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2021.12.23
2021-2022-高三年级第二次月考试卷
文科数学
第I卷（选择题）
单选题（每小题5分，共60分）。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．3
6．（ ）
A． B． C． D．
7．从内任取一个实数，则“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．15 B．23 C．30 D．28
9．已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为45°的直线交抛物线于. 若，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．在正方体中，分别为棱的中点 ，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为，则的斜率与直线的斜率的乘积（ ）
A. -1 B. 1 C. D.
12．设函数在区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，，若对满足的任何一个实数m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若平面向量，满足，，，则________．
14．已知函数（其中，，）的部分图像如图所示，则函数的解析式为___________.
15．中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍， AD＝1，DC＝，则AC=_________．
16．已知函数，若关于x的方程 f（x） = a有四个不同的解，且，则的取值范围是 _________.
三、解答题（共70分）
（一）必考题：共60分。
17．(12分)某中学随机抽查了名同学的每天课外阅读时间，得到如下统计表：
时长（分）
人数
（1）求这名同学的平均阅读时长（用区间中点值代表每个人的阅读时长）(保留一位小数)；
（2）在阅读时长位于的人中任选人，求甲同学被选中的概率；
（3）进一步调查发现，语文成绩和每天的课外阅读时间有很大关系，每天的课外阅读时间多于半小时称为“阅读迷”，语文成绩达到分视为优秀，根据每天的课外阅读时间和语文成绩是否优秀，制成一个列联表：
阅读迷 非阅读迷 合计
语文成绩优秀
语文成绩不优秀
合计
根据表中数据，判断是否有的把握认为语文成绩是否优秀与课外阅读时间有关.
参考公式：，其中.
参考数据：
18．(12分)已知数列满足，且， .
（1）设，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点.
（1）证明：BD⊥PF；
（2）若AD=DB=2，求点C到平面PBD的距离。
20．(12分)已知椭圆C：=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，|AB|=3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点且与椭圆相交于，两点，求面积最大值及此时直线的斜率.
21．(12分)已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）设，若对都有成立，求a的最大值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4：参数方程极坐标](10分)
数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．
（1）当，求以极点为圆心，为半径的圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；
（2）设点P是由（1）中的交点所确定的圆M上的动点，直线，求点P到直线l的距离的最大值．
23. [选修4-5: 不等式选讲](10分)设不等式的解集为M，.
（1）证明：；
（2）比较与的大小，并说明理由.
评分标准
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B C A A D B C C A D A
填空题
13 14 15 16
5 1
解答题
17.解：（1）设这名同学的平均阅读时长为小时，
则，
故这名同学的平均阅读时长为小时；
（2）设这名学生分别为甲、乙、丙、丁，
从这名学生任取名学生，所有的基本事件有：（甲，乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（乙、丙）、（乙，丁）、（丙、丁），共个，
其中，事件“甲同学被选中”所包含的基本事件有：（甲，乙）、（甲、丙）、（甲、丁），
因此，所求概率为；
（3），
因此，有的把握认为语文成绩是否优秀与课外阅读时间有关.
18.解：解析：
（1）把代入到，
得，
两边同除以，
得，
∴为等差数列，首项，公差为1，
∴.
（2）由，
∴
，
两式相减，得
.
19.解（1）证明：连接AC，因为在中，E，F分别是AD，CD的中点，所以EFAC，
又因为在菱形ABCD中，可得AC⊥BD，所以BD⊥EF，
因为为正三角形，E为AD中点，所以PE⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PE⊥平面ABCD，
又BD 平面ABCD，所以PE⊥BD，
因为PE∩EF=E，所以BD⊥平面PEF，
又PF 平面PEF，所以BD⊥PF.
（2）
（2）解：设点到平面的距离为，
由，可得，
在正三角形中，；
在菱形中，因为，所以为正三角形，
所以，
在中，，所以，
所以，
即点到平面的距离.
20.解：（1）由题知：，
所以椭圆.
（2）设直线的方程为，设、，
与椭圆方程联立得，消去得.
则，所以.
由根与系数的关系知，，
所以.①
令，则①式可化为.
当且仅当，即时，等号成立.
此时，所以直线的斜率为.
解：函数的定义域为，
因为，令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值；
（2）
解：由题意知，，
即对恒成立，
令，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
又因为，
所以在内必存在，使得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以，
因为，即，
所以，
因为在上单调递增，所以，
又因为，所以，所以，
所以a的最大值为1．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解】（1）由可得，所以或
所以或
因为，所以
所以交点的极坐标为
（2）由（1）可得圆M的极坐标方程为，转化为直角坐标方程为
直线的直角坐标方程为
所以点P到直线l的距离的最大值为
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
（Ⅰ）证明：记f (x) =|x-1|-|x+2|，
则f(x)= ，所以解得-＜x＜，故M=(-,).
所以，||≤|a|+|b|＜×+×=.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a2＜，0≤b2＜.
|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.
所以，|1-4ab|＞2|a-b|.
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