资源简介

2021-2022学年浙江省台州市仙居县两校联考九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（各题所给的答案中，有且只有一个正确，请在答题卷上填涂正确答案所对应的字母，每小题4分，满分40分）．
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．方程x2＝3x的解为（　　）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
3．平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法判断
4．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞1且k≠0 D．k＜1且k≠0
5．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是（　　）
A．80° B．100° C．120° D．130°
6．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝（x﹣5）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣6
C．y＝（x﹣5）2﹣10 D．y＝（x+1）2﹣5
7．⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD距离为（　　）
A．7 B．8 C．7或1 D．1
8．某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣）2+3 B．y＝﹣3（x+）2+3
C．y＝﹣12（x﹣）2+3 D．y＝﹣12（x+）2+3
9．把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F，则线段AD1的长为（　　）
A．5cm B．5cm C．17cm D．cm
10．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为3，那么m的值是（　　）
A．2或﹣4 B．﹣2或4 C．﹣或2 D．或﹣2
二、填空题（每小题5分，满分30分）.
11．已知﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则另一个根是 　 　．
12．有x支球队参加篮球比赛，共比赛21场，每两个队之间只比赛一场，则关于x的方程是 　 　．
13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过C作⊙O的切线，切点为B，连接AC交⊙O于点D，∠C＝42°．点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则∠AED的度数为 　 　．
14．若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（，y3）都在抛物线y＝﹣ax2+4ax+a2+1（a＞0）上，则y1，y2，y3大小关系是（用＜号连接） 　 　．
15．已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，在平面内将△ABC绕B点旋转，点A落到A′，点C落到C′，若旋转后点C的对应点C′落直线AB上，那么AA′的长为 　 　．
16．如图，用三个边长为2的正方形组成一个轴对称图形，则能将三个正方形完全覆盖的圆的最小半径是 　 　．
三、解答题（第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题12分，第24题14分，满分0分）.
17．解下列方程：
（1）x2+4x+3＝0；
（2）3x2﹣x﹣1＝0．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1）、B（﹣3，3）、C（﹣4，1）
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按顺时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
19．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0）、B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标．
20．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，CD＝4，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）求PD的长．
21．如图，小球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.6m．
（1）写出小球滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式．（提示：本题中，距离＝平均速度×时间t，＝，其中，v0是开始时的速度，vt是t秒时的速度．）
（2）如果斜面的长是4m，小球从斜面顶端滚到底端用多长时间？
22．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径长．
23．某超市准备销售一种儿童玩具，进货价格为每件40元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该儿童玩具每件的利润不允许高于进货价的60%．设销售这种儿童玩具每月的总利润为w（元），那么每件售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
24．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的矩形CEFD拼在一起，构成一个大的矩形ABEF．现将小矩形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，旋转角α＝　 　°；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′＝DE′；
（3）小矩形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值，若不能，说明理由．
参考答案
一、选择题：（各题所给的答案中，有且只有一个正确，请在答题卷上填涂正确答案所对应的字母，每小题4分，满分40分）．
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A．是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．方程x2＝3x的解为（　　）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
【分析】因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝0或x＝3，
故选：D．
3．平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法判断
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：C．
4．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞1且k≠0 D．k＜1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选：D．
5．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是（　　）
A．80° B．100° C．120° D．130°
【分析】设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得∠E的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可得到∠ACB的度数．
解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB，
∵∠AOB＝100°，
∴∠E＝∠AOB＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠E＝130°．
故选：D．
6．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝（x﹣5）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣6
C．y＝（x﹣5）2﹣10 D．y＝（x+1）2﹣5
【分析】先将抛物线解析式整理成顶点式形式，然后求出顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后写出顶点式二次函数解析式即可．
解：∵y＝x2﹣4x﹣4，
＝x2﹣4x+4﹣4﹣4，
＝（x﹣2）2﹣8，
∴原抛物线顶点坐标为（2，﹣8），
∵向右平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（5，﹣6），
∴所得抛物线解析式为y＝（x﹣5）2﹣6．
故选：A．
7．⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD距离为（　　）
A．7 B．8 C．7或1 D．1
【分析】过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，由AB∥CD，得到OF⊥CD，根据垂径定理得AE＝3，CF＝4，再在Rt△OAE中和在Rt△OCF中分别利用勾股定理求出OE，OF，然后讨论：当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE+OF；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE﹣OF．
解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE，CF＝DF，
而AB＝6，CD＝8，
∴AE＝3，CF＝4，
在Rt△OAE中，OA＝5，OE＝＝＝4；
在Rt△OCF中，OC＝5，OF＝＝＝3；
当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE+OF＝7；
当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE﹣OF＝1；
所以AB与CD之间的距离为7或1．
故选：C．
8．某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣）2+3 B．y＝﹣3（x+）2+3
C．y＝﹣12（x﹣）2+3 D．y＝﹣12（x+）2+3
【分析】待定系数法求解可得．
解：根据题意设函数解析式为y＝a（x﹣）2+3，
将点（0，0）代入，得：a+3＝0，
解得：a＝﹣12，
∴函数解析式为y＝﹣12（x﹣）2+3，
故选：C．
9．把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F，则线段AD1的长为（　　）
A．5cm B．5cm C．17cm D．cm
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AO＝CO＝AB，再求出OD1，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解：∵旋转角为15°，
∴∠OCB＝60°﹣15°＝45°，
∴∠COB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴CD1⊥AB，
∴AO＝CO＝AB＝×6＝3（cm），
∴OD1＝DC﹣CO＝8﹣3＝5（cm），
在Rt△AD1O中，由勾股定理得，AD1＝＝＝2（cm）；
故选：D．
10．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为3，那么m的值是（　　）
A．2或﹣4 B．﹣2或4 C．﹣或2 D．或﹣2
【分析】表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
①当≤﹣2，即m≤﹣4时，当x＝﹣2时，函数最大值为3，
∴﹣4﹣2m＝3，
解得：m＝﹣3.5（舍去）；
②当≥1，即m≥2时，当x＝1时，函数最大值为3，
∴﹣1+m＝3，
解得：m＝4．
③当﹣2＜＜1，即﹣4＜m＜2时，当x＝时，函数最大值为3，
∴﹣+＝3，
解得m＝2（舍去）或m＝﹣2，
综上所述，m＝4或m＝﹣2，
故选：B．
二、填空题（每小题5分，满分30分）.
11．已知﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则另一个根是 　3　．
【分析】由方程的系数，利用根与系数的关系可得出两根之积为﹣3，再结合方程的一根为﹣1，即可求出方程的另一个根．
解：∵a＝1，c＝﹣3，
∴方程的两根之积为＝＝﹣3，
∵方程的一个根为﹣1，
∴方程的另一个根为（﹣3）÷（﹣1）＝3．
故答案为：3．
12．有x支球队参加篮球比赛，共比赛21场，每两个队之间只比赛一场，则关于x的方程是 　x（x﹣1）＝21　．
【分析】设有x支球队参加篮球比赛，由于每两队之间都比赛一场，则此次比赛的总场数为：x（x﹣1）场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝21场，依此等量关系列出方程即可．
解：设有x支球队参加篮球比赛，则此次比赛的总场数为x（x﹣1）场，
根据题意列出方程得：x（x﹣1）＝21，
故答案为：x（x﹣1）＝21．
13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过C作⊙O的切线，切点为B，连接AC交⊙O于点D，∠C＝42°．点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则∠AED的度数为 　42°　．
【分析】首先连接BD，由AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，根据圆周角定理与切线的性质，可得∠ADB＝90°，AB⊥BC，又由同角的余角相等，易证得∠AED＝∠ABD＝∠C．
解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ADB＝90°，AB⊥BC，
∴∠C+∠BAC＝∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠AED＝∠ABD，
∴∠AED＝∠C＝42°．
故答案为：42°．
14．若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（，y3）都在抛物线y＝﹣ax2+4ax+a2+1（a＞0）上，则y1，y2，y3大小关系是（用＜号连接） 　y1＜y3＜y2　．
【分析】先求得开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得到结论．
解：∵y＝﹣ax2+4ax+a2+1（a＞0），
∴开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝2，
∴P（，y3）关于对称轴的对称点（，y3），
∵﹣1＜＜1＜2，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
15．已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，在平面内将△ABC绕B点旋转，点A落到A′，点C落到C′，若旋转后点C的对应点C′落直线AB上，那么AA′的长为 　4或6　．
【分析】分两种情况：①当C′点在线段AB上，②当C′点在线段AB的延长线上，由勾股定理可求出答案．
解：①当C′点在线段AB上，如图1，连接AA′，
∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝13，
∵在平面内将△ABC绕B点旋转，点A落到A′，点C落到C′，
∴BC′＝BC＝5，A′C′＝AC＝12，
∴AC′＝AB﹣BC′＝8，
∴AA'＝＝＝4；
②当C′点在线段AB的延长线上，如图2，连接AA′，
∵在平面内将△ABC绕B点旋转，点A落到A′，点C落到C′，
∴BC′＝BC＝5，A′C′＝AC＝12，
∴AC′＝AB+BC′＝18，
∴AA'＝＝＝6．
综合以上可得AA′的长为4或6．
故答案为：4或6．
16．如图，用三个边长为2的正方形组成一个轴对称图形，则能将三个正方形完全覆盖的圆的最小半径是 　　．
【分析】连接OC，OD，延长BO交上面的正方形与点A，设定圆心与上面正方形的距离为x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．
解：如图，连接OC，OD，延长BO交上面的正方形与点A，设定圆心与上面正方形的距离为x，
则BO＝2﹣x，BC＝2，AD＝1，AO＝2+x，
由勾股定理得：BC2+BO2＝AD2+AO2，即22+（2﹣x）2＝（2+x）2+12，
解得：x＝，
所以能将其完全覆盖的圆的最小半径R2＝2+（2﹣x）2，
解得：R＝．
故答案为：．
三、解答题（第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题12分，第24题14分，满分0分）.
17．解下列方程：
（1）x2+4x+3＝0；
（2）3x2﹣x﹣1＝0．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）利用公式法求解即可．
解：（1）∵x2+4x+3＝0，
∴（x+1）（x+3）＝0，
则x+1＝0或x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣3；
（2）∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1）、B（﹣3，3）、C（﹣4，1）
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按顺时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）分别作出点B，C绕点A按顺时针旋转90°后所得对应点，再首尾顺次连接可得．
解：（1）如图（1）所示，△A1B1C1即为所求，其中B1的坐标为（3，3）．
（2）如图（2）所示，△AB2C2即为所求，C2的坐标为（1，2）．
19．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0）、B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标．
【分析】（1）将A（2，0）、B（0，﹣1）和C（4，5）三点代入二次函数y＝ax2+bx+c即可；
（2）令y＝0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出坐标．
解：（1）将A（2，0）、B（0，﹣1）和C（4，5）三点代入二次函数y＝ax2+bx+c得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝；
（2）当y＝0时，
＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，0）．
20．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，CD＝4，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）求PD的长．
【分析】（1）首先连接OA，由∠B＝60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA＝OC，即可求得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP＝AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO＝90°，则可证得AP是⊙O的切线；
（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC＝90°，然后利用直角三角形的性质与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长．
【解答】（1）证明：连接OA．∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠ACP＝∠CAO＝30°，
∴∠AOP＝∠ACO+∠CAO＝30°+30°＝60°，
∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝90°，
∴OA⊥AP，
又∵OA是半径
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：连接AD．
∵直径CD＝4，
∴AO＝OD＝，
∵∠PAO＝90°，∠P＝30°，
∴PO＝2AO＝，
∴PD＝OP﹣OD＝﹣＝．
21．如图，小球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.6m．
（1）写出小球滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式．（提示：本题中，距离＝平均速度×时间t，＝，其中，v0是开始时的速度，vt是t秒时的速度．）
（2）如果斜面的长是4m，小球从斜面顶端滚到底端用多长时间？
【分析】（1）根据题意求得vt＝1.6t，然后由“距离＝平均速度v×时间t”列出关系式；
（2）把s＝4代入（1）中的函数关系式即可求得相应的t的值．
【解答】（1）由已知得vt＝0+1.6t＝1.6t，
∴v＝＝t，
∴s＝vt＝ t＝t t＝t2，即s＝t2；
（2）把s＝4代入s＝t2中，得 t2＝4，
解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）．
答：小球从斜面顶端滾到底端用s．
22．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径长．
【分析】由切线长定理和AB∥CD可证明∠BOC＝90°，在Rt△BOC中由勾股定理可求得BC，连接OF，利用等积法可求得OF的长，即为半径．
解：（1）∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴OB＝6cm，OC＝8cm，
∴BC＝＝10（cm）；
（2）连接OF，如图，
∵BC是⊙O的切线，
∴OF⊥BC，
∴S△BOC＝OB OC＝OF BC，
∴6×8＝10×OF，解得OF＝cm，
即⊙O的半径为cm．
23．某超市准备销售一种儿童玩具，进货价格为每件40元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该儿童玩具每件的利润不允许高于进货价的60%．设销售这种儿童玩具每月的总利润为w（元），那么每件售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得y与x的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，然后根据该玩具每件的售价不低于进货价且每件利润不允许高于进货价的60%，可以得到x的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得到每件售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
解：（1）由图象可知每月销售y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（50，600），（70，400）代入，得：
，
解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1100；
（2）由题意得：
w＝y（x﹣40）＝（﹣10x+1100）（x﹣40）
＝﹣10x2+1500x﹣44000
＝﹣10（x﹣75）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当x≤75时，w随x的增大而增大，
∵该玩具每件的售价不低于进货价且每件利润不允许高于进货价的60%，
∴40≤x≤40（1+60%），
解得40≤x≤64，
∴当x＝64时，w取得最大值，此时w＝11040，
答：每件售价定为64元可获得最大利润，最大利润是11040元．
24．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的矩形CEFD拼在一起，构成一个大的矩形ABEF．现将小矩形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，旋转角α＝　30　°；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′＝DE′；
（3）小矩形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值，若不能，说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质得CD′＝CD＝2，在Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，则∠CD′E＝30°，然后根据平行线的性质即可得到∠α＝30°；
（2）由G为BC中点可得CG＝CE，根据旋转的性质得∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′，则∠GCD′＝∠DCE′＝90°+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD，则GD′＝E′D；
（3）根据正方形的性质得CB＝CD，而CD＝CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α＝135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α＝315°．
【解答】（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CD′＝CD＝2，
在Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，
∴∠CD′E＝30°，
∵CD∥EF，
∴α＝30°；
故答案为：30；
（2）证明：∵G为BC中点，
∴CG＝1，
∴CG＝CE，
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′＝CG，
∴∠GCD′＝∠DCE′＝90°+α，
在△GCD′和△E′CD中，
，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′＝E′D；
（3）解：能．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，
∵CD＝CD′，
∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，
当∠BCD′＝∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，
当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α＝＝135°，
当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′＝∠DCD′＝∠BCD＝45°
则α＝360°﹣45°＝315°，
即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．

展开更多......

收起↑