资源简介

《数列》全章复习与巩固
【知识网络】
【要点梳理】
知识点一：等差数列
1. 判定一个数列为等差数列的常用方法
①定义法：（常数）是等差数列；
②中项公式法：是等差数列；
③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；
④前项和公式法：（为常数）是等差数列.
2. 等差数列的通项公式及前项和
通项公式：
要点诠释：
① 该公式可改写为：
当＝0时，是关于的常函数；当d≠0时，是关于的一次函数；点()分布在以为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
②通项公式的推广：
前n项和公式：
要点诠释：
① 该公式可改写为：
当＝0时，是关于的正比例函数；当d≠0时，是关于的二次函数（无常数项）．
3. 等差数列有关性质
（1）若，则；
特别地，若，则；
（2）若成等差数列，则；
4. 等差数列前项和的最值问题：
等差数列中
若＞0，＜0，有最大值，可由不等式组来确定；
若＜0，＞0，有最小值，可由不等式组来确定，
可由前项和公式来确定.
1．等差数列中，，，，则等于( )
A．48 B．49
C．50 D．51
2. 已知等差数列的公差为，且，若，则等于(　　)
A．4 B．6
C．8 D．12
3. 若等差数列的前5项和，且，则＝(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
4.(2017·全国3·理T9)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为( )
A.-24 B.-3 C.3 D.8
5.(2019·全国1·理T9)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(　　)
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
6.(2018·全国1·理T4)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(　　)
A.-12 B.-10 C.10 D.12
7.(2015·全国2·文T5)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=(　　)
A.5 B.7 C.9 D.11
8.(2015·全国1·文T7)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10= (　　)
A. B. C.10 D.12
9.(2014·全国2·文T5)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(　　)
A.n(n+1) B.n(n-1)
C. D.
10.(2019·全国3·文T14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=　　.
11.(2019·全国3·理T14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则=　　.
12.(2019·江苏·T8)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是　　.
13.(2019·北京·理T10)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=　　,Sn的最小值为　　.
14.(2018·北京·理T9)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为　　.
15.(2017·全国2·理T15)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=____________.
16.(2016·北京·理T12)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=　　.
17.(2015·湖南·理T14)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=　　.
18.(2015·广东·理T10)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=　　.
19.(2014·安徽·理T12)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=　　.
20.(2013·全国2·理T16)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为　　.
21.已知an为等差数列，且a4+a8+a10=50，a2+2a10=________.
22.(2019·全国2·文T18)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an.求数列{bn}的前n项和.
知识点二 ：等比数列
1. 判定一个数列是等比数列的常用方法
（1）定义法：（是不为0的常数，∈N*）是等比数列；
（2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数∈N*）是等比数列；
（3）中项公式法：（，）是等比数列.
2. 等比数列的通项公式及前项和
通项公式：
要点诠释：
① 该公式可改写为：
时，是关于的指数型函数； 时，是常数函数；
② 推广：.
前项和公式：
3. 等比数列的主要性质：
（1）若，则；
特别，若，则；
（2）等比数列中，若成等差数列，则成等比数列；
1.(2018·北京·理T4文T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(　　)
A.f B.f C.f D.f
2.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=(　　)
A.21 B.42 C.63 D.84
3.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=(　　)
A.2 B.1 C. D.
4.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=(　　)
A.31 B.32 C.63 D.64
5.(2013·全国2·理T3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(　　)
A. B.- C. D.-
6.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(　　)
A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
7.(2012·全国·理T5)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(　　)
A.7 B .5 C.-5 D.-7
8.(2019·全国1·文T14)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4= 　.
9.(2019·全国1·理T14)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1==a6,则S5=________.
10.(2017·全国3·理T14)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=　　.
11.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=.
12.(2016·全国1·理T15)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　.
13.(2015·湖南·理T14)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=　　.
14.(2012·全国·文T14)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=　　.
15.(2018·全国3·理T17文T17)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.
知识点三：常见的数列通项公式求法
1. 已知数列的前几项：
已知数列的前几项，通过观察法，归纳分析出数列的通项公式.
2. 已知等差数列或等比数列：
通过公式法求通项公式.
类型 通项公式
等差数列
等比数列
3、通项与前项和的关系：
任意数列的前项和；
要点诠释：
由前项和求数列通项时，要分三步进行：
（1）求，
（2）求出当≥2时的，
（3）如果令≥2时得出的中的=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。
4. 已知数列的递推关系式：
①形如，该数列为等差数列，利用公式法求数列的通项公式；
②形如，该数列为等比数列，利用公式法求数列的通项公式.
③形如，构造公比为的等比数列，利用公式法求解；
④形如，通过累加法（迭加法）求数列的通项；
⑤形如，通过累乘法（迭乘法）求数列的通项.
⑥形如，两边取倒数，构造公差为的等差数列，利用公式法求通项.
5. 已知，求：
利用作商法，即求数列的通项公式.
1.(2012·全国·文T12)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为(　　)
A.3690 B.3660 C.1845 D.1830
2.已知数列{ }满足 +1+2 =1， 3=1，则 8=( )
A.-32 B.-8 C.8 D.32
3.已知数列an的前n项和,则a5( ).
A. B. C. D.
4.(2018·全国1·理T14)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=　　.
5.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　,S5=　　.
6.(2015·全国1·文T13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=　　.
7.(2015·江苏·理T11)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*).则数列前10项的和为____________.
8.(2015·全国2·理T16)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=　　.
9.(2014·全国2·文T16)数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=____________.
10.(2013·全国1·理T14)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=　　.
11.已知数列{ }的前n项和 = ( +1)，则 10=________.
12.(2018·全国1·文T17)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
13.(2017·全国3·文T17)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
14.(2016·浙江·文T17)设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求通项公式an;
(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.
15.(2016·全国3·理T17)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
16.(2015·全国1·理T17)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.
17.(2014·全国2·理T17)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明:是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)证明:+…+.
知识点四：常见的数列求和方法
1. 公式法：
如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前项和公式求和。
2. 分组求和法：
将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：.
3. 裂项法：
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.
若，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,
则，如an=
4. 错位相减法：
通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：, 其中 是公差≠0等差数列，是公比≠1等比数列，如.
一般步骤：
，则
所以有
1.(2018·全国2·理T17文T17)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
2.(2018·全国3·理T17文T17)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.
3.(2016·全国3·理T17)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
4、已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=log2an，求数列bn的前n项和。
考法一 错位相减法求和
归纳总结
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．同时要注意等比数列的项数是多少．
1、 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和
2、设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
3、 已知等比数列{an}中，a1＋a2＝8，a2＋a3＝24，Sn为数列{an}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an·log3(Sn＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
4、已知数列{an}的各项均为正数，且a－2nan－(2n＋1)＝0，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.
5、已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝.
(1)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
考法二　裂项相消法求和
归纳总结　　
常见的裂项方法
数列(n∈N*) 裂项方法(n∈N*)
(k为非零常数) ＝
＝
＝(－)
其中a＞0，且a≠1 loga＝loga(n＋1)－logan
＝－
【例3】 (2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)·an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
2、(2015·全国1·理T17)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0, an2+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.
考法三分组法求和
归纳总结：分组法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比或等差数列，可采用分组法求和．
1、已知等差数列{an}满足a5＝9，a2＋a6＝14.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋qan(q＞0)，求数列{bn}的前n项和Sn.
2、设数列{an}的前n项和为Sn。已知S2=4，an+1=2Sn+1.
（1）求通项公式an
（2）求数列的前n项和
3、在等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15。
（1）求数列an的通项公式、
（2）设+n，求b1+b2+b3+……+b10的值
数列的通项
通项公式
等差中项
前n项和公式
等差数列
性质
通项公式
等比中项
前n项和公式
等比数列
性质
数列
数列前n项和
数列的递推公式
应
用
2

展开更多......

收起↑