资源简介

3．2　双曲线
3．2.1　双曲线的标准方程
第一课时　双曲线的定义与标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 直观想象
知识点一　双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
【思考】
定义中“小于F1F2的正数”这一条件去掉，动点的轨迹还是双曲线吗？
提示：不一定是．
知识点二　双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝c2－a2
双曲线焦点位置与方程的关系
焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．　　　　
【练习】
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程－＝1表示双曲线．(　　)
(2)双曲线两焦点之间的距离称为焦距．(　　)
(3)若焦点在x轴上的双曲线方程为－＝1，则a2＞b2.(　　)
(4)双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　)
A．(－，0)，(，0)　　　 B．(－5，0)，(5，0)
C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－)，(0，)
答案：B
3．双曲线的两焦点坐标是F1(0，3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．
答案：－＝1
题型分析
题型一 双曲线定义的应用
[例1]　如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[解]　双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义得＝2a＝6，
又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，
假设点P到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点P到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
[母题探究]
1．(变条件，变设问)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离．
解：由双曲线的标准方程－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
∴|10－|PF2||＝6，
解得|PF2|＝4或|PF2|＝16.
2．(变条件)若本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”其他条件不变，求△F1PF2的面积．
解：由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，
∴S△F1PF2＝×4×4＝8.
3．(变条件)若本例中双曲线的标准方程不变，若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝64，
则S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16.
在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．　　　　
[跟踪训练]
1．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．11　　　　　　　 B．9
C．5 D．3
解析：选B　由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.
2．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8
C．24 D．48
解析：选C　由题意，得
解得又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝·|PF1|·|PF2|＝24.故选C.
题型二 求双曲线的标准方程
[例2]　根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.　①
∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，故双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
故双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
故双曲线的标准方程为－＝1.
1．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式；
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
2．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程；
(2)待定系数法：
　　　　
[跟踪训练]
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4；
(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)．
解：(1)由题设知，a＝3，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝42－32＝7.
故双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．
因为点A(－5，6)在双曲线上，所以
2a＝|－|
＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是－＝1.
题型三 双曲线标准方程的应用
[例3]　若方程＋＝3表示双曲线，求实数m的取值范围．
[解]　由方程＋＝3表示双曲线，得或即或解得m<－2或1[母题探究]
(变条件)本例中的条件“表示双曲线”若换为“表示椭圆”，其他条件不变结论又如何呢？
解：若方程＋＝3表示椭圆，
则即m>2且m≠.
双曲线方程的辨识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　　　　
[跟踪训练]
1．已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B．5
C．7 D.
解析：选D　根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆
解析：选C　方程mx2－my2＝n可化为－＝1.由mn<0知<0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
【随堂训练】
1．双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(－，0)，(，0) B．(－2，0)，(2，0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0，2)
解析：选B　由双曲线的标准方程得，其焦点在x轴上，且a2＝3，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，c＝2，所以焦点坐标为(±2，0)，故选B.
2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这个曲线是(　　)
A．双曲线，焦点在x轴上
B．双曲线，焦点在y轴上
C．椭圆，焦点在x轴上
D．椭圆，焦点在y轴上
解析：选B　原方程可化为＋y2＝1，因为ab<0，所以<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.
3．已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线左支
C．一条射线 D．双曲线右支
解析：选C　因为|PM|－|PN|＝4＝|MN|，所以动点P的轨迹是一条射线．故选C.
4．求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．
解：由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)，
∵A(4，－5)在双曲线上，
∴2a＝||AF1|－|AF2||＝|－|＝2，
∴a＝，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.
故双曲线的标准方程为－＝1.

展开更多......

收起↑