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2．2.1 不等式及其性质不等式及其性质
新课程标准解读 核心素养
理解不等式的概念，掌握不等式的性质 数学抽象、逻辑推理
清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了，一名女演员双手抚摸着短裙，眼里闪烁着倔强和自信的目光．只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境……她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.57～0.6之间．设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由变成了，这个比值非常接近黄金分割值0.618.这便是不等式在实际生活中的应用．
[问题] 不等式还有哪些重要的性质呢？
知识点一 比较实数a，b的大小
1．a－b<0 a＜b．
2．a－b＝0 a＝b．
3．a－b>0 a>b．
1．在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
提示：是．
2．p q的含义是什么？
提示：p q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推(等价)．
当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
解析：∵m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.
∴m3>m2－m＋1.
答案：m3>m2－m＋1
知识点二 不等式的性质
性质1：如果a>b，那么a＋cb＋c.
性质2：如果a>b，c>0，那么acbc.
性质3：如果a>b，c<0，那么acbc.
性质4：如果a>b，b>c，那么ac.(传递性)
性质5：a>b b推论1：如果a＋b>c，那么ac－b.(不等式的移项法则)
推论2：如果a>b，c>d，那么a＋cb＋d.(同向可加性)
推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么acbd.
推论4：如果a>b>0，那么anbn(n∈N，n>1)．
推论5：如果a>b>0，那么.
1．若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
提示：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立．
2．若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
提示：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立．
1．下列命题正确的是( )
A．a>b，c≠0 ac2>bc2
B．aC．a>b且cb＋d
D．a>b a2>b2
答案：A
2．设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等关系正确的是________(填序号)．
①a＋1>b－3； ②ac>bc；
③a2>b2; ④a－b>0.
答案：①④
3．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是______________．
答案：a>－b>b>－a
利用不等式性质判断命题的真假
[例1] 对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b＜0，则＞
D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
[解析] ∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0 ＞ ＞，故B为假命题；
由a＜b＜0 －a＞－b＞0 －＞－＞0 ＞，故C为假命题；
ab＜0.
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
[答案] D
运用不等式性质判断命题的真假时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质．
[跟踪训练]
(多选)下列命题正确的是( )
A．若a2＞b2，则a＞b B．若＞，则a＜b
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若＜，则a＜b
解析：选CD A错，例如(－3)2＞22；B错，例如＞；C、D正确.
利用不等式性质证明不等式
[例2] 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以，得＜.
又e＜0，∴＞.
[母题探究]
(变设问)本例条件不变的情况下，求证：＞.
证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜＜.
又∵e＜0，∴＞.
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[跟踪训练]
若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，
所以≤.
利用不等式性质求代数式的值或范围
[例3] (1)已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围；
(2)已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
[解] (1)∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，
∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范围是(8，32)，a－b的取值范围是(－7，2)．
(2)设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，从而解得λ1＝，λ2＝－.
又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，
∴－≤a＋3b≤1.
故a＋3b的取值范围为.
[母题探究]
(变设问)在本例(1)条件下，求的取值范围．
解：∵2＜b＜8，∴＜＜，而1＜a＜4，
∴1×＜a·＜4×，即＜＜2.
故的取值范围是.
利用不等式的性质求代数式范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围；
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
[跟踪训练]
已知－6＜a＜8，2＜b＜3，则的取值范围为________．
解析：∵－6＜a＜8，2＜b＜3.∴＜＜，
①当0≤a＜8时，0≤＜4；
②当－6＜a＜0时，得0＜－a＜6，即0＜－＜3，
故－3＜＜0.由①②得：－3＜＜4.
故的取值范围为(－3，4)．
答案：(－3，4)
实际问题中的不等关系
糖水跟煲汤一样，具有滋补养生功效．可以作为糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清凉性，有的具有燥热性．根据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果．专家称，喝糖水可缓解烦躁失眠．在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦可助眠．
[问题探究]
下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了．
提示：(1)设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖，即证明不等式>(其中a，b，m为正实数，且b>a)成立．
不妨用作差比较法，证明如下：
－＝＝.
∵a，b，m为正实数，且a∴b＋m>0，b－a>0，
∴>0，
即>.
(2)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且<，求证：<<(其中b>a>0，d>c>0)．
证明：∵<，
且b>a>0，d>c>0，
∴ad0，
－＝＝<0，
即<，
－＝＝>0，
即<.
∴<<.
(3)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水，求证：>(其中b>a>0，m>0)．
证明：－＝＝>0，
∴>.
[结论] (1)如果一个分式(b>a>0)的分子分母同时增大相同的值，则该分式的值变大；
(2)两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式之间；
(3)一个分式分子不变，分母变大，分式的值变小．以上证明过程考查了逻辑推理的核心素养．
[迁移应用]
建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比例越大，采光条件越好，问同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？
解：设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为n m2，显然，a，b，n均为正实数，且a≤<.
故住宅的采光条件变好了．
1．已知0A．MN
C．M＝N D．M≥N
解析：选B ∵0∴－1∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)
＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N.
2．(多选)若a，b，c为实数，则下列命题正确的是( )
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若aC．若a>b>0，则<
D．若ad>0，则ac解析：选ACD 对于A，若ac2>bc2，则a>b，故正确；对于B，根据不等式的性质，若ab2，故错误；对于C，若a>b>0，则>，即>，故正确；对于D，若ad>0，则ac3．(2021·河北邯郸高二月考)有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d.已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c解析：因为a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，所以2a>2c，即a>c，因此bb>a>c.
答案：d>b>a>c
4．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
解析：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
答案：[5，10]
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2．2.1 不等式及其性质不等式的解集
新课程标准解读 核心素养
1.会求一元一次不等式(组)的解集 数学运算
2.能借助绝对值的几何意义求解绝对值不等式的解 直观想象、数学运算
运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否小于18”为一次程序操作， 输入x后程序操作仅进行了一次就停止．
[问题] (1)情境中的运算程序涉及何不等式？
(2)如何解此不等式？
知识点一 不等式的解集与不等式组的解集
1．不等式的解集
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．
2．不等式组的解集
对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
1．不等式ax＋b>0的解集是吗？
提示：不一定．当a＞0时，不等式ax＋b>0的解集为；当a<0时，不等式ax＋b>0的解集为.
2．不等式的解集是否一定为无限集？
提示：不一定．如不等式|x|<0的解集是空集，不等式x2≤0的解集是{0}，为有限集．
1．不等式2x－＞0的解集为________．
答案：
2．不等式组的解集为________．
答案：
知识点二 绝对值不等式
1．绝对值的定义
数轴上表示数a的点与原点的距离称为数a的绝对值，记作|a|.而且一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是．
2．绝对值不等式
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
3．绝对值不等式的解集
当m>0时，关于x的不等式|x|>m的解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)；关于x的不等式|x|≤m的解集为[－m，m]．
|ax＋b|≤m，|ax＋b|≥m(m＞0)型不等式的解法
只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤m，|x|≥m(m＞0)型不等式求解．
|ax＋b|≤m(m＞0)型不等式的解法：先化为－m≤ax＋b≤m，再由不等式的性质求出该不等式的解集．
不等式|ax＋b|≥m(m＞0)的解法：先化为ax＋b≥m或ax＋b≤－m，再进一步利用不等式性质求出该不等式的解集．
若|x|＝|a|, 是否一定有x＝a
提示：不一定．|x|＝|a| x＝a或x＝－a.
1．不等式|x|＞2的解集为________．
解析：|x|>2 x<－2或x>2，∴不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
2．不等式|x－1|≤2的解集为________．
解析：|x－1|≤2 －2≤x－1≤2 －1≤x≤3，
∴不等式的解集为[－1，3]．
答案：[－1，3]
知识点三 数轴上的坐标与距离
1．两点间的距离公式
一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．
2．中点坐标公式
若线段AB的中点M对应的数为x，则x＝就是数轴上的中点坐标公式．
设数轴上A(－3)，B，求线段AB的长及线段AB的中点M的坐标．
解：AB＝＝，
中点M的坐标x＝＝－.
不等式组的解法
[例1] (链接教科书第64页例1)解下列不等式组：
(1)
(2)
[解] (1)解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为 .
(2)解不等式①，得x＞－，解不等式②，得x≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知不等式组的解集为.
不等式组的求解步骤
(1)求出不等式组中每个不等式的解集；
(2)借助数轴求出各解集的公共部分(交集)；
(3)写出不等式组的解集．
[跟踪训练]
1．已知关于x的不等式组的解集为(1，3)，则a的值为________．
解析：由2x＋1＞3，得x＞1，由a－x＞1，得x＜a－1.
又∵不等式组的解集为(1，3)，∴a－1＝3，即a＝4.
答案：4
2．解不等式1≤＜2x＋.
解：原不等式可化为下面的不等式组
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞，
所以原不等式的解集为.
解含绝对值的不等式
角度一 |ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
[例2] 不等式|5－4x|＞9的解集为________．
[解析] ∵|5－4x|＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9.
∴4x＜－4或4x＞14，
∴x＜－1或x＞.
∴原不等式的解集为.
[答案]
[母题探究]
(变设问)若不等式|kx－5|≤9的解集为，则实数k＝________．
解析：由|kx－5|≤9 －4≤kx≤14.
∵不等式的解集为，
∴k＝4.
答案：4
|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法
(1)当c＞0时，|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c；
(2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|＜c的解集为 ；
(3)当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为 .
角度二 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
[例3] (链接教科书第67页探索与研究)解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.
[解] 法一：|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1]．
法二：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.
①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，
∴x＜－7.
②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，
∴－7≤x≤－1.
③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立，
∴x∈ .
∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
分段讨论法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟练掌握，在解答过程中要注意以下几点：
(1)分段要准确，注意等号的分布，避免重复或遗漏；
(2)每一段都有一个前提，每一段解出的范围都要和前提取“交集”，最后写不等式的解集时要把每一段x的范围取“并集”，即“先分后合”；
(3)不等式的解集有两种书写形式：一是用集合的描述法表示，特殊时用列举法；二是用区间．
[跟踪训练]
1．解下列不等式：
(1)|3－2x|＜9；
(2)4＜|3x－2|＜8.
解：(1)∵|3－2x|＜9，∴|2x－3|＜9.
∴－9＜2x－3＜9.
即－6＜2x＜12.
∴－3＜x＜6.
∴原不等式的解集为(－3，6)．
(2)由4＜|3x－2|＜8，得
∴原不等式的解集为∪.
2．解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x.
解：把原不等式变为|x－1|＋|x－2|＞3＋x，
(1)当x≤1时，
原不等式变为－(x－1)－(x－2)＞3＋x，解得x＜0；
(2)当1＜x≤2时，
原不等式变为x－1－(x－2)＞3＋x，解得x∈ ；
(3)当x＞2时，
原不等式变为x－1＋x－2＞3＋x，解得x＞6.
综上，原不等式解集为(－∞，0)∪(6，＋∞).
数轴上的距离问题
[例4] (链接教科书第66页例2)已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2)．
(1)若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值；
(2)若线段PQ的中点到线段PR的中点的距离大于1，求实数m的取值范围．
[解] (1)若P是线段QR的中点，则－8＝，
∴m＝－18；
若Q是线段PR的中点，则m＝＝－3；
若R是线段PQ的中点，则2＝，∴m＝12.
(2)由题意，知>1，
即>1，
∴－1>1或－1<－1，解得m>4或m<0，
∴实数m的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
1．当P(x)中x>0时，点P位于原点右侧，且点P与原点O的距离OP＝x；当P(x)中x<0时，点P位于原点左侧，且点P与原点O的距离OP＝－x.
2．由数轴上的点与实数的对应关系可知，点越靠向右方，对应的实数越大；点对应的实数越大，点越靠向右方．
[跟踪训练]
1．在数轴上，已知A(4)，B(x)，且AB＝5，求x的值及线段AB的中点坐标．
解：由题意，得AB＝|x－4|＝5，∴x＝－1或x＝9.
当x＝－1时，线段AB的中点坐标为＝.
当x＝9时，线段AB的中点坐标为＝.
2．已知数轴上点H是以P(－3)，Q(11)为端点的线段的中点，若MH>5，求点M坐标的取值范围．
解：点H的坐标为＝4，
设M(x)，则|x－4|>5.
∴x－4>5或x－4<－5，
∴x>9或x<－1，
即点M坐标的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
1．不等式1－2x<5－x的负整数解有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B 由1－2x<5－x可得x>－，所以不等式的负整数解有－1，－2，共2个，故选B.
2．不等式组的解集为( )
A．(－3，2) B．(－3，－2)
C．(－∞，2] D．[－3，＋∞)
解析：选A 解不等式x－2<0，得x<2，解不等式3x<4x＋3，得x>－3，则不等式组的解集为(－3，2)，故选A.
3．不等式|2x－1|>1的解集为( )
A．(0，1) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选B 由|2x－1|>1得2x－1>1或2x－1<－1，解得x>1或x<0.故选B.
4．数轴上点M，N，P的坐标分别为3，－1，－5，则MP＋PN等于( )
A．－4 B．4
C．－12 D．12
解析：选D MP＋PN＝|－5－3|＋|－5－(－1)|＝12.
5．已知数轴上不同的两点A，B，若点B的坐标为3，且AB＝5，则线段AB的中点M的坐标为________．
解析：记点A(x1)，B(x2)，则x2＝3.AB＝|x2－x1|＝5，即|3－x1|＝5，解得x1＝－2或x1＝8.当x1＝－2时，M的坐标为＝；当x1＝8时，M的坐标为＝.
答案：或
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2．2.3 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法
新课程标准解读 核心素养
1.会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式 数学运算
2.理解一元二次方程与一元二次不等式的关系 数学运算
城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路以提高车速和通过能力．城市环线和高速公路网的连结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通．城市立交桥已成为现代化城市的重要标志．为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长(单位：m)的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l(单位：m)，当车速为60(单位：km/h)时，车距为1.44个车身长．
[问题] 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？
知识点 一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0.
判断一个不等式是一元二次不等式的关键
(1)只含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数为2；
(3)特别要注意二次项的系数不为0.
2．用因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x10的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
3．用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2 mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式吗？
提示：不一定．当m≠0时，mx2－5x＋2<0是一元二次不等式．
1．不等式x(x－2)>0的解集为________，不等式x(x－2)<0的解集为________．
答案：{x|x<0，或x>2} {x|02．不等式3x2－2x＋1>0的解集是________．
解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.
答案：R
不含参数的一元二次不等式的解法
[例1] (链接教科书第69页例1)解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋5x－2＜0；
(4)－x2＋3x－5＞0.
[解] (1)法一：因为2x2＋7x＋3＝2＝2(x＋3)，
所以2(x＋3)＞0，即x＞－或x＜－3，
所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪.
法二：因为2x2＋7x＋3＝2＋3＝22－，
所以2－＞0，即＞，
所以x＋＞或x＋＜－，
即x＞－或x＜－3，
所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪.
(2)因为－4x2＋18x－＝－4
＝－4，
所以－4≥0，即≤0，x＝.
所以原不等式的解集为.
(3)因为－2x2＋5x－2＝－2＝－2＝－2＋，
所以－2＋＜0，
即＞.
所以x－＞或x－＜－，
解得x＞2或x＜.
所以原不等式的解集为∪(2，＋∞)．
(4)因为－x2＋3x－5＞0，
所以x2－6x＋10＜0，
又因为x2－6x＋10＝(x－3)2＋1＜0无解，
所以原不等式的解集为 .
解不含参数的一元二次不等式的方法
方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集；
方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得；
方法三：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．
[跟踪训练]
1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是( )
A．{x|x<－1} B.
C. D.
解析：选D 因为－2x2＋x＋3＝－(2x2－x－3)＝－(x＋1)(2x－3)，
所以－(x＋1)(2x－3)＜0，即(x＋1)(2x－3)＞0，
所以x＞或x＜－1，
所以不等式的解集为.
2．解不等式：－2解：原不等式等价于不等式组
不等式①可化为x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1.
不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.
故原不等式的解集{x|－2≤x<1，或2含参数的一元二次不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a≠0)．
[解] ①当a＜0时，原不等式化为(x－1)＞0，解得x＜或x＞1.
②当a＞0时，原不等式化为(x－1)＜0.
若a＝1，即＝1时，不等式无解；
若a＞1，即＜1时，解得＜x＜1；
若0＜a＜1，即＞1时，解得1＜x＜.
综上可知，当a＜0时，不等式的解集为；
当0＜a＜1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a＞1时，不等式的解集为.
含参一元二次不等式的解法
[跟踪训练]
解关于x的不等式x2＋x－a(a－1)＞0(a∈R)．
解：因为关于x的不等式x2＋x－a(a－1)＞0，
所以(x＋a)(x＋1－a)＞0，
当－a＞a－1，即a＜时，x＜a－1或x＞－a，
当a－1＞－a，即a＞时，x＜－a或x＞a－1，
当a－1＝－a，即a＝时，x≠－，
所以当a＜时，原不等式的解集为{x|x＜a－1，或x＞－a}，
当a＞时，原不等式的解集为{x|x＜－a，或x＞a－1}，
当a＝时，原不等式的解集为.
两个“二次”间的关系
[例3] (链接教科书第71页习题B组7题)(1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值为( )
A．14 B．－10
C．10 D．－14
[解析] 由已知得，
ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a<0.
所以解得
所以a＋b＝－14.
[答案] D
(2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
[解] 因为x2＋px＋q＜0的解集为，
所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集；
(2)求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向
如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值．
第二步：审条件——挖掘题目信息
利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c；
第三步：建联系——找解题突破口
由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解．
[跟踪训练]
已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．
解：由题意知
即
代入不等式cx2－bx＋a>0，
得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．
即6x2＋5x＋1<0，解得－所以所求不等式的解集为.
分式不等式的解法
[例4] (链接教科书第71页例3)解下列不等式：
(1)≥0；
(2)>1.
[解] (1)原不等式可化为解得
∴原不等式的解集为.
(2)法一：原不等式可化为
或
解得或，∴－3∴原不等式的解集为.
法二：原不等式可化为>0，化简得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3∴原不等式的解集为.
分式不等式的解法
(1)形如>a(a≠0)的分式不等式可同解变形为>0，故可转化为解g(x)[f(x)－ag(x)]>0；
(2)解≥0(≤0)型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取0，而分母不能取0.(f(x)，g(x)为关于x的表达式)
[跟踪训练]
解不等式：(1)≥0；
(2)＞1.
解：(1)≥0 x≤－2或x＞0，
∴不等式的解集为(－∞，－2]∪(0，＋∞)．
(2)原不等式可化为－1＞0，
∴＞0，即＞0，
∴＜0 (x＋2)(3x＋1)＜0，∴－2＜x＜－.
∴不等式的解集为.
1．下列不等式：①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中一定是一元二次不等式的有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选D 根据一元二次不等式的定义知①②一定是一元二次不等式．
2．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( )
A．(－∞，－n)∪(m，＋∞) B．(－n，m)
C．(－∞，－m)∪(n，＋∞) D．(－m，n)
解析：选B 不等式等价于(x－m)(x＋n)<0.∵m＋n>0，∴m>－n.故原不等式的解集是(－n，m)．故选B.
3．不等式>0的解集是( )
A.
B．(4，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(4，＋∞)
D．(－∞，－3)∪
解析：选D >0 (2x－1)(x＋3)>0 x<－3或x>.故选D.
4．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a，c的值分别为________．
解析：由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＋＝－，x1x2＝×＝，解得a＝－6，c＝－1.
答案：－6，－1
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8(共30张PPT)
2．2.4 均值不等式及其应用第二课时 均值不等式的应用
新课程标准解读 核心素养
1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题 数学抽象、逻辑推理
2.会用均值不等式求解实际应用问题 数学建模、数学运算
某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍．
[问题] 怎样设计才能使鸡舍面积最大？
知识点 均值不等式与最值
已知x>0，y>0，则
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
即：当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．
(1)一正：符合均值不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0；
(2)二定：化不等式的一边为定值；
(3)三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立．
x＋的最小值是2吗？
提示：当x>0时，x＋的最小值是2.当x<0时，x＋没有最小值．
1．如果a>0，那么a＋＋2的最小值是________．
解析：因为a>0，所以a＋＋2≥2 ＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝，即a＝1(－1舍)时取等号．
答案：4
2．已知0解析：因为00，所以x(1－x)≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.
答案：
利用均值不等式求最值
[例1] (链接教科书第75页例4)(1)若x>0，则12x＋的最小值为________；
(2)已知x>2，则x＋的最小值为________；
(3)若0[解析] (1)因为x>0，所以12x＋≥2 ＝4，当且仅当12x＝，即x＝时等号成立．
所以12x＋的最小值为4.
(2)因为x>2，所以x－2>0，
所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．
所以x＋的最小值为6.
(3)因为0所以1－2x>0，
所以x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时等号成立，
所以x(1－2x)的最大值为.
[答案] (1)4 (2)6 (3)
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．
(1)拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定积创造条件；
(2)并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用均值不等式，或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值；
(3)配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
[跟踪训练]
(1)已知x>0，求函数y＝的最小值；
(2)已知0解：(1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
故y＝(x>0)的最小值为9.
(2)∵00.
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤＝，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取得最大值.
利用均值不等式求条件最值
[例2] 已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
[解] ∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
常数代换法求最值的方法步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用均值不等式求最值．
[跟踪训练]
已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．
解：＋＝·1＝·(a＋2b)
＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当即时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
利用均值不等式解应用题
[例3] 某印刷品，其排版面积(矩形)为432 cm2，它的左、右都留有4 cm的空白，上、下都留有3 cm的空白．问：排版面积长、宽各设计成多少厘米时，用纸最省？试求出此时纸面的面积．
[解] 如图所示，设排版面积长为x(cm)，宽为y(cm)，则印刷品用纸的长为(x＋8)cm，宽为(y＋6)cm，其面积为S，
则
∴S＝xy＋6x＋8y＋48＝432＋48＋6x＋8y
≥480＋2
＝480＋2＝768(cm2)．
当且仅当6x＝8y时，等号成立，即6x2＝8xy＝8×432，
∴x2＝576，∴x＝24，y＝18，
∴纸面长为x＋8＝32(cm)，纸面宽为y＋6＝24(cm)，这张纸面的面积为768 cm2.
求实际问题中最值的4步骤
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式；
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；
(4)正确写出答案．
[跟踪训练]
某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．
(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数；
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
解：(1)由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时，
则y＝0.5x2·＋800·＝150(0(2)由(1)得y＝150≥300＝12 000，
当且仅当x＝，即x＝40时取等号．
故当货轮的航行速度为40海里/小时，能使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少．
均值不等式的拓广应用
二元均值不等式：设a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等式成立．
证明：因为(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，所以(a＋b)2≥4ab，从而得≥，当且仅当a＝b时等式成立．
三元均值不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立．
证明：设d为正数，由二元均值不等式，
得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立．
令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，
由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立．
[问题探究]
当满足什么条件时，可以利用三元均值不等式求的最小值？
提示：当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用三元均值不等式求的最小值．
[迁移应用]
已知a，b，c均为正实数，求证：(a＋b＋c)·≥9.
证明：∵a，b，c均为正实数，∴a＋b＋c≥3>0，＋＋≥3>0，
∴(a＋b＋c)·≥3·3＝9.
1．设x>0，则3－3x－的最大值是( )
A．3 B．3－2
C．－1 D．3－2
解析：选D ∵x>0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，∴－≤－2，则3－3x－≤3－2，故选D.
2．已知(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于( )
A．1＋ B．2
C．3 D．4
解析：选B ＝＝x＋
＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．6.5 m B．6.8 m
C．7 m D．7.2 m
解析：选C 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.
4．已知正数a，b满足a＋2b＝2，则＋的最小值为________．
解析：＋＝×(a＋2b)
＝
≥(4＋2)＝4.
当且仅当即a＝1，b＝时等号成立，
∴＋的最小值为4.
答案：4
5．设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是________ m3.
解析：设车厢的长为b m，高为a m.
由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝，
∴V＝a··2＝2·.
设a＋1＝t，则V＝2
≤2＝16，
当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立．
答案：16
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8(共25张PPT)
2．2.4 均值不等式及其应用第一课时 均值不等式
新课程标准解读 核心素养
1.掌握均值不等式及推导过程 数学抽象、逻辑推理
2.能熟练运用均值不等式比较两实数的大小 逻辑推理、数学运算
3.能初步运用均值不等式进行证明和求最值 逻辑推理、数学运算
如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．
[问题] 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
知识点 均值不等式
1．算术平均值与几何平均值
给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值．
2．均值不等式
如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
均值不等式的常见变形
①a＋b≥2；
②ab≤≤.
3．重要不等式
对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b时，等号成立．
1．均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？
提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
2．均值不等式成立的条件“a，b>0”能省略吗？请举例说明．
提示：不能，如≥是不成立的．
1．下列结论正确的有________(填序号)．
①对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立；
②若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2；
③若a>0，b>0，则ab≤；
④a，b同号时，＋≥2.
答案：①②③④
2．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为________．
解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y.
答案：x>2y
对均值不等式的理解
[例1] 给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 ＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
[解析] ①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确；
②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，∴＋a≥2 ＝4是错误的；
③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．
[答案] B
1．均值不等式≥(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．
2．对均值不等式的掌握要抓住以下两个方面：
(1)定理成立的条件是a，b都是正数；
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝ a＝b.
[跟踪训练]
下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞1，则x＋≥2 ＝2；
②若x＜0，则x＋＝－≤
－2 ＝－4；
③若a，b∈R，则＋≥2 ＝2.
解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝时，即当x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．
答案：②
利用均值不等式比较大小
[例2] (1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋≥2
C.≥2 D.≥
(2)已知a，b，c是两两不相等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
[解析] (1)由≥得a＋b≥2，∴A成立；
∵＋≥2＝2，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立．
(2)∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.∴p＞q.
[答案] (1)D (2)p＞q
1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
[跟踪训练]
如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
解析：选B 显然＞，又因为＜，
所以＞＞.故M＞P＞Q.
利用均值不等式证明不等式
[例3] (链接教科书第75页例6)已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.
[证明] 因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已知不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
(2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否同时成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，构成均值不等式模型再使用．
[跟踪训练]
已知a，b都是正实数，且ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9.
证明：因为a，b都是正实数，且ab＝2，
所以2a＋b≥2＝4，
所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab＝5＋2a＋b≥5＋4＝9.
即(1＋2a)(1＋b)≥9.
1．对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是( )
A.≥ B．a＋≥2
C.＋≥2 D.＋≥2
解析：选D A选项，当a＜0，且b＜0时不成立；B选项，当a＜0时不成立；C选项，当a与b异号时不成立．故选D.
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0<<1
C.< D．ab>a＋b
解析：选C ∵a>b>0，由均值不等式知<一定成立．
3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
解析：选C 由均值不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
4．已知x＞0，则y＝x＋＋2的最小值是________．
解析：∵x＞0，＞0，∴y≥2＋2，当且仅当x＝，即x＝时等号成立．
答案：2＋2
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