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2022年全国普通高等学校招生统一考试数学模拟试题（新高考）
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1.已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2.设，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)
A． B．
C．2π D．4π
4.若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－，则sin＋cos＝(　　)
A.　　 B．－　　
C．　　 D．－
5.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线，交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
6.已知单位向量a，b，满足，且a，b的夹角为，则的值为（ ）
A． B． C．－ D．
7.函数在＝处导数存在．若：＝0；：＝是的极值点，则(　　)
A．是的充分必要条件
B．是的充分条件，但不是的必要条件
C．是的必要条件，但不是的充分条件
D．既不是的充分条件，也不是的必要条件
8.已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(2,1)，则椭圆M的方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本，得到频率分布表如下(　　)
组号 分组 频数 频率
第一组 [230，235) 8 0.16
第二组 [235，240) ① 0.24
第三组 [240，245) 15 ②
第四组 [245，250) 10 0.20
第五组 [250，255) 5 0.10
合计 50 1.00
A．表中①位置的数据是12
B．表中②位置的数据是0.3
C．在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，则第三组抽取2人
D．在第三、四、五组中用分层抽样法抽取的6名学生中录取2名学生，则2人中至少有1名是第四组的概率为0.5
10.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点。现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是(　　)
　
A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH
C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF
11. 已知a＞0，b＞0，且a-b=1，则（ ）
A.ea-eb＞1 B. ae-be＜1
C. D.2log2a-log2b≥2
12. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，，点满足，其中λ∈[01]，μ∈[01]，则（ ）
A. 当λ=1时，的周长为定值
B. 当μ=1时，三棱锥的体积为定值
C. 当λ=时，有且仅有一个点，使得
D. 当μ=时，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在体重的横线上.
13.函数f(x)＝－3x2＋6x在区间[a，b]上的值域是[－9,3]，则b－a可取的一个是________.（答案不唯一）
14.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2（n∈N+），则S9＝　 　．
15. 若tanα，tanβ是方程x2﹣2x﹣4＝0的两根，则|tan（α﹣β）|＝ ．
16.如图，在三棱锥-中，⊥底面，D是PC的中点．已知∠＝，AB＝2，＝2，PA＝2，则三棱锥-的体积为_________；异面直线BC与AD所成角的余弦值为_____________．
四、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求an；
（2）定义[x]为取整数x的个位数，如[1]=1, [32]=2, [143]=3,，求[a1]+ [a2]+ [a3]+…+[a100]的值．
18. （12分）2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如表所示：
（表一）
了解情况 Y N
人数 140 60
（表二）
男 女 合计
Y 80
N 40
合计
（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表（表二），并判断是否有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P1，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P2，试求出P1与P2，并比较P1与P2的大小．
附：临界值参考表的参考公式
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（χ2＝，其中n＝a+b+c+d）
19. （12分）在①函数y＝f (x)的图象关于直线x＝对称，②函数y＝f (x)的图象关于点P（，0）对称，③函数y＝f (x)的图象经过点Q（，－1）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数f（x）＝sinωxcosφ+cosωxsinφ（ω＞0，|φ|＜）最小正周期为π，且____，判断函数f（x）在（，）上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x值；若不存在，说明理由
20.在如图所示的三棱柱中，侧楞与底面垂直，=2，为等腰直角三角形，==4，、分别为，的中点，
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
21.（12分）已知点，，动点满足．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设点为轨迹上异于原点的两点，且．
①若为常数，求证：直线过定点；
②求轨迹上任意一点到①中的点距离的最小值．
22.（12分）已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2(e是自然对数的底数)．
(1)讨论函数f(x)的极值点的个数，并说明理由；
(2)若对任意的x>0，f(x)＋ex≥x3＋x，求实数a的取值范围．2022年全国普通高等学校招生统一考试数学模拟试题答案详解（新高考）
参考答案解析
1.B 解析：由题意得，圆 与直线 相交于两点(1,1)，(-1,-1)，则中有两个元素，故选B项．
2.C 解析：由题意,得.故选C项.
3.B解析：由题意知，该几何体是以为底面半径，为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝2×π×()2×＝.
4.C解析：由题意，tan θ＝＝－，θ∈(0，π)，故sin θ>0，cos θ<0.
又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin θ＝，cos θ＝－.
因此，sin＋cos＝－cos θ＋sin θ＝.
5.C解析:过P1作P1M⊥准线l，垂足为M，过P2作P2N⊥准线l，垂足为N，由抛物线定义知|P1F|＝|P1M|＝y1＋1，|P2F|＝|P2N|＝y2＋1，所以|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝y1＋y2＋2＝8。故选C项.
6.D 解析：∵a，b是单位向量，且，∴，解得，
∴，由，得，又，∴，
∴.故选D项．
7.C解析：当＝0时，＝不一定是的极值点，比如，在＝0时，＝0，但在＝0的左右两侧的符号相同，因而＝0不是的极值点．由极值的定义知，＝是的极值点必有＝0.综上知，是的必要条件，但不是充分条件．
8.D解析：直线AB的斜率k＝＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程可得，＋＝1，＋＝1，两式相减，整理得－＝0，又c＝3，a2＝b2＋c2.联立解得a2＝18，b2＝9.所以椭圆M的方程为＋＝1，故选D项.
9.AB解析：①位置的数据为50－(8＋15＋10＋5)＝12，A正确；②位置的数据为＝0.3，B项正确；由分层随机抽样得，第三、四、五组参加考核的人数分别为3，2，1，C项错误；设上述6人为a，b，c，d，e，f(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情况为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种．记“2人中到少有1名是第四组的”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数为9.所以P(A)＝＝，故2人中至少有1名是第四组的概率为，D项错误．故选AB项.
BC解析:由题意可得，AH⊥HE，AH⊥HF。所以AH⊥平面EFH，而AG与平面EFH不垂直,所以B项正确，A项错误;又HF⊥HE，所以HF⊥平面AHE，C项正确。HG与AG不垂直，因此HG⊥平面AEF错误，D项错误.故选BC项.
11. ACD 解析: 由a＞0，b＞0，且a-b=1，得，则，，∴＞1，又，∴（e-1）＞1，即ea-eb＞1，故A项正确；令，则，故B项错误；
，当且仅当时等号成立，故C项正确；
，当且仅当，即时等号成立，故D项正确.故选ACD项．
12.BD 解析:由题易知，点在矩形内部（含边界）．
当时，，即此时线段，周长不是定值，故A项错误；
当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B项正确；
当时，，取，中点分别为，，则，所以P点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C项错误；
当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D项正确．故选BD项．
13.3解析：f(x)＝－3x2＋6x＝－3(x－1)2＋3，顶点坐标为(1,3)，因为函数的值域是[－9,3]，令－3x2＋6x＝－9，可得x＝－1或x＝3.又因为函数f(x)＝－3x2＋6x图象的对称轴为x＝1，且f(1)＝3，所以b－a的取值范围为[2,4]，不妨可取3.
14. 1022 解析: Sn＝2an﹣2（n∈N+），当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，所以a1＝2，当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2（n∈N+），两式相减可得an＝2an﹣2an﹣1，整理得an＝2an﹣1，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以S9＝＝1022．故答案为：1022．
15. 解析：因为tanα，tanβ是方程x2﹣2x﹣4＝0的两根，所以tanα+tanβ＝2，tanα tanβ＝﹣4，解得 tanα＝1+，tanβ＝1﹣；或tanα＝1﹣，tanβ＝1+；所以tan（α﹣β）＝＝±，所以|tan（α﹣β）|＝．
16. 解析：＝×2×2＝2，故三棱锥-的体积为＝··＝×2×2＝.如图，取的中点，连接，，则∥，所以∠(或其补角)是异面直线与所成的角．在中，＝2，＝，＝2，则＝＝＝,即异面直线与所成角的余弦值为.
17.解：（1）
因为{an}是等比数列，，所以；
（2）[a1]=1，[a2]=2，[a3]=4，[a4]=8，[a5]=6，[a6]=2，[a7]=4，[a8]=8，[a9]=6，[a10]=2，…，
易知，从第二项起，是周期为4的数列，
所以S100=1+24（2+4+8+6）+2+4+8=495．
18. 解：（1）根据题意填写列联表，如下：
男 女 合计
Y 80 60 140
N 20 40 60
合计 100 100 200
根据表中数据，计算χ2＝＝≈9.524＞6.635，
对照临界值表知，有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，根据列联表得出男性了解“云课堂”倡议的概率为，
女性了解“云课堂”倡议的概率为，所以计算概率P1＝（）3 ＝，概率P2＝（）3 ＝，所以P1＞P2．
19.解：因为f (x)＝sinωxcos φ+cosωxsin φ＝sin（ωx+φ）的周期T＝π，所以ω＝2，
选①函数y＝f (x)＝sin（2x+φ）的图象关于直线x＝对称，
故+φ＝+kπ，k∈Z，即φ＝kπ﹣，k∈Z，
因为|φ|＜，故φ＝﹣，f（x）＝sin（2x﹣），
由x∈（，）得2x﹣∈（，），
当2x﹣＝，即x＝时，函数取得最大值1.
选②函数y＝f (x)的图象关于点P（，0）对称，故+φ＝kπ，即φ＝kπ﹣，k∈Z，
因为|φ|＜，故φ＝﹣，f (x)＝sin（2x﹣），
当2x﹣＝，即x＝π 时，函数取得最大值1；
选③函数y＝f (x)的图象经过点Q（，﹣1），
则f（）＝sin（+φ）＝﹣1，所以sin（φ+）＝1，
所以φ＝，f (x)＝sin（2x+），
当2x+＝，即x＝时，函数取得最大值1，此时取不到最大值．
20.解：(1)证明：如图所示，取的中点，连接，
则，，又，
∴，且，∴四边形是平行四边形，
∴，而平面，∴平面.
(2)由题设条件可知：⊥，因此可建立如图所示的空间直角坐标系．于是 (4,0,0), (0,4,0), (2,0,0), (2,2,1),故向量=(0,－2,－1), =(2,－2,－1),=(－2,2,－1).设平面的法向量为=(,,),平面的法向量为=(,,),则
由得，令－2，则=1，=0，∴=(0,1,－2).
由得，令－2，则=1，=2，∴=(2,1,－2). ∴===,
由两个法向量与的方向可得二面角的余弦值为－.
15.解：(1)设，则，，，
由，得，化简得，
故动点P的轨迹C的方程为.
①设，则，所以.
设直线AB的方程为，代入得，
从而，即，故直线AB的方程为，
所以直线AB过定点.
②设，则点Q到点M的距离满足：
，
，
因为，故当即时，点Q到点M的距离的最小值为；
当即时，点Q到点M的距离的最小值.
22.解：(1)f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)．
当a≤0时，由f′(x)<0得x<0，由f′(x)>0得x>0，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)有1个极值点；
当00得x0，
由f′(x)<0得ln (2a)∴f(x)在(－∞，ln (2a))上单调递增，在(ln (2a)，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)有2个极值点；
当a＝时，由f′(x)≥0，∴f(x)在R上单调递增，
∴f(x)没有极值点；当a>时，由f′(x)>0得x<0或x>ln (2a)，
由f′(x)<0得0综上，当a≤0时，f(x)有1个极值点；当a>0且a≠时，f(x)有2个极值点；当a＝时，f(x)没有极值点．
(2)由f(x)＋ex≥x3＋x得xex－x3－ax2－x≥0.
当x>0时，ex－x2－ax－1≥0，即a≤对任意的x>0恒成立．
设g(x)＝，则g′(x)＝.
设h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1.
∵x>0，∴h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴h(x)>h(0)＝0，即ex－x－1>0，
∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)≥g(1)＝e－2，∴a≤e－2，∴实数a的取值范围为(－∞，e－2]．

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