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人教A版（2019） 选择性必修一 第1章 空间向量与立体几何
重 难 点 复 习
知识梳理
一、本节课思维导图
二、知识要点梳理
1、空间向量的线性运算
加法交换律：
加法结合律：
数乘分配律：
数乘结合律：
数量积的运算律：
2、共线向量定理
对空间任意两个向量，与共线的充要条件是存在实数，使。
规定：零向量与任意向量共线。
3、共面向量定理
如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得。
4、空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使
5、空间向量的坐标运算
设，则
6、空间向量的数量积
7、空间向量的夹角
道虽弥，不行不至；事虽小，不为不成！—— 《荀子·修身》
高二数学 空间向量与立体几何重难点复习 2 / 2
典型例题
题型1 向量的坐标运算
例1 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第10题，5分，多选）已知向量，，， 下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
变式训练
（2020年1月无锡市期末测试，第10题，5分）正四面体的棱长为2，、分别为、的中点，则的值为（ ）
A. -2 B. 4 C. 2 D. 1
题型2 向量共线问题
例2 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第13题，5分）已知向量，，若，则实数的值为 。
变式训练
（2020年1月常州溧阳市期末测试，第10题，5分）已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ）
A. B. C. －2 D. 2
题型3 向量垂直问题
例3 （2020年1月常州市教育协会期末测试，第7题，5分）已知空间向量，，则“”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
题型4 直线与平面的夹角问题
例4 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第6题，5分）已知正方体中，是的中点，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
变式训练
（2021年1月苏州中学期末测试，第11题，5分，多选）在正三棱锥中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（ ）
A. EF与AD所成角的正切值为 B. EF与AD所成角的正切值为
C. AB与面ACD所成角的余弦值为 D. AB与面ACD所成角的余弦值为
题型5 线面垂直问题
例5 （2020年1月南通市启东中学期末测试，第20题，12分）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1。
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值。
题型6 面面垂直问题
例6 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第21题，12分）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点。
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的大小；
（3）若线段上总存在一点，使得，求的最大值。
题型7 二面角问题
例7 （2020年1月常州市教育协会期末测试，第20题，12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，。
（1）求二面角的正弦值；
（2）点是线段的中点，点为线段上点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长。
题型8 异面直线的夹角问题
例8 （2020年1月常州市教育协会期末测试，第11题，5分）如图，在三棱锥中，，平面，，，点、分别为，的中点，点在线段上．若，则异面直线与OD所成角的余弦值为（ B ）
A. B. C. D.
变式训练
（2020年1月常州溧阳市期末测试，第18题，12分）如图，在正方体中，点是的中点。
（1）求与所成的角的余弦值；
（2）求与平面所成的角正弦值。
题型9 球的内接几何体问题
例9 （2021年1月苏州中学期末测试，第13题，5分）一个球的直径为2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为 。
题型10 几何体的体积问题
例10 （2020年1月南通如皋市期末测试，第21题，12分）如图，是边长为3的正三角形，D，E分别在边AB，AC上，且，沿DE将翻折至位置，使二面角为60°。
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积。
变式训练
（2019年1月苏州市期末联考，第9题，5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在“堑堵”中，，若“阳马”的体积为20cm ，则“堑堵”的体积为 30 cm 。
题型11 平面图形的翻折问题
例11 （2019年1月苏州市期末联考，第16题，12分）如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且AM=MC、DN=NF。
（1）证明：MN∥平面BCF；
（2）证明：MN⊥DC。
课堂练习
1、（2020年1月无锡市期末测试，第2题，5分）已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ ）
A. 6 B. -6 C. 4 D. -4
2、（2020年1月无锡市期末测试，第21题，12分）如图，在高为的等腰梯形中，∥，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图，点为的中点，点在线段上(不同于，两点)，连接并延长至点，使。
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值。
课后巩固练习
一、选择题
1、（2020年1月常州溧阳市期末测试，第4题，5分） ，.若。则实数的值是（ ）
A. －2 B. C. 2 D. 0
2、（2020年1月南通市启东中学期末测试，第11题，5分，多选）如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有（ ）
A. ∥平面 B. 平面∥平面
C. 直线与直线所成角的大小为90° D.
3、（2020年1月南通如皋市期末测试，第8题，5分）已知是平面α外的两条不同直线，它们在平面α内的射影分别是直线，(与不重合)，则下列命题正确的个数是（ ）
① 若，则； ② 若，则； ③ 若，则； ④ 若，则。
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4、（2020年1月南京秦淮中学期末测试，第3题，5分）若向量，且，则实数的值是（ ）
A. B. 0 C. -2 D. 1
5、（2020年1月南通如皋市期末测试，第11题，5分，多选）在正三棱锥中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（ ）
A. EF与AD所成角的正切值为 B. EF与AD所成角的正切值为
C. AB与面ACD所成角的余弦值为 D. AB与面ACD所成角的余弦值为
第2题 第6题
二、填空题
6、（2020年1月常州溧阳市期末测试，第15题，5分）已知四棱柱的底面是矩形，，，，，则 。
7、（2019年1月苏州市期末联考，第11题，5分）设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面下列命题中：
① 若m∥α，n∥α，则m∥n； ② 若m⊥α，m⊥n，则n∥α； ③ 若mβ，α∥β，则m∥α。
正确命题的序号是 。
8、（2020年1月南京秦淮中学期末测试，第15题，5分）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是 。
9、（2020年1月徐州市期末测试，第14题，5分）在长方体中，，，则 。
三、解答题
10、（2020年1月常州溧阳市期末测试，第20题，12分）如图，四棱锥中，平面，，，，，。
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）在边是否存在一点使二面角的余弦值为，若存在请确定点的位置，不存在，请说明理由。
11、（2020年1月镇江市期末测试，第21题，12分）如图，在底面为正方形的四棱锥中，侧棱底面，其中，点E是线段的中点。
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）若点F在线段PB上，使得二面角的正弦值为，求点的位置。
12、（2020年1月南通如皋市期末测试，第18题，12分）在直三棱柱中，，，，M，N分别是上的点，且。
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值。
13、（2020年1月徐州市期末测试，第21题，12分）如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，点分别是的中点，，连接。
（1）若，并异面直线与所成角的余弦值的大小；
（2）若二面角的余弦值的大小为，求的长。人教A版（2019） 选择性必修一 第1章 空间向量与立体几何
重 难 点 复 习
知识梳理
一、本节课思维导图
二、知识要点梳理
1、空间向量的线性运算
加法交换律：
加法结合律：
数乘分配律：
数乘结合律：
数量积的运算律：
2、共线向量定理
对空间任意两个向量，与共线的充要条件是存在实数，使。
规定：零向量与任意向量共线。
3、共面向量定理
如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得。
4、空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使
5、空间向量的坐标运算
设，则
6、空间向量的数量积
7、空间向量的夹角
道虽弥，不行不至；事虽小，不为不成！—— 《荀子·修身》
高二数学 空间向量与立体几何重难点复习 2 / 2
典型例题
题型1 向量的坐标运算
例1 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第10题，5分，多选）已知向量，，， 下列等式中正确的是（ BCD ）
A. B.
C. D.
变式训练
（2020年1月无锡市期末测试，第10题，5分）正四面体的棱长为2，、分别为、的中点，则的值为（ D ）
A. -2 B. 4 C. 2 D. 1
【分析】
如图所示，，．代入，利用数量积运算性质即可得出。
【解析】解：如图所示，
。
【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。
题型2 向量共线问题
例2 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第13题，5分）已知向量，，若，则实数的值为 。
【分析】
根据向量平行的坐标表示即可求出参数的值.
【详解】向量，， ，
所以存在使，
∴ ，
即，解得：。
【点睛】此题考查根据向量平行的坐标表示求参数的值，属于简单题目。
变式训练
（2020年1月常州溧阳市期末测试，第10题，5分）已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ B ）
A. B. C. －2 D. 2
【分析】
利用向量运算得到得到答案。
【解析】
故
【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力。
题型3 向量垂直问题
例3 （2020年1月常州市教育协会期末测试，第7题，5分）已知空间向量，，则“”是“”的（ B ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【分析】
根据向量垂直的点积运算得到x的值，进而得到结果。
【解析】，，或-3。故x=1是的充分不必要条件。
题型4 直线与平面的夹角问题
例4 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第6题，5分）已知正方体中，是的中点，直线与平面所成角的正弦值为（ B ）
A. B. C. D.
【分析】
直线与平面所成角即直线与平面所成角，根据定义找出线面角即可.
【详解】在正方体中，平面∥平面，
所以直线与平面所成角即直线与平面所成角，
连接，与平面，
所以就是直线与平面所成角，
在中，，
所以。
【点睛】此题考查求直线与平面所成角的大小，根据定义找出线面角即可。
变式训练
（2021年1月苏州中学期末测试，第11题，5分，多选）在正三棱锥中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（ BC ）
A. EF与AD所成角的正切值为 B. EF与AD所成角的正切值为
C. AB与面ACD所成角的余弦值为 D. AB与面ACD所成角的余弦值为
题型5 线面垂直问题
例5 （2020年1月南通市启东中学期末测试，第20题，12分）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1。
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值。
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
证明（1）∵ 是长方体
∴ 侧面
∵ 平面
∴
又，
平面
∴ 平面
（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系
∴
∵
∴
∴
即：，
设是平面的法向量
∴
即：
解得：，
设是平面的法向量
∴
即：
二面角的余弦值的绝对值为：
所以二面角的正弦值为：
题型6 面面垂直问题
例6 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第21题，12分）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点。
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的大小；
（3）若线段上总存在一点，使得，求的最大值。
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）。
【解析】解：（1）由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直
∵ 平面平面
∴ EC⊥平面
以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系
∵ ，AF=t，是线段的中点
∴ ，，，，，
又∵ ，，，
设平面的法向量为
∴ 由，可知
不妨令，则，
∴ 平面的一个法向量为
∴
又∵ 平面
∴
∴ 平面。
（2）若，则，
∴ 平面的一个法向量为
设平面的法向量为，
∴ 由，可知
不妨令，则，
∴ 平面的一个法向量为
设二面角的平面角为
∵ 为锐角
∴
∴ 二面角的大小为。
（3）∵ 点在线段上，而
设，其中
∴
即：点坐标为
∴
∵
∴ ，即
∴ ，解得
∴ 的最大值为
题型7 二面角问题
例7 （2020年1月常州市教育协会期末测试，第20题，12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，。
（1）求二面角的正弦值；
（2）点是线段的中点，点为线段上点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长。
【答案】（1） （2）
【解析】（1）证明：如图，以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系
则，，，，，，，
又∵ 分别为的中点
∴ ，，
设是平面的法向量
由，得
取，得
设是平面的法向量
由，得
取，得
∴
设二面角的平面角为
∴
所以二面角的正弦值为
（2）由题意可设，其中，∴，
又因为是平面的一个法向量
所以
设直线和平面所成角为
整理，得
∴
解得或（舍）
∴ 线段的长为
题型8 异面直线的夹角问题
例8 （2020年1月常州市教育协会期末测试，第11题，5分）如图，在三棱锥中，，平面，，，点、分别为，的中点，点在线段上．若，则异面直线与OD所成角的余弦值为（ B ）
A. B. C. D.
【解析】∵ ，平面，
∴ 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
∵ ，
∴ ，，
∵ 点、分别为，的中点
∴ ，
∵
∴ ，
∴ 异面直线与OD所成角的余弦值为
变式训练
（2020年1月常州溧阳市期末测试，第18题，12分）如图，在正方体中，点是的中点。
（1）求与所成的角的余弦值；
（2）求与平面所成的角正弦值。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系
设正方体棱长为2，则
∴
设与所成角为
则
∴ 与所成角的余弦值为
（2）
设平面的一个法向量为
由，
取，则
设与平面所成的角为
则
∴ 与平面所成的角的正弦值为
题型9 球的内接几何体问题
例9 （2021年1月苏州中学期末测试，第13题，5分）一个球的直径为2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为 。
题型10 几何体的体积问题
例10 （2020年1月南通如皋市期末测试，第21题，12分）如图，是边长为3的正三角形，D，E分别在边AB，AC上，且，沿DE将翻折至位置，使二面角为60°。
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积。
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)在中，
，，，
∴ ，
∴ ，∠AED=90°
即DE⊥AE，DE⊥EC
翻折后，，DE⊥EC
又∵ ，，平面
∴ 平面，且
又∵ 平面
∴ ①
在中，，，，
与证明∠AED=90°同理可得:
∴ ②
由①②及，，平面
∴ 平面
(2)由(1)可知:平面，又平面BDEC
∴ 平面平面
在平面内过作于H
∵ 平面平面
平面
∴ 平面BDEC
又∵
∴
变式训练
（2019年1月苏州市期末联考，第9题，5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在“堑堵”中，，若“阳马”的体积为20cm ，则“堑堵”的体积为 30 cm 。
【解析】如图，连接A1C，
根据等底等高，易得：
∵B﹣A1ACC1的体积为20cm3，
∴ABC﹣A1B1C1的体积为30cm3，
题型11 平面图形的翻折问题
例11 （2019年1月苏州市期末联考，第16题，12分）如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且AM=MC、DN=NF。
（1）证明：MN∥平面BCF；
（2）证明：MN⊥DC。
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
【详解】(1)取DC的三等分点P，使
∵
∴MP∥AD
∴MP∥BC
∴MP∥平面FBC
∵
∴NP∥FC
∴NP∥平面FBC
∴平面MNP∥平面FBC
∴MN∥平面FBC
（2）∵CD⊥CB，CD⊥CF
∴CD⊥平面FBC
∴CD⊥平面MNP
∴CD⊥MN
即MN⊥DC
课堂练习
1、（2020年1月无锡市期末测试，第2题，5分）已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ D ）
A. 6 B. -6 C. 4 D. -4
2、（2020年1月无锡市期末测试，第21题，12分）如图，在高为的等腰梯形中，∥，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图，点为的中点，点在线段上(不同于，两点)，连接并延长至点，使。
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值。
【答案】（1）证明略；（2）
课后巩固练习
一、选择题
1、（2020年1月常州溧阳市期末测试，第4题，5分） ，.若。则实数的值是（ D ）
A. －2 B. C. 2 D. 0
2、（2020年1月南通市启东中学期末测试，第11题，5分，多选）如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有（ ABD ）
A. ∥平面 B. 平面∥平面
C. 直线与直线所成角的大小为90° D.
3、（2020年1月南通如皋市期末测试，第8题，5分）已知是平面α外的两条不同直线，它们在平面α内的射影分别是直线，(与不重合)，则下列命题正确的个数是（ B ）
① 若，则； ② 若，则； ③ 若，则； ④ 若，则。
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4、（2020年1月南京秦淮中学期末测试，第3题，5分）若向量，且，则实数的值是（ C ）
A. B. 0 C. -2 D. 1
5、（2020年1月南通如皋市期末测试，第11题，5分，多选）在正三棱锥中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（ BC ）
A. EF与AD所成角的正切值为 B. EF与AD所成角的正切值为
C. AB与面ACD所成角的余弦值为 D. AB与面ACD所成角的余弦值为
第2题 第6题
二、填空题
6、（2020年1月常州溧阳市期末测试，第15题，5分）已知四棱柱的底面是矩形，，，，，则 。
7、（2019年1月苏州市期末联考，第11题，5分）设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面下列命题中：
① 若m∥α，n∥α，则m∥n； ② 若m⊥α，m⊥n，则n∥α； ③ 若mβ，α∥β，则m∥α。
正确命题的序号是 ③ 。
8、（2020年1月南京秦淮中学期末测试，第15题，5分）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是 。
9、（2020年1月徐州市期末测试，第14题，5分）在长方体中，，，则 34 。
三、解答题
10、（2020年1月常州溧阳市期末测试，第20题，12分）如图，四棱锥中，平面，，，，，。
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）在边是否存在一点使二面角的余弦值为，若存在请确定点的位置，不存在，请说明理由。
【答案】（1）（2）存在，当满足时，能使三面角的余弦值为
11、（2020年1月镇江市期末测试，第21题，12分）如图，在底面为正方形的四棱锥中，侧棱底面，其中，点E是线段的中点。
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）若点F在线段PB上，使得二面角的正弦值为，求点的位置。
【答案】（1）；（2）为的中点
12、（2020年1月南通如皋市期末测试，第18题，12分）在直三棱柱中，，，，M，N分别是上的点，且。
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值。
【答案】（1）证明略；（2）
13、（2020年1月徐州市期末测试，第21题，12分）如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，点分别是的中点，，连接。
（1）若，并异面直线与所成角的余弦值的大小；
（2）若二面角的余弦值的大小为，求的长。
【答案】（1）（2）

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