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2．2　直线与圆的位置关系
第一课时　直线与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系 直观想象
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想 数学运算
知识点　直线与圆的三种位置关系
设直线l和圆C的方程分别为Ax＋By＋C＝0，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心到直线l的距离为d，半径为r，则直线l与圆C的方程联立方程组
我们有如下结论：
方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同的解
直线与圆没有公共点 直线与圆有且只有一个公共点 直线与圆有两个公共点
相离 相切 相交
dr d＝r dr
【思考】
1．若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？
提示：相切．
2．若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？
提示：d≤r.
【练习】
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)
(2)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．(　　)
答案：(1)√　(2)√
2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)
A．相切　　　　　　　 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：选B　圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝.因为0＜＜1，故直线与圆相交但直线不过圆心，选B.
3．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　)
A．0或2 B．2
C. D．无解
解析：选B　由于直线与圆相切，故＝，解得m＝0(舍去)或m＝2.
4．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．
解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故圆心为(3，4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝，所以弦长为2＝2×＝2＝4.
答案：4
题型分析
题型一 直线与圆位置关系的判断
[例1]　求直线x－y－1＝0和圆x2＋y2＝13的公共点的坐标，并判断它们的位置关系．
[解]　直线x－y－1＝0和圆x2＋y2＝13的公共点的坐标就是方程组的解．
解这个方程组，得或
所以公共点的坐标为(3，2)或(－2，－3)．
因为直线x－y－1＝0和圆x2＋y2＝13有两个公共点，所以直线和圆相交．
判断直线与圆位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．　　　　
[跟踪训练]
已知直线l：x－y＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，试判断直线l与圆C的位置关系，若相交求出交点坐标．
解：解方程组
得或
所以公共点坐标为(7，7)或(1，1)．
因为直线与圆有两个公共点，所以直线与圆相交.
题型二切线问题
[例2]　(1)设直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝1相切，则m＝________；
(2)过点A(－1，4)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程为________．
[解析]　(1)已知圆的圆心为O(0，0)，半径r＝1，则O到已知直线的距离d＝＝.由已知得d＝r，即＝1，解得m＝±.
(2)∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．
设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.
圆心(2，3)到切线l的距离为＝1，
解得k＝0或k＝－，
因此，所求直线l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0.
[答案]　(1)±　(2)y＝4或3x＋4y－13＝0
[母题探究]
(变条件)若本例(2)中的圆C：“(x－2)2＋(y－3)2＝1”换为圆C：“x2＋y2＝17”其它条件不变，试求切线l的方程．
解：因为点A(－1，4)在圆x2＋y2＝17上．所以过点A的切线l与AC垂直，
又因为kAC＝＝－4，
故切线l的斜率k＝，
所以切线l的方程为y－4＝(x＋1)，
即x－4y＋17＝0.
1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
3．求切线长(最值)的两种方法
(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．　　　　
[跟踪训练]
1．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3　 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
解析：选D　圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
2．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________．
解析：如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA.又OA⊥AP，
所以S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA|
＝2＝2.
为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离：|OP|min＝＝2.
故所求最小值为2＝8.
答案：8
题型三 弦长问题
[例3]　如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．
[解]　圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝ ＝＝3.
因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．当直线的斜率存在时，设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，于是＝3，解得k＝－.
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3或3x＋4y＋15＝0.
求弦长的两种方法
(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋＝r2求解，这是常用解法；
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．　　　　
[跟踪训练]
求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
解：法一：由直线l与圆C的方程，
得消去y，得x2－3x＋2＝0.
设两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，
|AB|＝
＝
＝
＝.
∴弦AB的长为.
法二：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.
其圆心坐标为C(0，1)，半径r＝，点C(0，1)到直线l的距离为d＝＝，
∴|AB|＝2
＝，
∴弦长为.
【随堂训练】
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　)
A．相交并且直线过圆心　 B．相交但直线不过圆心
C．相切 D．相离
解析：选D　圆心C(1，1)到直线的距离d＝＝，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．
2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于(　　)
A. B.
C．1 D．5
解析：选A　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝，所以直线被圆截得的弦长为2＝2 ＝.
3．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
解：圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝，
圆的半径r＝2.
(1)若相交，则d所以m∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
(2)若相切，则d＝r，即＝2，
所以m＝±2.
(3)若相离，则d>r，即>2，
所以m∈(－2，2)．

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