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专题05 点和圆的位置关系
1.点和圆的位置关系几何图
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设已知圆的半径为r,点p到圆心的距离为d．则
(1)d(2)d=r 点p在⊙O上；
(3)d>r 点p在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．解决这类问题体现了数形结合的思想。
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2.定理
不在同一直线上的三个点确定一个圆. 有且只有一个圆.
3.三角形的外接圆及外心
（1）三角形的外接圆
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⊙O叫做△ABC的外接圆， △ABC叫做⊙O的内接三角形.
（2）三角形的外心
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：三角形三边中垂线的交点.
性质：到三角形三个顶点的距离相等.
归纳总结：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.21世纪教育网版权所有
4.反证法的定义
先假设命题的结论不成立，然后由此经 ( http: / / www.21cnjy.com )过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
反证法的一般步骤骤
（1）假设命题的结论不成立
（2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
【例题1】（2021湖北襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为 　　 ．
【答案】55°或125°．
【解析】由题意可知，需要分两种情况：①△ABC是锐角三角形；②△ABC是钝角三角形，再分别求解即可．21教育网
解：①△ABC是锐角三角形，如图，
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∵∠BOC＝110°，
∴∠BAC＝55°；
②△A′BC是钝角三角形，如图，
∵∠BAC+∠BA′C＝180°，
∴∠BA′C＝125°．
【例题2】如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
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（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）21·cn·jy·com
【答案】见解析。
【解析】（1）AD=4=r，故D点在⊙A上
AB=3AC=5>r，故C点在⊙A外
（2）3( http: / / www.21cnjy.com )
【例题3】已知：不在同一直线上的三点A、B、C.
求作： ⊙O,使它经过点A、B、C.
【答案】见解析。
【解析】作法：
1．连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；
2．连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
3．以O为圆心，OB为半径作圆。
所以⊙O就是所求作的圆.
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【例题4】如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．21cnjy.com
(1)求∠DAO的度数；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
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【答案】见解析。
【解析】(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°；
(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.
在直角△AOD中，
OA＝OD·tan∠ADO＝ ，
AD＝2OD＝6，
∴点A的坐标是( ，0)．
∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径，
∴△AOB外接圆的面积是9π.
【例题5】求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60° ，
则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°。
∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，
即三角形的内角和为180度 .
这与∠A+∠B+∠C>180°矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．
1. 已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
【答案】C
【解析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．
2.现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
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【答案】见解析。
【解析】方法:
1．在圆弧上任取三点A、B、C;
2．作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;
3．以点O为圆心，OC长为半径作圆.
⊙O即为所求.
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3.如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．www.21-cn-jy.com
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【答案】见解析。
【解析】连接OB，过点O作OD⊥BC.
则OD＝5cm，
在Rt△OBD中
即△ABC的外接圆的半径为13cm.
4.用反证法证明经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆。
【答案】见解析。
【解析】如图，假设过同一条直线l上三点A、B ( http: / / www.21cnjy.com )、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆． 2·1·c·n·j·y
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5.如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°。若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.
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【答案】6.5cm.
【解析】设Rt△ABC 的外接圆的外心为O，连接OC，则OA=OB=OC.
∴O是斜边AB 的中点.
∵∠C=900，AC=12cm，BC=5cm.
∴AB=13cm，OA=6.5cm.
故Rt△ABC 的外接圆半径为6.5cm.
概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题05 点和圆的位置关系
1.点和圆的位置关系几何图
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设已知圆的半径为r,点p到圆心的距离为d．则
(1)d(2)d=r 点p在⊙O上；
(3)d>r 点p在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．解决这类问题体现了数形结合的思想。
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2.定理
不在同一直线上的三个点确定一个圆. 有且只有一个圆.
3.三角形的外接圆及外心
（1）三角形的外接圆
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⊙O叫做△ABC的外接圆， △ABC叫做⊙O的内接三角形.
（2）三角形的外心
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：三角形三边中垂线的交点.
性质：到三角形三个顶点的距离相等.
归纳总结：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.21世纪教育网版权所有
4.反证法的定义
先假设命题的结论不成立，然后由此经 ( http: / / www.21cnjy.com )过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
反证法的一般步骤骤
（1）假设命题的结论不成立
（2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
【例题1】（2021湖北襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为 　　 ．
【例题2】如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
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（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）21教育网
【例题3】已知：不在同一直线上的三点A、B、C.
求作： ⊙O,使它经过点A、B、C.
【例题4】如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．21cnjy.com
(1)求∠DAO的度数；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
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【例题5】求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
1. 已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
2.现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
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3.如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．21·cn·jy·com
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4.用反证法证明经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆。
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5.如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°。若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.
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概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
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