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专题02 垂径定理及其应用
1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
2.垂径定理及其推论
（1）垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
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∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
（2）垂径定理的推论：
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
3.涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心 ( http: / / www.21cnjy.com )距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.21世纪教育网版权所有
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4.弓形中重要数量关系
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r
【例题1】（2021广西来宾）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC=30°，则OD的长是（ ）21教育网
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A. B. C. 2 D. 3
【例题2】（2021湖南长沙）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为 　 　．21·cn·jy·com
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【例题3】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
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【例题4】如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
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【例题5】已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？2·1·c·n·j·y
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一、选择题
1．（2021四川南充）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．15° B．22.5° C．30° D．45°
2．（2021湖北鄂州）筒车是我国古代发明 ( http: / / www.21cnjy.com )的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）
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A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
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3．在中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
4．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（　　）21·世纪*教育网
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A．0.5 B．1 C．2 D．4
5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（　　）
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A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
6．如图所示，某宾馆大厅 ( http: / / www.21cnjy.com )要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（　　）
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A．10平方米 B．10π平方米 C．100平方米 D．100π平方米
7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；21cnjy.com
②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；
③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．
则⊙O的半径为（　　）
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A．2 B．10 C．4 D．5
8．《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大 ( http: / / www.21cnjy.com )的一本综合性数学专著，标志着中国古代数学形成了完整的体系．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（　　）www.21-cn-jy.com
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A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．寸
9．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（　　）www-2-1-cnjy-com
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A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
10．（2020·江苏南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．
二、填空题
1．（2021贵州黔东南）小明很喜欢专 ( http: / / www.21cnjy.com )研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　 　cm．
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2．（2021黑牡鸡）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为　　 ．21*cnjy*com
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3．如图，某下水道的横截面 ( http: / / www.21cnjy.com )是圆形的，水面CD的宽度为2米，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O于点E，EF＝3米，则⊙O直径的长是　 　米．【来源：21cnj*y.co*m】
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4．现在很多家庭都使用折叠型西 ( http: / / www.21cnjy.com )餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图1）．餐桌两边AB和CD平行且相等（如图2），小华用皮带尺量出AC＝2米，AB＝1米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加　 　平方米．（结果保留π）【出处：21教育名师】
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5．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为________cm．【版权所有：21教育】
三、解答题
1．一辆装满货物的卡车，高2. ( http: / / www.21cnjy.com )5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．21教育名师原创作品
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2．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．21*cnjy*com
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为　 　．
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概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
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专题02 垂径定理及其应用
1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
2.垂径定理及其推论
（1）垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
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∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
（2）垂径定理的推论：
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
3.涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距 ( http: / / www.21cnjy.com )d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.www.21-cn-jy.com
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4.弓形中重要数量关系
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r
【例题1】（2021广西来宾）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC=30°，则OD的长是（ ）2·1·c·n·j·y
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A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】连接OA，
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，，
，
，
为等边三角形，
，
【例题2】（2021湖南长沙）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为 　 　．www-2-1-cnjy-com
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【答案】45°．
【解析】∵OC⊥AB,
∴AC＝BC＝＝2,
∵OC＝2,
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠AOC＝45°．
【例题3】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
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【答案】16.
【解析】连接OA，∵ OE⊥AB，
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∴ AB=2AE=16cm.
【例题4】如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
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【答案】5cm.
【解析】连接OA，∵ CE⊥AB于D，
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设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得
x2=42+(x-2)2，
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
【例题5】已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？2-1-c-n-j-y
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【答案】见解析。
【解析】解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
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则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
一、选择题
1．（2021四川南充）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（　　）【出处：21教育名师】
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A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】B
【解析】由垂径定理知，点E是CD的中点，有CD＝2ED＝2CE，可得DE＝OE，则∠DOE＝∠ODE＝45°，利用圆周角定理即可求解．【版权所有：21教育】
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CD＝2ED＝2CE，
∵CD＝2OE，
∴DE＝OE，
∵CD⊥AB，
∴∠DOE＝∠ODE＝45°，
∴∠BCD＝∠DOE＝22.5°．
2．（2021湖北鄂州）筒车是 ( http: / / www.21cnjy.com )我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）
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A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
【答案】B
【解析】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD＝AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．【来源：21cnj*y.co*m】
解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
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3．在中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解析】根据题意画出图形，然后利用垂径定理和勾股定理解答即可．
如图所示：∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．
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4．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（　　）21·世纪*教育网
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A．0.5 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，
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则AD＝AB＝×0.8＝0.4米，
设OA＝r，则OD＝r﹣DE＝r﹣0.2，
在Rt△OAD中，
OA2＝AD2+OD2，即r2＝0.42+（r﹣0.2）2，解得r＝0.5米，
故此输水管道的直径＝2r＝2×0.5＝1米．
5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（　　）
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A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
【答案】A
【解析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD＝6
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设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5
6．如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工 ( http: / / www.21cnjy.com )人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（　　）
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A．10平方米 B．10π平方米 C．100平方米 D．100π平方米
【答案】D
【解析】过O作OC⊥AB于C，连OA，如图，
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∴AC＝BC，而AB＝20，
∴AC＝10，
∵AB与小圆相切，
∴OC为小圆的半径，
∴圆环的面积＝π OA2﹣π OC2
＝π（OA2﹣OC2）
＝π AC2
＝100π（平方米）．
7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；21世纪教育网版权所有
②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；
③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．
则⊙O的半径为（　　）
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A．2 B．10 C．4 D．5
【答案】D
【解析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．21cnjy.com
如图，设OA交BC于T．
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∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，
∴AE＝，在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5．
8．《九章算术》是一本中国乃至东 ( http: / / www.21cnjy.com )方世界最伟大的一本综合性数学专著，标志着中国古代数学形成了完整的体系．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．寸
【答案】A
【解析】设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，
∴AC＝AB＝×10＝5，
设⊙O的半径为r寸，
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在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸．
9．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（　　）21*cnjy*com
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A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
【答案】B
【解析】连接AB、CD交于点D，
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由题意得，OC⊥AB，
则AD＝DB＝AB＝4，
设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，
解得，R＝5，
则该铁球的直径为10cm．
10．（2020·江苏南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）21教育名师原创作品
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A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设切点分别为G，E，连接PG，PE ( http: / / www.21cnjy.com )，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．∵OA=8，∴CF=8-5=3，∴PF=4，∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，∴DF=CF=3，∴BD=8-3-3=2，∴D(9，2)．
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二、填空题
1．（2021贵州黔东南 ( http: / / www.21cnjy.com )）小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　 　cm．
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【答案】4
【解析】先根据垂径定理的推论得到CD过圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心，AD＝BD＝3.2cm，设圆心为O，连接OA，如图，设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，利用勾股定理得到（R﹣1.6）2+3.22＝R2，然后解方程即可．21*cnjy*com
解：∵C点的中点，CD⊥AB，
∴CD过圆心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm），
设圆心为O，连接OA，如图，
设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，
在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），
所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm．故答案为4．
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2．（2021黑牡鸡）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为　　 ．
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【答案】．
【解析】连接CO，OB，则∠O＝2∠A＝60°，得到△BOC是等边三角形，求得BC＝2，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
连接CO，OB，
则∠O＝2∠A＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴BC＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝BC＝．
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3．如图，某下水道的横截面是 ( http: / / www.21cnjy.com )圆形的，水面CD的宽度为2米，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O于点E，EF＝3米，则⊙O直径的长是　 　米．
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【答案】．
【解析】如图，连接OC，
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∵F是弦CD的中点，EF过圆心O，
∴EF⊥CD．
∴CF＝FD．
∵CD＝2，
∴CF＝1，
设OC＝x，则OF＝3﹣x，
在Rt△COF中，根据勾股定理，得
12+（3﹣x）2＝x2．
解得 x＝，
∴⊙O的直径为．
4．现在很多家庭都使用折叠型西 ( http: / / www.21cnjy.com )餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图1）．餐桌两边AB和CD平行且相等（如图2），小华用皮带尺量出AC＝2米，AB＝1米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加　 　平方米．（结果保留π）21·cn·jy·com
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【答案】﹣．
【解析】将圆形补全，设圆心为O，连接DO，过点O作OE⊥AD于点E，
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由题意可得出：∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵AC＝2米，AB＝1米，
∴∠ACB＝30°，
∵餐桌两边AB和CD平行且相等，
∴∠C＝∠1＝30°，
∴EO＝AO＝m，
∴AE＝×＝，
∴AD＝，
∵∠1＝∠D＝30°，
∴∠AOD＝120°，
∴S弓形AD面积
＝S扇形AOD﹣S△AOD
＝﹣××，
＝﹣，
∴桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加（﹣）平方米．
5．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为________cm．21教育网
【答案】7或1．
【解析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
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过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴E、F分别为CD、AB的中点，
∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm，
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，根据勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，根据勾股定理得：OE═4cm，
则EF=OEOF=4cm3cm=1cm；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
三、解答题
1．一辆装满货物的卡车，高2.5 ( http: / / www.21cnjy.com )米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．
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【答案】见解析。
【解析】这辆卡车能通过厂门．理由如下：
如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
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则CD＝MN＝1.6m，AB＝2m，
由作法得，CE＝DE＝0.8m，
又∵OC＝OA＝1m，
在Rt△OCE中，OE＝＝＝0.6（m），
∴CM＝2.3+0.6＝2.9m＞2.5m．
所以这辆卡车能通过厂门．
2．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为　 　．
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【答案】见解析。
【解析】（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8
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在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122
解得：r＝13；
答：该圆的半径r为13；
（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；
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②当r＞8时，
如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
即：r2＝（r﹣8）2+a2，
整理得：r＝a2+4．
故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4．
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