资源简介

3.1.1　椭圆及其标准方程
班级 姓名 小组___________
【学习目标】
1.了解椭圆的实际背景
2.掌握椭圆的定义及标准方程
【重点难点】
　经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，.掌握椭圆的定义及标准方程.
【导学流程】
情境导入：在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图①②所示．
我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径．
[问题]　(1)那么，你能说说到底什么是椭圆吗？
(2)椭圆上任意一点的特征是什么？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
基础感知
一、　椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
二、　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图　形
焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的 关系 c2＝a2－b2
合作与交流
椭圆的标准方程的特征
(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上；
(2)代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值．　　　　
1.设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4　　　　　　B．5 C．8 D．10
2．若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(1，0)，则实数m的值为(　　)
A．1　　　　　　　B．2 C．4 D．6
3．若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为_____＋＝1或＋＝1___________．
典例分析
例1.　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；
(3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝.
[解]　(1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义，知2a＝ ＋
＝＋＝2，
∴a＝.
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6.①
又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6，
∴b2＝2，∴a2＝8.
又∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
例2.　(1)椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________；
(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为________．
[解析]　(1)A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.
又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|，
所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.
故△ABF2的周长为4×5＝20.
(2)由＋＝1，知a＝4，b＝3，c＝，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝，
∴∠F1PF2＝60°.
[答案]　(1)20　(2)60°
例3.　(链接教科书第108页例2、例3)(1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________；
(2)点A，B的坐标分别是(0，1)，(0，－1)，直线AM，BM相交于点M.且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是－，求点M的轨迹方程．
(1)[解析]　设P(xP，yP)，Q(x，y)，
由中点坐标公式得所以
又点P在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，
即x2＋＝1.
[答案]　x2＋＝1
(2)[解]　设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(0，1)，所以直线AM的斜率kAM＝(x≠0)，同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠0)．
由已知有·＝－，
化简，得点M的轨迹方程为＋y2＝1(x≠0)．

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