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专题03 弧、弦、圆心角的关系问题
1.圆心角的定义
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（1）顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
（2）圆心角 ∠AOB 所对的弧为.
（3）圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
注意：对于任意给定一个圆心角，都对应出现三个量：即圆心角、弧、弦。
2.圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等。
推论：
（1）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么弧所对的圆心角相等，弧所对的弦相等。
（2）在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对应的圆心角相等，弦所对应的优弧相等，弦所对应的劣弧相等。21世纪教育网版权所有
【例题1】（2021武汉）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦沿BC翻折交AB于点D，再将＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（　　）21教育网
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A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
【例题2】如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（　　）
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A．32° B．60° C．68° D．64°
【例题3】如图，在⊙O中， ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
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一、选择题
1．如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（　　）
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A．50° B．45° C．40° D．35°
2．如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论21cnjy.com
①MC＝ND，②＝＝，③四边形MCDN是正方形，④MN＝AB，其中正确的结论有（　　）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.下列说法正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．90°的角所对的弦是直径
C．等弧所对的弦相等 D．圆的切线垂直于半径
二、填空题
1．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是　 　．21·cn·jy·com
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2.如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O的半径长为　 　．www.21-cn-jy.com
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三、解答题
1．如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．
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2．如图，M为⊙O上一点，OD⊥AM于D，OE⊥BM于E，若OD＝OE．求证：＝．
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概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
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专题03 弧、弦、圆心角的关系问题
1.圆心角的定义
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（1）顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
（2）圆心角 ∠AOB 所对的弧为.
（3）圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
注意：对于任意给定一个圆心角，都对应出现三个量：即圆心角、弧、弦。
2.圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等。
推论：
（1）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么弧所对的圆心角相等，弧所对的弦相等。
（2）在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对应的圆心角相等，弦所对应的优弧相等，弦所对应的劣弧相等。21cnjy.com
【例题1】（2021武汉）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦沿BC翻折交AB于点D，再将＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（　　）www.21-cn-jy.com
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A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
【答案】B
【解析】如图，连接AC,CD,DE．证明∠CAB＝3α,利用三角形内角和定理求出α，可得结论．
如图，连接AC,DE．
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∵＝,
∴ED＝EB,
∴∠EDB＝∠EBD＝α,
∵＝＝,
∴AD＝CD＝DE,
∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α,
∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α,
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°,∴∠CAB+∠ABC＝90°,
∴2α＝90°,∴α＝22.5°。
【例题2】如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（　　）
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A．32° B．60° C．68° D．64°
【答案】D
【解析】∵＝，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
【例题3】如图，在⊙O中， ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
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证明：
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
一、选择题
1．如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（　　）
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A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】C
【解析】
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∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵点C是弧AB的中点，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°．
2．如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论21教育网
①MC＝ND，②＝＝，③四边形MCDN是正方形，④MN＝AB，其中正确的结论有（　　）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】连接OM、ON，如图，
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∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB，
∴OC＝OD＝OM＝ON，
∴∠OMC＝∠OND＝30°，
∴∠COM＝∠DON＝60°，
∴∠MON＝60°，
∴＝＝，所以②正确；
∴△OMN为等边三角形，
∴MN＝CD，∠OMN＝60°
∴MN∥CD，
∴四边形CDNM为矩形，
∴MC＝ND，所以①正确；③错误；
∵MN＝CD＝OA+OB＝AB，
∴④正确．
3.下列说法正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．90°的角所对的弦是直径
C．等弧所对的弦相等 D．圆的切线垂直于半径
【答案】C
【解析】A．要强调在同圆或等园，相等的圆心角所对的弧才相等；
B．90°的圆周角所对的弦是直径，要强调这个90°的角是圆周角；
C．等弧所对的弦相等，这个命题是正确的；
D．圆的切线垂直于过切点的半径，不是垂直于所有的半径．
二、填空题
1．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是　 　．21·cn·jy·com
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【答案】120°．
【解析】连接OD、OE，
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∵的度数为40°，∴∠AOD＝40°，
∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝40°，
∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝40°，
∴∠DOE＝100°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∴的度数是120°．
2.如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O的半径长为　 　．21世纪教育网版权所有
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【答案】
【解析】延长CO交⊙O于R，连AR，DR，过D作DM⊥AR于M，
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∵∠DOC＝90°，
∴∠DOR＝90°，
∴∠DAR＝180°﹣×90°＝135°，
∴∠DAM＝45°，
∵DM⊥AM，DA＝2，
∴DM＝AM＝，
∴MR＝2，DR＝，
∵2OD2＝DR2，
∴OD＝
三、解答题
1．如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．
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【答案】见解析。
【解析】（1）证明：连接AC，如图1所示：
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∵C是弧BD的中点，
∴∠DBC＝∠BAC，
在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，
∴∠BCE＝∠BAC，
又C是弧BD的中点，
∴∠DBC＝∠CDB，
∴∠BCE＝∠DBC，
∴CF＝BF．
（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：
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∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝＝8，
∵C是弧BD的中点，
∴OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，
∵OA＝OB，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AD＝3，
∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．
2．如图，M为⊙O上一点，OD⊥AM于D，OE⊥BM于E，若OD＝OE．求证：＝．
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【答案】见解析。
【解析】证明：∵OD⊥AM，OE⊥BM，
∴∠ODA＝∠OEB＝90°，AD＝DM，ME＝EB，
∵OD＝OE，OA＝OB，
∴Rt△ODA≌Rt△OEB（HL），
∴AD＝BE，
∴AM＝BM，
∴＝．
概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
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