资源简介

(共33张PPT)
B
E C平面向量基本定理
[A级　基础巩固]
1．如图所示，向量a－b＝(　　)
A．－4e1－2e2　　　　　　　　 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C　由题图可得a＝－3e2，b＝－e1，所以a－b＝e1－3e2.
2．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　)
A．0，0 B．1，1
C．3，0 D．3，4
解析：选D　∵向量e1与e2不共线，∴解得故选D.
3．在△ABC中，若＝(＋)，则下列关系式正确的是(　　)
A．BD＝2CD B．BD＝CD
C．BD＝3CD D．CD＝2BD
解析：选B　由＝(＋)得2＝＋，即－＝－，即＝，所以||＝||，故BD＝CD.
4．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为线段AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：选A　∵M为BC边上任意一点，∴可设＝x＋y，且x＋y＝1.∵N为线段AM的中点，∴＝＝x＋y＝λ＋μ.∴λ＋μ＝(x＋y)＝.
5．(多选)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论，其中正确的结论为(　　)
A.＝－a－b B.＝a＋b
C.＝－a＋b D.＝a
解析：选ABC　如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，A正确；＝＋＝a＋b，B正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，C正确；＝＝－a，D不正确．
6．向量a在基底{e1，e2}下可表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________．
解析：由条件，可知解得
答案：　－
7.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________．
解析：＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b＋b－a＝a＋b.
答案：a＋b
8．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________．
解析：设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，
得解得
所以p＝－m＋n.
答案：－m＋n
9.如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试用＝e1，＝e2表示.
解：＝－＝e1－e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以＝＝(e1－e2)，所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一组基底；
(2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线得，
所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
又e1与e2是不共线的非零向量，
所以
故所求λ，μ的值分别为3和1.
[B级　综合运用]
11．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A．2 B．4
C．5 D．7
解析：选B　根据题意不妨取如图所示的两个互相垂直的单位向量e1，e2，则a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2.因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，所以解得所以＝4.
12．如图，在△ABC中，D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x＋y，则＋的最小值为(　　)
A. B．2
C. D.
解析：选D　由题图知x，y均为正数，设＝m＋n，＝λ＋μ.∵B，D，E，C四点共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1.∵＋＝x＋y＝(m＋λ)＋(n＋μ)，∴x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，∴＋＝(x＋y)＝×≥＝，则＋的最小值为.故选D.
13.如图，在△ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足＝2.若＝x＋y，则x2＋9y2的最小值为________．
解析：根据题意，得＝＝x＋y.因为M，B，C三点共线，所以有x＋y＝1，即x＋y＝(0答案：
14．如图，已知△ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，且AE与CD交于点P，求△APC的面积．
解：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b.
∵点A，P，E共线且D，P，C共线，
∴存在λ和μ，使＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb.
又＝＋＝a＋μb，
∴即
连接BP(图略)，则S△PAB＝S△ABC＝14×＝8，S△PBC＝14×＝2，
∴S△APC＝14－8－2＝4.
[C级　拓展探究]
15.如图，在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近点O的一个三等分点，AD与BC交于点M.设＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
(2)过点M的直线与边OA，OB分别交于点E，F.设＝pa，＝qb，求＋的值．
解：(1)设＝xa＋yb，则＝－＝(x－1)＋y＝(x－1)a＋yb，＝－＝－a＋b，
∵A，M，D三点共线，∴，共线，从而(x－1)＝－y. ①
又C，M，B三点共线，∴，共线，同理可得(y－1)＝－x. ②
联立①②，解得故＝a＋b.
(2)∵＝－＝a＋b－pa＝a＋b，＝－＝qb－pa，且，共线，
∴q＝－p，整理得＋＝5.
5平面向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
理解平面向量基本定理及其意义 直观想象、数学运算
共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来．那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？
[问题]　如图所示，已知a，b，c，d，e，f的始点相同，你能分别将c，d，e，f写成向量a，b的线性运算吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　平面向量基本定理
1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
2．基底：不共线的向量{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
对平面向量基本定理的理解
(1)基底具备两个特征：①基底是由两个不共线的向量构成的；②基底的选择是不唯一的．
(2)基底e1，e2确定后，平面内任一向量a的分解式是唯一的，特别地，a1e1＋a2e2＝0时，恒有a1＝a2＝0.　　　　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．(　　)
(2)基底中的向量可以是零向量．(　　)
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√
2．设e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则以下各组向量中不能作为基底的是(　　)
A．{e1，e2}　　　　 B．{e1＋e2，3e1＋3e2}
C．{e1，5e2} D．{e1，e1＋e2}
解析：选B　因为3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，所以两共线向量不可作为基底．
平面向量基本定理的理解
[例1]　(多选)如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法正确的是(　　)
A．若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对
C．线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量
D．当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量
[解析]　A正确：若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.B不正确：由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．C正确：平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．D不正确：结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定．
[答案]　AC
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
[提醒]　一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，其线性表示是不同的．　　　　
[跟踪训练]
1．如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　)
A.，　　　　　　 B.，
C.， D.，
解析：选B　由题中图形可知与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量．故选B.
2.如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面内的所有向量的基底的是(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B　∵与不共线，与不共线，∴①③可以作为基底，其他两组分别共线，故不可以，故选B.
用基底表示向量
[例2]　(链接教科书第26页例1)如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，.
[解]　法一：由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，＝＋＝a＋b.
法二：设＝x，＝y，则＝＝y，
又则
所以x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.
用基底表示向量的两种基本方法
一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．　　　　
[跟踪训练]
1．若AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D．－a＋b
解析：选B　设AD与BE交于点F，则＝a，＝b.
由＋＋＝0，得＝(a－b)，所以＝2＝2(－)＝a＋b.
2.如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．
解析：由题意，得＝(＋)．又＝＝－，所以＝(－＋2)＝－＋.又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝－＋1＝.
答案：
平面向量基本定理的综合应用
[例3]　(链接教科书第26页例2)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
[解]　设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.
[母题探究]
(变设问)在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示.
解：由题意知＝，则＝，＝＋＝＋＝b＋(－)＝b＋a－b＝b＋a.
若题中有多组三点共线，可从三点共线出发，列出关于系数的方程组，通过解方程组求解．　　　　
[跟踪训练]
如图，在平行四边形ABCD中，F是边CD的中点，AF与BD交于点E，用向量方法证明：E为线段BD的三等分点．
证明：设＝a，＝b，则＝－＝b－a，＝＋＝＋＝b＋a.
因为点A，E，F与点B，D，E分别共线，
所以存在实数λ，μ，使＝λ，＝μ，
于是＝a＋λb，＝μb－μa.由于＋＝，所以(1－μ)a＋μb＝a＋λb.因为a与b不共线，所以解得λ＝μ＝，
所以＝，所以点E为线段BD的三等分点．
“等和线”及其应用
平面向量的一个基底{，}及任一向量，由平面向量基本定理知存在唯一一对实数λ，μ∈R，使得＝λ＋μ.如果点C在直线AB上，或在平行于AB的直线上，则有λ＋μ＝k(定值)，反之也成立．我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为“等和线”．
对于等和线，有如下结论：
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在点O与等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过点O时，k＝0；
(5)若两等和线关于点O对称，则定值k1与k2互为相反数；
(6)定值k的绝对值与等和线到点O的距离成正比．
[问题探究]
1.如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝－＋m，求实数m的取值范围．
提示：由平面向量等和线的结论可知0<－＋m<1，所以2.如图所示，设D，E分别为△ABC的边AB，BC上的点，且有AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，求λ1＋λ2的值．
提示：如图，过点A作＝，设AF，BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，∴DE綉AH，即DE为△ABH的中位线，从而λ1＋λ2＝.
[迁移应用]
　如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是(　　)
A．(1，2]　　　　　　　　　　　 B．[5，6]
C．[2，5] D．[3，5]
解析：选C　如图所示，设＝m＋n，由等和线的结论，得m＋n＝＝＝2，即为m＋n的最小值．
同理，设＝m＋n，由等和线的结论，得m＋n＝＝5，即为m＋n的最大值．
综上所述，m＋n的取值范围是[2，5]．故选C.
1．若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)
A．e1－e2，e2－e1
B．e1－e2，e1＋e2
C．2e2－e1，－2e2＋e1
D．2e1＋e2，4e1＋2e2
解析：选B　不共线的向量能作为基底，因为e1－e2＝－(e2－e1)，所以向量e1－e2，e2－e1共线，排除A；因为2e2－e1＝－(－2e2＋e1)，所以2e2－e1，－2e2＋e1共线，排除C；因为2e1＋e2＝(4e1＋2e2)，所以2e1＋e2，4e1＋2e2共线，排除D，故选B.
2.如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以{a，b}为基底表示向量＝________．
解析：＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
答案：b＋a
3．在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝t，则实数t＝________；若＝，且＝λ＋μ，则实数λ＝________．
解析：由题意得，＋＝＝－2，故t＝－2.又＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故λ＝.
答案：－2　
4．已知M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
解：＝－＝－＝a－b，＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
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