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专题01 对圆的基本认识
一、圆的定义
1.圆的旋转定义：在一个平面内，线 ( http: / / www.21cnjy.com )段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
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2.圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
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3.圆心与半径：固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．
二、与圆有关的几个概念
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1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
2.直径：过圆心的弦叫做直径。直径是圆内最长的弦．
注意：（1）弦和直径都是线段.
（2）直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
3.圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的;大于半圆的弧叫做优弧．如图中的以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．21世纪教育网版权所有
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4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
5.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆.
6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
三、圆的周长和面积
1.圆的周长公式：c＝2πr．
2.圆的面积公式：S＝πr2
四、对圆的认识需要注意的几个问题
1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．
2．直径是弦，但弦不一定是直径．
3．在同一个圆中，直径是最长的弦．
4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．www.21-cn-jy.com
5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．
【例题1】（2021江苏徐州）如图，一 ( http: / / www.21cnjy.com )枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
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A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【答案】C
【解析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．2·1·c·n·j·y
由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
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∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，
∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2，
∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，
【例题2】如图.
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(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧；
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.；
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧。
【答案】见解析。
【解析】（1）
（2）弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
（3）答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是
【例题3】在三角形ABC中, ∠C=90°,求证：A,B,C三点在同一个圆上。
证明：取AB的中点O,连接CO
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∵∠ACB=90°
∴OC=1/2AB=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
即点A、B、C到点O的距离相等
∴点A、B、C在同一圆上。
一、选择题
1．过圆上一点可以做圆的最长弦（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】A
【解析】圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条.www-2-1-cnjy-com
2．如图，图中的弦共有（　　）
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A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】图形中有弦AB和弦CD，共2条，
3．已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】根据圆中最长的弦为直径求解．因为圆中最长的弦为直径，直径为10，所以弦长L≤10．
4．下列命题中正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①弦是圆上任意两点之间的 ( http: / / www.21cnjy.com )连线段，所以①错误；
②半径不是弦，所以②错误；
③直径是最长的弦，正确；
④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，所以④错误．21cnjy.com
5．下列说法中，错误的是（　　）
A．半圆是弧 B．半径相等的圆是等圆
C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦
【答案】C
【解析】根据圆的有关概念进行判断
A．半圆是弧，所以A选项的说法正确；
B．半径相等的圆是等圆，所以B选项的说法正确；
C．过圆心的弦为直径，所以C选项的说法错误；
D．直径是弦，所以D选项的说法正确．故选C．
6．把地球看成一个表面光滑的球 ( http: / / www.21cnjy.com )体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm，那么钢丝大约需要加长( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．102cm B．104cm C．106cm D．108cm
【答案】A
【解析】设地球半径为：rcm，则地球赤道的周长为：2πrcm，
假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm，故此时钢丝围成的圆形的周长变为：2π（r+16）cm，21教育网
∴钢丝大约需要加长：2π（r+16）﹣2πr≈100（cm）=102（cm）．
7．如图，在中，为直径，，点D为弦的中点，点E为上任意一点，则的大小可能是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接OD、OE，先求出∠C ( http: / / www.21cnjy.com )OD=40°，∠BOC=100°，设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°；然后运用等腰三角形的性质分别求得∠OED和∠COE，最后根据线段的和差即可解答．21·世纪*教育网
连接OD、OE∵OC=OA∴△OAC是等腰三角形
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∵，点D为弦的中点 ∴∠DOC=40°，∠BOC=100°
设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°
∵OC=OE，∠COE=100°-x ∴∠OEC=
∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x ∴∠OED＜
∴∠CED＞∠OEC-∠OED==20°．
又∵∠CED＜∠ABC=40°．
二、填空题
1．判断下列说法是否正确。正确的在其后面括号力打对号，错误的在其后面括号力打叉号。
（1）直径是弦，弦是直径（ ）
（2）半圆是圆弧（ ）
（3）长度相等的弧是等弧（ ）
（4）能够重合的弧是等弧（ ）
（5）圆弧分为优弧和劣弧（ ）
（6）优弧一定大于劣弧 （ ）
（7）半径相等的圆是等圆 （ ）
【答案】× √ × × × × √
【解析】根据直径，弧，等弧，优弧，劣弧等圆等概念进行分析。
（1）直径是弦，弦不一定是是直径，故错误；
（2）半圆是圆弧，正确；
（3）能完全重合的弧是等弧，故错误
（4）能够完全重合的弧是等弧，故错误；
（5）圆弧分为优弧和劣弧和半圆，故错误；
（6）同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故错误；
（7）半径相等的圆是等圆，正确。
2．如图,圆中以A为一个端点的优弧有_____条,劣弧有_____条
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【答案】3 3
【解析】根据优弧、劣弧的概念，
优弧有：，共3条；
劣弧有：，共3条
3．我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．【来源：21·世纪·教育·网】
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【答案】
【解析】连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可得结果.2-1-c-n-j-y
根据题意可得：点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接OA，与圆O交于点B，可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，
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∵A（2，1），∴OA==，∵圆O的半径为1，∴AB=OA-OB=，
∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为.
4．如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是________.
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【答案】2πr
【解析】一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离就是圆的周长
圆的周长，所以是2πr..
5．已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为______cm
【答案】10
【解析】根据直径为圆的最长弦求解试题解析：∵⊙O的半径为5cm
∴⊙O的直径为10cm，即圆中最长的弦长为10cm．
6．如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是______.21*cnjy*com
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【答案】
【解析】因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知AB＝2π，再根据数轴的特点及π的值即可解答
直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周
∴AB之间的距离为圆的周长＝2π，
∴B点对应的数是1-2π.
三、解答题
1.如图，矩形ABCD对角线AC与BD相交于点O．求证：A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上．21·cn·jy·com
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【答案】见解析。
【解析】根据矩形的性质得出AC=BD，OA=OC=1/2AC
OB=OD=1/2BD
推出OA=OB=OC=OD
∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上．
2．如图，长方形ABCD的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )300cm2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm2的圆（π取3），请通过计算说明理由
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【答案】不能，说明见解析
【解析】设长方形的长DC为3xcm，宽AD为2xcm．由题意，得 3x 2x=300，
∵x＞0，∴，∴AB=cm，BC=cm．∵圆的面积为147cm2，设圆的半径为rcm，
∴πr2=147， 解得：r=7cm．
∴两个圆的直径总长为28cm．
∵，
∴不能并排裁出两个面积均为147cm2的圆．
3.证明：直径是圆中最长的弦.
证明：连接OC,
在△AOC中，根据三角形三边关系有AO+OC>AC,
而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC.
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概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
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专题01 对圆的基本认识
一、圆的定义
1.圆的旋转定义：在一个平面内，线段OA绕它 ( http: / / www.21cnjy.com )固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
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2.圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
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3.圆心与半径：固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．
二、与圆有关的几个概念
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1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
2.直径：过圆心的弦叫做直径。直径是圆内最长的弦．
注意：（1）弦和直径都是线段.
（2）直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
3.圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的;大于半圆的弧叫做优弧．如图中的以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．21教育网
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4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
5.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆.
6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
三、圆的周长和面积
1.圆的周长公式：c＝2πr．
2.圆的面积公式：S＝πr2
四、对圆的认识需要注意的几个问题
1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．
2．直径是弦，但弦不一定是直径．
3．在同一个圆中，直径是最长的弦．
4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．www.21-cn-jy.com
5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．
【例题1】（2021江苏徐 ( http: / / www.21cnjy.com )州）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
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A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【例题2】如图.
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(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧；
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.；
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧。
【例题3】在三角形ABC中, ∠C=90°,求证：A,B,C三点在同一个圆上。
一、选择题
1．过圆上一点可以做圆的最长弦（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．如图，图中的弦共有（　　）
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A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
4．下列命题中正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列说法中，错误的是（　　）
A．半圆是弧 B．半径相等的圆是等圆
C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦
6．把地球看成一个表面光滑的球体， ( http: / / www.21cnjy.com )假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm，那么钢丝大约需要加长( )21cnjy.com
A．102cm B．104cm C．106cm D．108cm
7．如图，在中，为直径，，点D为弦的中点，点E为上任意一点，则的大小可能是（ ）
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A． B． C． D．
二、填空题1．判断下列说法是否正确。正确的在其后面括号力打对号，错误的在其后面括号力打叉号。
（1）直径是弦，弦是直径（ ）
（2）半圆是圆弧（ ）
（3）长度相等的弧是等弧（ ）
（4）能够重合的弧是等弧（ ）
（5）圆弧分为优弧和劣弧（ ）
（6）优弧一定大于劣弧 （ ）
（7）半径相等的圆是等圆 （ ）
2．如图,圆中以A为一个端点的优弧有_____条,劣弧有_____条
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3．我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．21世纪教育网版权所有
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4．如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是________.
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5．已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为______cm
6．如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是______.2·1·c·n·j·y
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三、解答题
1.如图，矩形ABCD对角线AC与BD相交于点O．求证：A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上．21·cn·jy·com
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2．如图，长方形ABCD的面积为300 ( http: / / www.21cnjy.com )cm2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm2的圆（π取3），请通过计算说明理由
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3.证明：直径是圆中最长的弦.
概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
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