式为，
当，时，数列为递减数列，即充分性不成立；
当“数列是递增数列”时，可能是，，即必要性不成立；
即“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D.
变式
1．已知为等比数列，，，以表示的前项积，则使得达到最大值的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知公比的等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
五、等比数列n项和
题型一：等比数列前n项和公式的基本运算
例．已知等比数列的前6项和为，公比为，则（ ）
A． B． C． D．24
解：根据题意，等比数列的前6项和为，公比为，
则有，解可得，则；故选：B．
变式
1． 设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比q等于（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.设等比数列的公比， 前n项和为，则（ ）
A. 2 　　　B. 4 　C. 　　D.
3.设等比数列前项和为，若，求数列的公比
4.
题型二：等比数列的判断和性质的应用
例．设等比数列前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝（ ）
A．32 B．64 C．72 D．216
【详解】
由于S3、S6－S3、S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其比为2，
所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64．故选：B．
变式
1．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ）
A．40 B．60 C．32 D．50
2．设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知数列是等比数列，且
4.在等比数列中，，公比q是整数，则=___ ；
5．在等比数列中, 若是方程的两根，则=_________.
题型三：等比数列奇偶项和的性质
例．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，故的所有项之和是.故选：D
变式
1．已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
数列知识点复习讲义－教师版
一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记.
2．数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
4、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．
5、求数列中最大最小项的方法：最大 最小 考虑数列的单调性
二、等差数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
（2）符号表示：
2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．
通项公式的变形：①；②．
通项公式特点：
是数列成等差数列的充要条件。
3、等差中项
若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列
4、等差数列的基本性质
（1）。
（2）
（3）
5、等差数列的前项和的公式
公式：①；②．
公式特征：，时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式
等差数列的前项和的性质：
①若项数为，则，且，．
②若项数为，则，且，
（其中，）．
③，，成等差数列．
6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：是等差数列
②中项法：是等差数列
③通项公式法：是等差数列
④前项和公式法：是等差数列
三、等比数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
（2）符号表示：
2、通项公式
（1）、若等比数列的首项是，公比是，则．
（2）、通项公式的变形：①；②．
3、等比中项：在与中插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是。
4、等比数列性质
若是等比数列，且（、、、），则；
若是等比数列，且（、、），则．
5、等比数列的前项和的公式：
（1）公式：．
（2）公式特点：
（3）等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．
②．③，，成等比数列（）．
6、等比数列判定方法：
①定义法：为等比数列；
②中项法：为等比数列；
③通项公式法：为等比数列；
④前项和法：为等比数列。
四、等差数列与等比数列性质的比较
等差数列 等比数列
定义 (为常数,)
递推 公式
通项 公式 或 （）或
中项 成等差数列的充要条件： 成等比数列的充要条件：
前 项 和 ①； ②
重 要 性 质 ① ②等和性：若（、、、）， 则 ③若（、、），则． ④构成的数列是等差数列. ① ②等积性：若（、、、）， 则 ③若（、、），则 ④构成的数列是等比数列.
单 调 性： 设d为等差数列的公差，则 d>0是递增数列； d<0是递减数列； d=0是常数数列. 递增数列； 递减数列； q=1是常数数列； q<0是摆动数列
证 明 方 法 证明一个数列为等差数列的方法： 1.定义法　 2.中项法　 3. 通项公式法：（为常数） 4. 前n项和公式法：（A,B为常数） 证明一个数列为等比数列的方法： 1.定义法　 2.中项法　 3. 通项公式法：(A,q为不为0的常数) 4. 前n项和公式法：()
设元 技巧 三数等差： 四数等差： 三数等比： 四数等比：
五、基本题型
一、数列的概念
题型一：数列与函数的关系
例1 已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是（ ）
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
解：，因为，且，最大项为第5项．
变式
1.数列的通项公式为 ,则数列各项中最小项是( B )
A．第4项　　B．第5项　　C．第6项　　D．第7项
2.已知数列是递增数列，其通项公式为,则实数的取值范围是
3.已知，则在数列的最大项为__（答：）；
题型二：利用Sn与an的关系求通项公式
公式： 2．
例.已知数列的前项和，求其通项公式.
解析：当，
当
又不适合上式，故
变式
1.若数列的前n项和为，则（ A ）
A． B． C． D．
2.已知数列的前项和，则＝
3．已知数列的，则=____100__。
4.数列的前项和,，则
二、等差数列
题型一 利用定义法求等差数列的通项公式
例．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
解：因为，则，又，则，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则．故选：D
变式
1.在数列中，，则的值为（D ）
A．49 B．50 C．51 D．52
2．在数列中，，.若为等差数列，则（ A ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，，则（ D ）
A． B． C． D．
题型二：等差数列的通项公式及其应用
例.在等差数列中，　则等于（ B ）
A．40 Ｂ．42 Ｃ．43 Ｄ．45
解：
变式
1.等差数列中，，，则通项　　　　（答：）；
2．已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（ D ）
A．667 B．668 C．669 D．675
3．在数列中，，，若，则（ D ）
A．671 B．672 C．673 D．674
4.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：）
题型三：等差中项及应用
例．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（ ）
A．30 B．27 C．24 D．21
【详解】设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.
因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2，
所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.故选：A
变式
1．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（ ）
A． B． C．1 D．2
【详解】设等差数列的公差为.由已知条件，得
即，解得.故选：A
2．（ 在等差数列中，，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，，
则，所以.故选：B.
3.数列为等差数列，与的等差中项为5，与的等差中项为7，则通项等于
题型四：等差数列性质的应用
例．在等差数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，所以公差，又因为，所以，
所以，故选：D.
变式
1．在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：设数列的公差为，则
，所以，所以.故选：C.
2．已知正项等差数列，若，，则( C )
A． B． C． D．
【详解】在等差数列中，依题意，，故，解得，，故和是的两根，解得，，，因为为正项等差数列，故公差，从而，，则，即，所以.故选：.
三、等差数列的前n项和
题型一：等差数列前n项和的有关计算
例．在等差数列{an}中：
（1）已知，求；
（2）已知，求n.
解：（1）由已知条件得，解得，
；
（2），
，.
变式
1.在等差数列中，S11＝22，则＝______（答：2）；
2.数列{}是等差数列，，则_____49____
3．在等差数列中，若，则= 46
4.在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　B　)
A．58　　　B．88　　　C．143　　　D．176
5．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ C ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于( D )
7.等差数列项的和等于（ B ）
A． B． C． D．
8.数列的通项an =2n＋1，则由(n∈N*)，所确定的数列的前项和是__________
9.设为等差数列的前n项和，＝14，S10－＝30，则S9＝　　　　.
解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得
，联立解得a1=2,d=1，所以S9＝
10.在等差数列中, 求的值。 31.5
11.数列中，……，那么505
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则a9＋a10＝__36
题型二：等差数列片段和的性质
例．记等差数列的前项和为，已知，，则（ C ）
A． B． C． D．
【详解】因为是等差数列的前项，由等差数列前项和的性质可知：
，，成等差数列，所以，即，解得：，故选：C.
变式
1．设等差数列的前n项和为，若，，则（ B ）
A．28 B．32 C．16 D．24
2.等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）
3．设等差数列的前项和为，若，，则（ B ）
A．63 B．45 C．36 D．27
题型三：等差数列前n项和与n的比值问题
例．在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
解：设等差数列的前项和为，则，
所以是等差数列．因为，
所以的公差为，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以故选：C
变式
1．在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ）
A．0 B．2018 C． D．2020
【详解】设的公差为d，由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.，，解得.则.故选：D.
2．已知数列的通项公式是，前项和为，则数列的前11项和为
A． B． C． D．
【详解】由题意知数列为等差数列，∴．∴，
∴数列的前11项和为．选D．
3．设是等差数列的前项和，若（ A ）
A．　 Ｂ．　 Ｃ．　 Ｄ．
解：
题型四：两个等差数列前n项和的比值问题
例．已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，则．故选：C．
变式
1．已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【详解】因为为等差数列，故，即，同理可得：，所以.故选：B．
2．已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵，∴，故选：A
3.设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么（答：）
题型五：等差数列前n项和的最值问题（二次函数、不等式）
例．设是等差数列的前项和，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为等差数列的前项和，
所以由可知，，抛物线开口向下，其对称轴在之间，
所以抛物线与轴正半轴交点的横坐标范围是，
结合二次函数的图象和性质可知；；；.故选：A
变式
1．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
【详解】∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，∴99－105＝3d.∴d＝－2.
又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.
∴当n＝20时，Sn有最大值．故选：B.
2．已知等差数列满足，是数列的前n项和，则使取最大值的自然数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【详解】设等差数列的公差为d，依题意，，解得：，
于是得，由得，，
因此，数列是递减等差数列，其前5项均为正，从第6项开始为负，则其前5项和最大，
所以使取最大值的自然数n是5.故选：B
3．在等差数列{}中，=-10，=2，要使前n项和取得最小值，则n等于（ D ）
A、5 B、6 C、7 D、5或6
4.等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；
5.在等差数列中，，且，是其前项和，则
A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0　　
B、都小于0，都大于0　D、都小于0，都大于0
（答：B）
题型六：等差数列前n项和偶数项和奇数项和与绝对值问题
例．已知数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】数列的前项和为，若，，
可得：，，，所以不正确；
可得，可知数列奇数项与偶数项都是等差数列，公差都是1，
，所以正确；
，所以不正确；
，所以不正确；故选：B．
变式
1．已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为
A．10 B．20 C．30 D．40
【详解】设等差数列的公差为，项数为，前项和为，则，即这个数列的项数为20，故选择B.
2．已知数列的前n项和，则的值为( )
A．68 B．67 C．65 D．56
【详解】当时，；
当时，符合上式，所以，
所以．故选：A.
3．已知数列的前n项和，求的值
四、等比数列
题型一：等比数列中的基本运算
例．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4－a1＝78，S3＝39，设bn＝log3an，那么数列{bn}的前10项和为（ ）
A．log371 B． C．50 D．55
解：设等比数列{an}的公比为q，由a4－a1＝78得a1(q3－1)＝78，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝39，解得a1＝q＝3，故an＝3n，所以bn＝log33n＝n，
所以数列{bn}的前10项和为.故选：D.
变式
1．若数列是等比数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】设数列的公比为，则.所以，.选：C.
2．已知等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】设数列的公比为，因为，所以，
即，解得，所以.故选：B.
3.在等比数列中，，则数列的通项公式为( A )
A． B． C． D．
4.在等比数列中，，，则的值为（ C ）
A． B． C． D．
5.数列中，若，则通项=
题型二：等比中项的应用
例．已知数列是等差数列，，其中公差，若 是和的等比中项，则（ ）
A．398 B．388
C．189 D．199
解：数列是等差数列，，其中公差， 是和的等比中项，
，化为，．所以，则．选：C．
变式
1.已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【详解】解：由等比数列的性质可得a2a4＝a32，a4a6＝a52，
∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32＋2a3a5＋a52＝（a3＋a5）2＝25，
又等比数列各项均为正数，∴a3＋a5＝5，选项A正确
2．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则( )
A． B． C． D．
由题意可知，得，解得或，
因为，故，所以.故选：A.
3.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则＝
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
【解析】由得得,再由得 则,所以,.故选C
题型三：等比数列的证明
例．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.
（1）证明：{an－1}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.
解：（1）证明　∵Sn＝n－5an－85，
∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，
两式相减得：an＋1＝1＋5an－5an＋1，整理得：an＋1＝an＋，
∴an＋1－1＝ (an－1)，又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，∴a1－1＝－14－1＝－15，
∴数列{an－1}是以－15为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知an－1＝－15×，∴an＝1－15×.
变式
1．已知是数列的前项和，且
（Ⅰ）求的值，若，试证明数列为等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式.
【详解】（Ⅰ）因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.
因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，
所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列，
所以，，．
题型四：等比数列的性质及其应用
例．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．10 B．5 C．4 D．
解：因为，，所以，所以故选：B
变式
1.在等比数列中，若，则此数列的前10项之积等于（ C ）
2.各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）。
3.在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（答：40）
4.若是等比数列，且，则＝ （答：－1）
5.设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为（－2）
题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值）
例．已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】因为等比数列的通项公式为，
当，时，数列为递减数列，即充分性不成立；
当“数列是递增数列”时，可能是，，即必要性不成立；
即“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D.
变式
1．已知为等比数列，，，以表示的前项积，则使得达到最大值的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【详解】
为等比数列，，，
，，，，．
故是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，
以表示的前项积，则使得达到最大值的是4，故选：．
2．已知公比的等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【详解】
若，，当时，，故A错误；
若，则，，当时，，故B错误；
若，则成立，故C正确；
若，，当时，，故D错误；故选：C.
五、等比数列n项和
题型一：等比数列前n项和公式的基本运算
例．已知等比数列的前6项和为，公比为，则（ ）
A． B． C． D．24
解：根据题意，等比数列的前6项和为，公比为，
则有，解可得，则；故选：B．
变式
1． 设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比q等于（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由题意，正项等比数列中，
因为，，
所以，解得．
因为，所以．
故选：B
2.设等比数列的公比， 前n项和为，则（ ）
A. 2 　　　B. 4 　C. 　　D.
3.设等比数列前项和为，若，求数列的公比
解：显然，若则而与矛盾
由
而，∴
4.
题型二：等比数列的判断和性质的应用
例．设等比数列前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝（ ）
A．32 B．64 C．72 D．216
【详解】
由于S3、S6－S3、S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其比为2，
所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64．故选：B．
变式
1．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ）
A．40 B．60 C．32 D．50
详解】由等比数列的性质可知，数列是等比数列，即数列4，8，是等比数列，因此．故选:B.
2．设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，由数列为等比数列(易知数列的公比)，得
为等比数列又故选：．
3.已知数列是等比数列，且70
4.在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）；
5．在等比数列中, 若是方程的两根，则=_____-2______.
题型三：等比数列奇偶项和的性质
例．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，故的所有项之和是.故选：D
变式
1．已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】设等比数列的公比为，则，
即，因为，所以，
则，即，解得，故选：B.
2．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
解：设等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
根据题意得：S奇＝85，S偶＝170，∴q2，又a1＝1，
∴S奇85，整理得：1﹣4n＝﹣3×85，即4n＝256，解得：n＝4，
则这个等比数列的项数为8．故选D．
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