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3.1.2　函数的单调性第二课时　函数的最值、平均变化率
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．
[问题]　(1)在区间[6，17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝一定大于零吗？
(2)如果在区间[12，24]对应的曲线上任取不同两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，＝一定大于零吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　函数的最值
1．函数的最大值和最小值
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：
(1)如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)max＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；
(2)如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作f(x)min＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．
对函数最值的几点说明
(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值；
(2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略；
(3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个；
(4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图像上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图像上最低点的纵坐标．　　　　
2．最值和最值点
最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．
如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M，那么M一定是函数f(x)的最大值吗？
提示：不一定．如函数f(x)＝－x2≤1恒成立，但是1不是函数的最大值．
1.函数y＝f(x)在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________，________．
答案：－1　2
2．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．
解析：函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，
又因为x∈N*，所以当x＝1时，ymin＝2×12＋2＝4.
答案：4
知识点二　函数的平均变化率
1．直线的斜率
(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．
(2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．
2．平均变化率与函数单调性
若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：
(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是>在I上恒成立；
(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是<在I上恒成立．
当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．
对函数平均变化率的几点说明
(1)函数f(x)应在x1，x2处有定义；
(2)x2在x1附近，Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；
(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；
(4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2，2]上的图像先下降后上升，值域是[0，4]；
(5)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”．只有当Δx＝x2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”．　　　　
1．函数的平均变化率是固定不变的吗？
提示：不一定．当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．比如，f(x)＝x2在区间[0，2]和[2，4]上都有Δx＝2，但Δy分别为4－0＝4和16－4＝12.
事实上，根据下面将要学均变化率的几何意义可知，曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等，即一般情况下函数的平均变化率是不相同的．
2．如果＝0在I上恒成立，那么函数f(x)有什么特点？
提示：函数f(x)是常数函数．
1．如果过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，那么m的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：选A　由题意得＝1，解得m＝1.
2．已知f(x)＝3x2＋5，则自变量x从0.1到0.2的平均变化率为(　　)
A．0.3 B．0.9
C．0.6 D．1.2
解析：选B　Δy＝f(0.2)－f(0.1)＝0.12＋5－0.03－5＝0.09，可得平均变化率＝＝0.9.
3．如图是函数y＝f(x)的图像．
(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
解析：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝.
(2)由函数f(x)的图像知，f(x)＝所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.
答案：(1)　(2)
平均变化率
角度一　直线的斜率公式及应用
[例1]　(1)已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)．当m为何值时，直线l的斜率是1
(2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．
[解]　(1)因为直线l的斜率是1，
所以＝1，即＝1，解得m＝.
(2)∵A，B，C三点共线，且3≠－2，
∴BC，AB的斜率都存在，且kAB＝kBC.
又∵kAB＝＝，kBC＝＝，
∴＝，解得a＝2或a＝.
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．　　　　
角度二　平均变化率的计算
[例2]　一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．
[解]　设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为：
ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，所以平均膨胀率＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.
求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是：
　　　　
[跟踪训练]
路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率．
解：(1)如图所示，设人从C点运动到B点的距离为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则＝，即＝，所以y＝0.25x.
(2)84 m/min＝1.4 m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0.25×1.4t＝0.35t，所以10 s内平均变化率＝＝0.35(m/s)，
即此人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0.35 m/s.
利用平均变化率证明函数的单调性
[例3]　若函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)＞0，求证：g(x)＝在I上为减函数．
[证明]　任取x1，x2∈I且x2＞x1，
则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)，
∵函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数，
∴Δy＞0，＞0，
∴Δg＝g(x2)－g(x1)＝－＝.
又∵f(x)＞0，∴f(x1)f(x2)＞0且f(x1)－f(x2)＜0，
∴Δg＜0，∴＜0，故g(x)＝在I上为减函数．
1．y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是＞0在I上恒成立；
2．y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立．　　　　
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝1－，x∈[3，5]，判断函数f(x)的单调性，并证明．
解：由于y＝x＋2在[3，5]上是增函数，且恒大于零，因此，f(x)＝1－在[3，5]上为增函数．
证明过程如下：
任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，
则Δy＝f(x2)－f(x1)＝1－－＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，
∴Δy＞0，∴＞0，故函数f(x)在[3，5]上是增函数．
求函数的最值
角度一　图像法求函数的最值
[例4]　已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值和最小值．
[解]　作出f(x)的图像如图．由图像可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；
当x＝时，f(x)取最小值为－.
所以f(x)的最大值为2，最小值为－.
用图像法求最值的3个步骤
　　　　
角度二　利用单调性求函数的最值
[例5]　已知函数f(x)＝x＋.
(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；
(2)求f(x)在[2，4]上的最值．
[解]　(1)证明：设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1≠x2，则
＝＝＝1－.
由x1，x2∈(1，＋∞)知x1x2＞1，＜1，1－＞0，
∴＞0，故f(x)在(1，＋∞)内是增函数．
(2)由(1)可知f(x)在[2，4]上是增函数，
∴当x∈[2，4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．
又f(2)＝2＋＝，f(4)＝4＋＝，
∴f(x)在[2，4]上的最大值为，最小值为.
函数的最值与单调性的关系
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)；
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)；
(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．　　　　
[跟踪训练]
1．如图为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图像，则它的最大值、最小值分别为________，________．
解析：观察函数图像可以知道，图像上位置最高的点是(3，3)，最低的点是(－1.5，－2)，
所以当x＝3时，函数y＝f(x)取得最大值，即ymax＝3；当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取得最小值，即ymin＝－2.
答案：3　－2
2．二次函数f(x)＝x2－2x＋3在[0，m]上有最大值3，最小值1，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意可知f(x)的对称轴为x＝2，因为f(x)＝x2－2x＋3在[0，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．则当04时，最大值必大于f(4)＝3，此时条件不成立．综上可知，实数m的取值范围是[2，4]．
答案：[2，4]
3．已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
解：设x1，x2∈[2，6]且x1≠x2，则
＝＝
＝.
由x1，x2∈[2，6]知x1－1＞1，x2－1＞1，＜0，＜0.
故函数f(x)＝是区间[2，6]上的减函数．
因此，函数f(x)＝在区间[2，6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，
即在x＝2时取得最大值，最大值是2；在x＝6时取得最小值，最小值是.
1．设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值．其中正确说法的个数为(　　)
A．0　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选C　由函数最大值的概念知②③正确．
2.函数f(x)在[－2，＋∞)上的图像如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为(　　)
A．3，0 B．3，1
C．3，无最小值 D．3，－2
解析：选C　观察题中图像可知，图像的最高点坐标是(0，3)，从而其最大值是3；图像无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　)
A．4 B．4Δx
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析：选C　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2－4)＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝2Δx＋4，故选C.
4．已知函数f(x)＝，其定义域是[－8，－4)，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)有最大值，无最小值
B．f(x)有最大值，最小值
C．f(x)有最大值，无最小值
D．f(x)有最大值2，最小值
解析：选A　因为函数f(x)＝＝＝2＋，由函数的图像(图略)可知f(x)在[－8，－4)上单调递减，则f(x)在x＝－8处取得最大值，最大值为，x＝－4取不到函数值，即最小值取不到．故选A.
5．汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别是v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．
解析：∵v1＝＝kOA，v2＝＝kAB，v3＝＝kBC，由图得kOA∴v1答案：v1PAGE
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3.1.2　函数的单调性函数的单调性
新课程标准解读 核心素养
借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解函数的平均变化率，理解它们的作用和实际意义 数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算
第一课时　单调性的定义与证明
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：
时间间隔t 刚记忆完毕 20分钟后 60分钟后 8～9小时后 1天后 2天后 6天后 一个月后
记忆量y(百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．
[问题]　(1)当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　增函数、减函数的概念
1．增函数、减函数的定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I D：
(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)，如图②所示．
1．单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此对x1，x2有下列要求：(1)属于同一个区间I；(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间I上的任意两个值，不能用特殊值代替；(3)区分大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x12．并非所有的函数都具有单调性．如函数f(x)＝它的定义域为R，但不具有单调性．　　　　
2．函数的单调区间
在上述两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．
1．函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性．
2．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能认为y＝(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．　　　　
1. 在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？
提示：不能．
2．函数y＝在定义域上是减函数吗？
提示：y＝在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)．
1．下列命题中真命题的个数为(　　)
①定义在(a，b)上的函数f(x)，如果 x1，x2∈(a，b)，当x1②如果函数f(x)在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数；
③ x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当<0时，f(x)在(a，b)上单调递减；
④ x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0时，f(x)在(a，b)上单调递增；
⑤ x1，x2∈(a，b)，且x1A．1　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选C　①是假命题，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
由f(x)＝，可知②是假命题；
∵<0等价于[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0，而此式又等价于或即或∴f(x)在(a，b)上单调递减，③是真命题，同理可得④也是真命题．
若要说明函数f(x)在某个区间上不是单调递增(减)的，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x12．函数y＝f(x)的图像如图所示，其增区间是________．
答案：[－3，1]
3．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1①f(x)＝x2; ②f(x)＝；
③f(x)＝|x|; ④f(x)＝2x＋1.
答案：②
4．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________．
答案：(－∞，－1]
5．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则k的取值范围为________．
答案：
利用定义判断或证明函数的单调性
[例1]　(链接教科书第97页例1)求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
[证明]　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1∵x1∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝eq \f(（x2－x1）（x2＋x1）,xx).
∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
利用定义证明函数单调性的4个步骤
　　　　
[跟踪训练]
(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　)
A．y＝|x|＋1　　　　　 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x＋
解析：选CD　y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C、D.
求函数的单调区间
[例2]　求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数：
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
[解]　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0]，(0，1]，(1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，(0，1]上是增函数，在(－1，0]，(1，＋∞)上是减函数．
求函数单调区间的方法
(1)利用已知函数的单调性求函数的单调区间；
(2)利用函数图像求函数的单调区间．
[注意]　理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系．　　　　
[跟踪训练]
1．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图像，则函数f(x)的单调递增区间是________．
解析：由图像知单调递增区间为[－1.5，3]和[5，6]．
答案：[－1.5，3]和[5，6]
2．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
解：先画出f(x)＝
的图像，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1，3]；单调增区间为[－1，1]，[3，＋∞).
函数单调性的应用
[例3]　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
[解析]　(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的图像开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4，
∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
[答案]　(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1)
[母题探究]
1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．
解：由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．
解：由题意可知，解得x>.
∴x的取值范围为.
1．利用函数的单调性解不等式的方法
利用函数的单调性解不等式，实质上是单调性的逆用，即由函数值的大小得到自变量的大小．若f(x)为增函数，则当f(x1)f(x2)时x1>x2.若f(x)为减函数，则当f(x1)x2，当f(x1)>f(x2)时x12．利用函数单调性求参数取值范围的两种思路
(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图像或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解．
需注意若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．　　　　
[跟踪训练]
若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)解析：依题意，得不等式组解得答案：
复合函数y＝f(g(x))的单调性
[典例]　已知函数f(x)＝，x∈[2，6]．
(1)试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性；
(2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤．
提示：(1)函数f(x)＝可分解为函数y＝和函数u＝x－1.
因此x∈[2，6]，所以u∈[1，5]，显然函数u＝x－1在x∈[2，6]上单调递增，函数y＝在u∈[1，5]上单调递减，由复合函数的单调性，知f(x)＝在x∈[2，6]上单调递减．
(2)解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性．
[结论]　复合函数的单调性：一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，单调性如表所示，简记为“同增异减”.
g(x) f(x) f(g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
[迁移应用]
求函数f(x)＝的单调区间．
解：由题意可知8－2x－x2≥0，解得－4≤x≤2，
∴函数f(x)的定义域为[－4，2]．
设y＝，u＝8－2x－x2.
二次函数u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．
∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，单调递减区间是(－1，2]．
1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图像，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1，4]上单调递增
C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D．函数在区间[－5，5]上没有单调性
解析：选ABD　若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，则不能用“∪”连接，故C错误．易知A、B、D均正确．
2．下列函数中，在R上是增函数的是(　　)
A．y＝|x|　 B．y＝x　 　
C．y＝x2　 D．y＝
解析：选B　对于A，y＝|x|，当x<0时，函数为减函数，故错误；对于C，y＝x2，当x<0时，函数为减函数，故错误；对于D，函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，故错误．故选B.
3．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－24，40) B．[－24，40]
C．(－∞，－24] D．[40，＋∞)
解析：选D　∵函数f(x)＝4x2－kx－8的对称轴方程为x＝，且函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，
∴根据二次函数的性质可知≥5，解得k≥40.
故k的取值范围为[40，＋∞)，故选D.
4．若函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析：选C　因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，解得m>3.故选C.
5．函数y＝－(x－3)|x|的单调递增区间为________．
解析：y＝－(x－3)|x|＝
作出其图像如图，观察图像知单调递增区间为.
答案：
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