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(共28张PPT)
2．1.1　等式的性质与方程的解集等式的性质与方程的解集
新课程标准解读 核心素养
掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法解一元二次方程 数学抽象、数学运算
有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等．我这里有一个方程5x－2＝2x－2.
等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，
等式两边同时除以x，得5＝2”．
老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑．
[问题]　你认为狐狸的说法正确吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　等式的性质与方程的解
1．等式的性质
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
等式的性质拓展
(1)a1＝a2，a2＝a3，a3＝a4 a1＝a2＝a3＝a4；
(2)a＝b c－a＝c－b；
(3)a＝b －a＝－b；
(4)a＝b≠0 ＝.　　　　
2．恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
常用重要恒等式
(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(2)(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
(3)a3±b3＝(a±b)(a2 ab＋b2)；
(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.　　　　
3．方程的解集
一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
1．若ac＝bc，一定有a＝b吗？
提示：不一定，当c≠0时，若ac＝bc，则a＝b.
2．把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？
提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．
1．方程2(x－2)＋x2＝(x＋1)(x－1)＋3x的解集为________．
答案：{－3}
2．若m(3x－y2)＝9x2－y4，则m＝________．
答案：3x＋y2
3．若4x2－3(a－2)x＋25是完全平方式，则a＝________．
解析：因为4x2－3(a－2)x＋25＝(2x)2－3(a－2)x＋(±5)2＝(2x±5)2，即4x2－3(a－2)x＋25＝(2x＋5)2或4x2－3(a－2)x＋25＝(2x－5)2.所以－3(a－2)＝20或－3(a－2)＝－20.解得a＝－或a＝.
答案：－或
4．方程x2＋2x－15＝0的解集为________．
解析：x2＋2x－15＝0，
即(x－3)(x＋5)＝0，
所以x＝3或x＝－5.
所以方程的解集为{3，－5}．
答案：{3，－5}
等式性质的应用
[例1]　已知x＝y, 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④＝1；⑤＝；⑥＝.其中正确的有(　　 )
A．①②③　　　　　　　 B．④⑤⑥
C．①③⑤ D．②④⑥
[解析]　①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤＝正确，故选C.
[答案]　C
在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件．　　　　
[跟踪训练]
设x，y，c是实数，则下列正确的是(　　 )
A．若x＝y，则x＋c＝y－c
B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则＝
D．若＝，则2x＝3y
解析：选B　两边加不同的数结果不一定相等，故A不正确；两边都乘以c，故B正确；c＝0时，两边都除以c无意义，故C不正确；两边乘6c，得到3x＝2y，故D不正确．故选B.
恒等式的化简
角度一　利用恒等式化简
[例2]　计算下列各式：
(1)(4＋m)(16－4m＋m2)；
(2)(a＋2)(a－2)(a4＋4a2＋16)；
(3)(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)；
(4)(x2＋2xy＋y2)(x2－xy＋y2)2.
[解]　(1)原式＝43＋m3＝64＋m3.
(2)原式＝(a2－4)(a4＋4a2＋16)＝(a2)3－43＝a6－64.
(3)法一：原式＝(x2－1)[(x2＋1)2－x2]＝(x2－1)·(x4＋x2＋1)＝x6－1.
法二：原式＝(x＋1)(x2－x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＝(x3＋1)·(x3－1)＝x6－1.
(4)原式＝(x＋y)2(x2－xy＋y2)2＝[(x＋y)(x2－xy＋y2)]2＝(x3＋y3)2＝x6＋2x3y3＋y6.
1．在进行代数式的乘法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．
2．注意乘法公式的正用、逆用及变形应用．　　　　
角度二　十字相乘法分解公式
[例3]　把下列各式因式分解：
(1)6x2＋11x－7；
(2)x＋5－6y(x>0，y>0)；
(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2.
[解]　(1)由十字相乘法，得：
所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．
(2)原式＝(＋6)(－)．
(3)原式＝(x＋y＋2z)(x＋y－3z)．
对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)．　　　　
[跟踪训练]
1．计算下列各式：
(1)(x－3y－4z)2；
(2)(2a＋1－b)2－(a－b)(a＋2b)；
(3)(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a＋b)3；
(4)(a－4b).
解：(1)原式＝x2＋9y2＋16z2－6xy－8xz＋24yz.
(2)原式＝4a2＋1＋b2＋4a－4ab－2b－(a2＋ab－2b2)＝3a2－5ab＋3b2＋4a－2b＋1.
(3)原式＝a3＋b3－(a3＋3a2b＋3ab2＋b3)＝－3a2b－3ab2.
(4)原式＝(a－4b)(a2＋4ab＋16b2)＝[a3－(4b)3]＝a3－16b3.
2．因式分解：x3＋6x2＋11x＋6.
解：法一：x3＋6x2＋11x＋6
＝(x3＋3x2)＋(3x2＋9x)＋(2x＋6)
＝x2(x＋3)＋3x(x＋3)＋2(x＋3)
＝(x＋3)(x2＋3x＋2)
＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)．
法二：x3＋6x2＋11x＋6
＝(x3＋3x2)＋(3x2＋11x＋6)①
＝x2(x＋3)＋(x＋3)(3x＋2)
＝(x＋3)(x2＋3x＋2)
＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)．①可用十字相乘法分解因式
3×3＋2×1＝11.
求方程的解集
角度一　求一元一次方程的解集
[例4]　求下列方程的解集：
(1)4－3(10－y)＝5y；
(2)＝－1.
[解]　(1)去括号，得4－30＋3y＝5y.
移项，得3y－5y＝30－4.
合并同类项，得－2y＝26.
系数化为1，得y＝－13.
所以该方程的解集为{－13}．
(2)去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6.
去括号，得4x－2＝2x＋1－6.
移项，得4x－2x＝1－6＋2.
合并同类项，得2x＝－3.
系数化为1，得x＝－.
所以该方程的解集为.
解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．
(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数；
(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．　　　　
角度二　因式分解法解一元二次方程
[例5]　求下列方程的解集：
(1)x(x＋2)＝2x＋4；
(2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.
[解]　(1)原方程可变形为x(x＋2)＝2(x＋2)，即 (x－2)·(x＋2)＝0，
从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－2，2}．
(2)利用平方差，将原方程变为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0，
整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝或x＝32，
故原方程的解集为.
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．　　　　
[跟踪训练]
1．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值为(　　 )
A．1或4 B．－1或－4
C．－1或4 D．1或－4
解析：选B　∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0, 解得a＝－1或a＝－4.
2．如果方程－8＝－的解集与方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1的解集相同，求式子a－的值．
解：解方程－8＝－，
去分母，得2(x－4)－48＝－3(x＋2)，
去括号，得2x－8－48＝－3x－6，
移项、合并同类项，得5x＝50，
系数化为1，得x＝10.
把x＝10代入方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1，
得4×10－(3a＋1)＝6×10＋2a－1，解得a＝－4.
当a＝－4时，a－＝－4－＝－.
1．(多选)下列运用等式性质进行的变形，正确的是(　　 )
A．如果＝，那么＝
B．如果＝，那么＝
C．如果＝，那么bc＝ad
D．如果＝，那么＝
解析：选ABC　选项A为分比定理；选项B为分比定理；选项C为两内项之积等于两外项之积；选项D，当b＝d＝0时，无意义．故选A、B、C.
2．计算(3a－2b)2的结果为(　　)
A．9a2＋4b2　　　　　　 B．9a2＋6ab＋4b2
C．9a2－12ab＋4b2 D．9a2－4b2
解析：选C　由完全平方公式得，原式＝9a2－12ab＋4b2.
3．方程－1＝的解集为(　　)
A．－1 B．{－1}
C．8 D．{8}
解析：选B　由题得3(3x－1)－12＝2(5x－7)，所以9x－15＝10x－14，解得x＝－1.故选B.
4．已知x－2y＝6，x－3y＝4，则x2－5xy＋6y2的值为______ .
解析：∵x－2y＝6，x－3y＝4，∴原式＝(x－2y)(x－3y)＝24.
答案：24
5．分解下列多项式：
(1)x2＋5x－6；
(2)x2－2x－8；
(3)6x2＋5x－1；
(4)x2＋xy－6y2.
解：(1)x2＋5x－6＝(x＋6)(x－1)；
(2)x2－2x－8＝(x－4)(x＋2)；
(3)6x2＋5x－1＝(6x－1)(x＋1)；
(4)x2＋xy－6y2＝(x－2y)(x＋3y)．
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7(共37张PPT)
2．1.2　一元二次方程的解集及其
根与系数的关系一元二次方程的解集及其根与系数的关系
新课程标准解读 核心素养
1.能利用判别式Δ的值判定一元二次方程根的个数 数学运算
2.会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围 数学运算
今天是小芳的生日，她的4个小伙伴约好为她举办一个生日晚会，邻居张叔叔路过晚会现场，想了解一下他们的年龄．小芳说：我是最小的，我们5个的年龄从小到大依次恰好相差1岁．小明说：我们中较大的两个的年龄的平方和恰好等于较小的三个人的年龄的平方和．张叔叔说：“我可以算出小芳的年龄了”．
[问题]　张叔叔是怎样算出小芳年龄的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　一元二次方程的解集
一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．
(1)当Δ>0时，方程的解集为
；
(2)当Δ＝0时，方程的解集为；
(3)当Δ<0时，方程的解集为 ．
1．方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
解析：选A　∵Δ＝(－5)2－4×2×3＝1>0，∴方程2x2－5x＋3＝0有两个不相等的实数根．故选A.
2．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是________．
解析：因为一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4.
答案：(－∞，4]
知识点二　一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集，设x1，x2是该一元二次方程的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝．
1．已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程可以是(　　)
A．x2－6x＋8＝0　　　　　 B．x2＋9x－1＝0
C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0
解析：选D　设所求方程为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则由题意，可得4＋(－5)＝－，4×(－5)＝，即＝1，＝－20，验证四个选项，只有D项符合条件．
2．已知m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，则＋的值为(　　)
A．－1 B.
C．－ D．1
解析：选C　因为m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，所以m＋n＝，mn＝－1，所以＋＝＝＝－.故选C.
3．若2和－5为一元二次方程x2＋bx－c＝0的两根，则b，c的值分别等于________．
解析：由一元二次方程根与系数的关系，可得解得
答案：3，10
一元二次方程解集的求法
角度一　直接开平方法
[例1]　用直接开平方法求下列一元二次方程的解集：
(1)4y2－25＝0；(2)3x2－x＝15－x.
[解]　(1)移项，得4y2＝25.
两边都除以4，得y2＝.
解得y1＝，y2＝－，
所以原一元二次方程的解集是.
(2)移项，合并同类项，得3x2＝15.
两边都除以3，得x2＝5，
解得x1＝，x2＝－.
所以原一元二次方程的解集是{，－}．
应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤
(1)化为x2＝p(p≥0)的形式；
(2)直接开平方；
(3)解两个一元一次方程，写出方程的两个根；
(4)总结写成解集的形式．　　　　
角度二　配方法
[例2]　用配方法求下列方程的解集：
(1)x2＋4x－1＝0；
(2)4x2＋8x＋1＝0.
[解]　 (1)∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，
∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，
∴x＝－2±，
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
∴原一元二次方程的解集是{－2＋，－2－}．
(2)移项，得4x2＋8x＝－1.
二次项系数化为1，得x2＋2x＝－，
配方，得x2＋2x＋12＝12－，即(x＋1)2＝.
∴x＋1＝±.
∴x1＝－1＋，x2＝－1－，
∴原一元二次方程的解集是.
利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，先把二次项系数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解(若另一边为负数，则此方程无实数根)．　　　　
角度三　公式法
[例3]　用公式法求下列方程的解集：
(1)x2－4x＋10＝0；
(2)x2＋x＋＝0.
[解]　(1)∵a＝1，b＝－4，c＝10，
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×10＝8＞0，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
∴原一元二次方程的解集是{2＋，2－}．
(2)方程两边都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0.
∵a＝4，b＝4，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0，
∴x＝＝－，
∴x1＝x2＝－.
∴原一元二次方程的解集是.
利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集．　　　　
[跟踪训练]
1．用直接开平方法求下列一元二次方程的解集：
(1)(x＋1)2＝12；
(2)(6x－1)2－25＝0.
解：(1)直接开平方，得x＋1＝±2，
∴x1＝2－1，x2＝－2－1.
∴原一元二次方程的解集是{2－1，－2－1}．
(2)移项，得(6x－1)2＝25.
开平方，得6x－1＝±5，
∴x1＝1，x2＝－.
∴原一元二次方程的解集是.
2．用配方法求下列方程的解集：
(1)x2＋3＝2x；
(2)2x2－5＋x＝0.
解：(1)移项，得x2－2x＝－3.
配方，得x2－2x＋()2＝－3＋()2，
即(x－)2＝0.∴x1＝x2＝，
∴原一元二次方程的解集是{}．
(2)移项，得2x2＋x＝5.
二次项系数化为1，得x2＋x＝.
配方，得x2＋x＋＝＋.
∴＝.
∴x＋＝±.
∴x1＝，x2＝，
∴原一元二次方程的解集是.
3．用公式法求下列方程的解集：
(1)x2＋3＝2x；
(2)3x2＝－6x－1.
解：(1)将方程化为一般形式为x2－2x＋3＝0.
∵a＝1，b＝－2，c＝3，
Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－4＜0，
∴原方程没有实数根．
∴原一元二次方程的解集是 .
(2)将方程化为一般形式为3x2＋6x＋1＝0，
∵a＝3，b＝6，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝62－4×3×1＝24＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
∴原一元二次方程的解集是.
一元二次方程根的判别式
[例4]　不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况．
(1)3x2－2x－1＝0；
(2)2x2－x＋1＝0；
(3)4x－x2＝x2＋2.
[解]　(1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴方程的解集中有两个元素．
(2)∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，∴方程没有实数根，∴方程的解集为空集．
(3)方程整理为x2－2x＋1＝0, ∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0, ∴方程有两个相等的实数根，∴方程的解集中有一个元素．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．　　　　
[跟踪训练]
下列一元二次方程中，解集为空集的是(　　 )
A．x2－2x＝0　　　　　　 B．x2＋4x－1＝0
C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2
解析：选C　利用根的判别式Δ＝b2－4ac分别进行判定即可．A项：Δ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B项：Δ＝42－4×1×(－1)＝20＞0，有两个不相等的实数根， 故此选项不合题意；C项：Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，没有实数根，故此选项符合题意；D项：Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意．故选C.
一元二次方程根与系数的关系
角度一　直接应用根与系数的关系进行计算
[例5]　(链接教科书第50页例2)已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：
(1)x＋x；(2)＋.
[解]　根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×(－1)＝11.
(2)＋＝＝＝3.
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．
常见变形还有：
(1)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
(2)|x1－x2|＝＝.　　　　
角度二　求字母系数的值或范围
[例6]　已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．
(1)方程两实根的积为5；
(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2.
[解]　Δ＝[－(k＋1)]2－4×＝2k－3，Δ≥0，k≥.
(1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝k2＋1＝5，
k2＝16，k＝4或k＝－4(舍去)．
(2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝.
方程为x2－x＋＝0，x1＝x2＝>0满足．
②若x1<0，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.
方程为x2＋＝0，而方程无解，
所以k≠－1，综上k＝.
利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.　　　　
[跟踪训练]
1．关于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是(　　)
A．－2或3　　　　　　 B．3
C．－2 D．－3或2
解析：选C　∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，
∴m＋6＝m2，
解得m＝3或m＝－2.
∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝[－(m＋6)]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，
解得m＝6或m＝－2.
∴m＝－2.
2．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若此方程的两个实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值．
解：(1)因为关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
所以Δ≥0，
即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，
解得k≤.
所以k的取值范围为.
(2)由题知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3.
因为x＋x＝11，所以2k2－6k＋3＝11，
解得k＝4或k＝－1，
因为k≤，所以k＝－1.
1．一元二次方程x2－9＝0的解集是(　　 )
A．{3} B．{－3}
C．{－3，3} D．{－9，9}
解析：选C　∵x2－9＝0，∴x2＝9，∴x＝±3，故选C.
2．(多选)关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是(　　)
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．当m＝1时，方程有两个相等的实数根
C．当m＝－1时，方程没有实数根
D．当m＝2时，方程有两个不相等的实数根
解析：选AB　当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝，此时方程只有一个实数根，A正确；当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，
所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；
当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6>0，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，所以此时方程无实数根，D错误．故选A、B.
3．一元二次方程3x2－1＝2x＋5的两个实数根的和与积分别是(　　)
A.，－2 B.，－2
C．－，2 D．－，2
解析：选B　设这个一元二次方程的两个实数根分别为x1，x2，方程3x2－1＝2x＋5化为一元二次方程的一般形式为3x2－2x－6＝0.∵a＝3，b＝－2，c＝－6，∴x1＋x2＝－＝－＝，x1x2＝＝＝－2.故选B.
4．将方程x2－2x＝3化为(x－m)2＝n的形式，则m，n分别是________．
解析：x2－2x＝3，配方得x2－2x＋1＝4, 即(x－1)2＝4，∴m＝1，n＝4.
答案：1，4
5．关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根，则m的最大整数值是________．
解析：∵关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根，∴Δ＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，解得m≤5.5，且m≠5，∴m的最大整数值是4.
答案：4
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2．1.3　方程组的解集方程组的解集
新课程标准解读 核心素养
1.会利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组 数学运算
2.能运用合适的方法求解二元二次方程组 数学运算
在一个笼子里有若干只鸡和兔，从笼子上看有30个头，从笼子下数有70只脚．
[问题]　这个笼子里共有多少只兔多少只鸡？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　方程组的解集
1．方程组
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．
2．方程组的解集
方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．　　　　
1．方程组的解集为________．
答案：
2．若|x＋y－5|＋(x－y－9)2＝0，则x，y的值分别为________．
解析：由题意知
①＋②得2x－14＝0，即x＝7，
①－②得2y＋4＝0，即y＝－2.
答案：7，－2
3．由方程组可得x与y的关系是________．
答案：2x＋y－3＝0
求二元一次方程组的解集
角度一　用代入消元法求二元一次方程组的解集
[例1]　求方程组的解集．
[解]　法一：由②，得y＝4x－5，　③
把③代入①，得2x＋3(4x－5)＝－1，
解这个一元一次方程，得x＝1，
把x＝1代入③，得y＝－1.
所以这个方程组的解集为{(x，y)|(1，－1)}．
法二：由①，得3y＝－2x－1，即y＝，　③
把③代入②，得4x－＝5，
解这个一元一次方程，得x＝1，
把x＝1代入③，得y＝－1.
所以这个方程组的解集为{(x，y)|(1，－1)}．
用代入消元法解二元一次方程组的步骤
(1)变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b)(a，b是常数，a≠0)的形式
(2)代入 把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程
(3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值
(4)回代 把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程，求出另一个未知数
(5)写解集 用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式
角度二　用加减消元法求二元一次方程组的解集
[例2]　求下列方程组的解集：
(1)
(2)
[解]　(1)法一(加法消元)：①＋②，得6x＝12，
解得x＝2，
把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，解得y＝1.
所以方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}．
法二(减法消元)：①－②，得－14y＝－14，
解得y＝1，
把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，解得x＝2.
所以方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}．
法三(加减法消元)：①＋②，得6x＝12，解得x＝2.
①－②，得－14y＝－14，解得y＝1.
所以方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}．
(2)①×5－②×2，得7y＝21，解得y＝3，
把y＝3代入①，整理得2x＝4，解得x＝2.
所以方程组的解集为{(x，y)|(2，3)}．
用加减消元法解二元一次方程组的步骤
(1)变形 根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数
(2)加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减
(3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值
(4)回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值
(5)写解集 用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式
[跟踪训练]
求下列二元一次方程组的解集：
(1)
(2)
解：(1)原方程组可变形为
③－④，得6y＝27，解得y＝，
把y＝代入④，得3x－9＝9，解得x＝6.
所以这个方程组的解集为.
(2)原方程组可变形为
把④代入③，得5y－24＋5y＝36，解得y＝6，
把y＝6代入④，得x＝5×6－24＝6.
所以这个方程组的解集为{(x，y)|(6，6)}.
求三元一次方程组的解集
[例3]　求下列方程组的解集：
(1)
(2)
[解]　(1)法一：①×2＋②，得5x＋8y＝7，　④
③与④组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把x＝3，y＝－1代入①，得3＋3×(－1)＋2z＝2，所以z＝1.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1，1)}．
法二：由③，得y＝2x－7，　　　　　④
把④代入①，整理得7x＋2z＝23, ⑤
把④代入②，整理得7x－4z＝17, ⑥
⑤与⑥组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把x＝3代入④，得y＝－1.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1，1)}．
(2)法一：由①和②，得x∶y∶z＝3∶2∶5.
设x＝3k，y＝2k，z＝5k(k≠0)，并代入③，得5k＋3k＋2k＝20，
解得k＝2.
所以x＝3k＝6，y＝2k＝4，z＝5k＝10.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(6，4，10)}．
法二：由①，得x＝y，　④
由②，得z＝y. ⑤
把④和⑤代入③，得
y＋y＋y＝20，解得y＝4.
把y＝4分别代入④和⑤，
得x＝6，z＝10.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(6，4，10)}．
解三元一次方程组的一般步骤
(1)消元 把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，利用代入消元法或加减消元法，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组
(2)求解 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
(3)回代 将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一元一次方程
(4)求解 解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值
(5)写解集 把方程组的解用集合表示出来
[注意]　解特殊的三元一次方程组时，应具体问题具体分析，观察方程组的特点及未知数系数之间的关系，灵活消元．对于一些特殊的方程组，有特殊的解法，例如：若一个方程组由两个方程构成，其中一个方程是x∶y∶z＝a∶b∶c(a，b，c为常数，且都不为0)，另一个方程是关于x，y，z的三元一次方程，解这种方程组时，可引入k(k≠0)，用含k的式子表示x，y，z，再代入三元一次方程中，化“三元”为“一元”，求出k的值，进而可求出x，y，z的值．　　　　
[跟踪训练]
　求解下列方程组的解集：
(1)
(2)
解：(1)①＋③，得3x＋5y＝11，　④
③×2＋②，得3x＋3y＝9，即x＋y＝3.　⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组， 得
把x＝2，y＝1代入③，得2＋2－z＝5，所以z＝－1.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(2，1，－1)}．
(2)法一：①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝8，即x＋y＋z＝4，　④
④－①，得z＝3.
④－②，得x＝－1.
④－③，得y＝2.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(－1，2，3)}．
法二：②－①，得z－x＝4，　④
③与④组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把x＝－1代入①，得－1＋y＝1，所以y＝2.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(－1，2，3)}.
二元二次方程组的解集
[例4]　求下列方程组的解集：
(1)
(2)
[解]　(1)由①得y＝8－x，③
把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0.
解得x1＝2，x2＝6.
把x1＝2代入③，得y1＝6.
把x2＝6代入③，得y2＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，6)，(6，2)}．
(2)由①得(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，
解得x－2y＝1或x－2y＝－2，
由得
由得
所以原方程组的解集为.
求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程．　　　　
[跟踪训练]
解下列方程组：(1)
(2)
解：(1)由②，得y＝2x－1，　③
把③代入①，整理，得15x2－23x＋8＝0.
解这个方程，得x1＝1，x2＝.
把x1＝1代入③，得y1＝1；
把x2＝代入③，得y2＝.
所以原方程组的解集为.
(2)由②得(x－y－3)(x－y＋1)＝0.
所以x－y－3＝0或x－y＋1＝0.
所以原方程组可化为两个方程组：
用代入消元法解方程组，分别得
所以原方程组的解集为.
方程组的实际应用
[例5]　某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
[解]　设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km，y km和z km.
由题意得解得
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是4 km.
列方程组解应用题的一般步骤
(1)审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系；
(2)设：恰当地设未知数；
(3)列：依据题中的等量关系列出方程组；
(4)解：解方程组，求出未知数的值；
(5)验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义；
(6)答：写出结论．　　　　
[跟踪训练]
甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．
解：设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米．
①当甲、乙两人相遇前相距3千米时，
得解得
②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时，得解得
故甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米；或甲的速度为每小时千米，乙的速度为每小时千米．
数学文化与方程组问题
[典例]　(链接教科书第52页情境与问题)《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾①三秉②，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗③；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何．
请列方程组求解这个问题．
①禾：粮食作物的总称；②秉：束；③斗：计量单位，1斗＝10升．
提示：设上禾一秉x斗，中禾一秉y斗，下禾一秉z斗，根据题意，可列方程组
①－②得x－y＝5，　　　　④
②×3－③得5x＋7y＝76，　⑤
④×7＋⑤得x＝，
从而y＝，z＝.
故上、中、下禾一秉各为，，斗．
[知能拓展]
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就．
代数方面 ，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程组，本例就是其中的第一个问题．《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下．

其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似．
不难看出， “遍乘直除”的目的在于消元．按照我国著名数学史学家李文林先生的说法，《九章算术》的方程术，是世界数学史上的一颗明珠．
《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则．
另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是给出了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的数值求解步骤．而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开．这是意识到了无理数的存在．
你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！
[迁移应用]
　(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则当z＝81时，x＝__________，y＝__________．
解析：由题意，得
即解得
答案：8　11
1．方程组的解集是(　　)
A．{(x，y)|(6，4)}　　　　　 B．{(x，y)|(5，6)}
C．{(x，y)|(3，6)} D．{(x，y)|(2，3)}
解析：选A　由x＋y＝10，得y＝10－x，代入2x＋y＝16，得x＋10＝16，解得x＝6，所以y＝10－6＝4.故方程组的解集为{(x，y)|(6，4)}．故选A.
2．已知集合A＝{(x，y)|y＝x3}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的元素个数是(　　 )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D　联立消元，得x3＝x，
所以x(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝0，1，－1，
故有三个交点，即(－1，－1)，(0，0)，(1，1)，所以集合A∩B中有3个元素．
3．下列四个集合中为方程组的解集的是(　　)
A．{(x，y，z)|(0，1，－2)} B．{(x，y，z)|(1，0，1)}
C．{(x，y，z)|(0，－1，0)} D．{(x，y，z)|(1，－2，3)}
解析：选D　
①＋②得3x＋y＝1，　　　　　　　 ④
③－②得x＝1，将x＝1代入④得y＝－2，
将x＝1，y＝－2代入②得z＝3.
4．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组________．
解析：由于这两组解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1，
故可组成方程组为
答案：(答案不唯一)
5．求方程组的解集．
解：①＋②×2得，x2＋y2＋2xy＝36，即(x＋y)2＝36，得x＋y＝6或x＋y＝－6；
①－②×2得，x2＋y2－2xy＝16，即(x－y)2＝16，
得x－y＝4或x－y＝－4.
所以或
或或
解此四个方程组，得或或或
故方程组的解集是{(x，y)|(5，1)，(1，5)，(－1，－5)，(－5，－1)}．
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