资源简介

3.2.1　双曲线及其标准方程
班级 姓名 小组___________
【学习目标】
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
【重点难点】
　用双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
【导学流程】
如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支．
[问题]　类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
基础感知
知识点一　双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|－|MF2||＝2a>|F1F2|时，M的轨迹不存在；
(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；
(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．　　　　
知识点二　双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
巧记双曲线焦点位置与方程的关系
焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．　　　　
合作与交流
1．已知双曲线的焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足||PF1|－|PF2||＝2，则双曲线的标准方程是___x2－＝1_____．
2．设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝___4或16_____．
3．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程－＝1表示双曲线．(　×　)
(2)双曲线两焦点之间的距离称为焦距．(　√　)
(3)若焦点在x轴上的双曲线方程为－＝1，则a2＞b2.(　×　)
(4)双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．(　√　)
4．已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　)
A．(－，0)，(，0)
B．(－5，0)，(5，0)
C．(0，－5)，(0，5)
D．(0，－)，(0，)
5．双曲线的两焦点坐标是F1(0，3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．
答案：－＝1
典例分析
例1.　(链接教科书第121页练习3题)已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)
A．k>5　　　　　　 B．k>5或－2C．k>2或k<－2 D．－2小结1.双曲线方程的辨识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　　　　
例2.　(链接教科书第121页练习1题)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4；
(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)．
[解]　(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，
得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
故双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．
因为点A(－5，6)在双曲线上，所以
2a＝|－|
＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是－＝1.
小结2.求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式；
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
小结3.双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程；
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
[注意]　若焦点的位置不明确，应分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.　　　　
例3.　(链接教科书第121页练习4题)如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[解]　双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义得＝2a＝6，
又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，
假设点P到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点P到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos ∠F1PF2＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
小结4.在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．　　　　
[跟踪训练]
双曲线在生活中的应用
例4.　(链接教科书第120页例2)由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
[解]　设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)，①
又|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为－＝1(x≥2)，②
联立①②，得P点坐标为(8，5)，
∴kPA＝＝，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.

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