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18.1.2平行四边形的判定（1）教案
课题 18.1.2平行四边形的判定（1） 单元 第18单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 平行四边形的三个判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
重点 平行四边形判定定理的探究与应用．
难点 通过研究性质定理的逆命题提出判定定理的猜想．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题问题1通过前面的学习，我们对平行四边形已经有了一些了解，请说说你都知道了哪些？师生活动：学生回答学行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，还有平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分．追问1：根据以往的几何学习经验，接下来我们应该研究什么呢？师生活动：学生回答研究平行四边形的判定．追问2：根据定义，可以判定一个四边形是不是平行四边形．除了平行四边形的定义，还有没有其他判定方法呢？我们如何寻找其他判定方法？ 问题2：在以前的学习经历中，我们有过类似的经验吗？追问1：对于平行四边形，我们能否也可以通过研究性质的逆命题而获得判定平行四边形的方法呢？ 师生活动：教师顺势给出下表，待学生互相补充完善后形成猜想，并填入表格．平行四边形的性质平行四边形的判定平行四边形的对边相等猜想1：平行四边形的对角相等猜想2：平行四边形的对角线互相平分猜想3：追问2：原命题正确，逆命题一定正确吗？问题3：你能证明上述猜想吗？已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例进行证明．教师引导学生画出图形，并写出已知、求证．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．求证：四边形ABCD是平行四边形． 思考自议平行四边形判定定理的探究与应用． 通过研究性质定理的逆命题提出判定定理的猜想．
讲授新课 提炼概念师生归纳：两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形三、典例精讲例 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．师生活动：先由学生独立思考，若学生有想法，则由学生先说思路，然后教师追问：你是怎样想到的？对学生思路中的合理成分进行总结；若学生没有思路，教师可引导学生分析：从条件出发，你能联想到的结论有哪些？从要证明的结论出发，证明一个四边形是平行四边形有哪些方法？从而启发学生形成思路．追问：你还有其他证明方法吗？你更喜欢哪一种证法？证明：作对角线BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形∴ AO=CO，BO=DO∵AE=CF∴AO-AE=CO-CF 即EO=FO又 BO=DO∴四边形BFDE是平行四边形 掌握好平行四边形判定定理的探究与应用． 若学生没有思路，教师可引导学生分析：从条件出发，你能联想到的结论有哪些？从要证明的结论出发，证明一个四边形是平行四边形有哪些方法？从而启发学生形成思路．
课堂检测 四、巩固训练1. 根据下列条件，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ）A. 两组对边分别相等B . 两条对角线互相平分C . 两条对角线相等D . 两组对边分别平行C 2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD B3.如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.在Rt△ABC和Rt△ACD中，∵AC=CA,AB=CD,∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),∴BC=DA.又∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形．4.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，∴∠DCB＝∠DAB＝125°.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．5.如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由．四边形BMDN是平行四边形．理由如下：连接BD交AC于O．∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，∴∠AND=∠CMB=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAN=∠BCM,∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,∴四边形BMDN是平行四边形．
课堂小结 小结 教师引导学生参照下面问题，回顾本节课所学的主要内容，进行相互交流：(1)通过本节的学习，我们一共有几种判定平行四边形的方法？(2)在具体证明中，如何选择这些判定方法？(3)结合本节课的学习过程，谈谈对研究几何图形判定方法的思考．
A
B
C
D
B
O
D
A
C
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人教版 八年级下
18.1.2平行四边形的判定（1）
新知导入
情境引入
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
角
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
对角线
平行四边形的对角线互相平分
合作学习
学行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形.第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示.
小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢
大家都困惑了……
平行四边形的判定定理1
小强提议说：我们可以度量它的边，如果它的两组对边分别相等，那么它就是一个平行四边形.
A
B
C
D
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
证明思路
作对角线构造全等三角形
两组对应角相等
两组对边分别平行
四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理1:
符号语言：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
A
B
C
D
小伟提议说：我们可以度量它的角，如果它的两组对角分别相等，那么它就是一个平行四边形.
A
B
C
D
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
平行四边形的判定定理2
四边形内角和等于360°
∠A=∠C ，∠B=∠D
∠A+∠B=180°
AD//BC
同理AB//CD
四边形ABCD是平行四边形
证明思路
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
证明：
判定定理2：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵∠A+∠C+∠B+∠D=3600
又∵∠A=∠C，∠B=∠D
∴2∠A+2∠B=3600
即∠A+∠B=1800
∴ AD∥ BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得 AB∥ CD
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理3:
符号语言：
A
B
C
D
∵∠A=∠C，∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）
平行四边形的判定定理3
小丽却说：“我可以不用任何作图工具，只要两条细绳就能判断它是不是平行四边形.”
只见小丽用两条细绳做四边形的对角线，并在两条对角线的交点处作了个记号.然后分别把两条对角线沿记号点对折，发现它们被记号的点分成的两段都能重合，小丽高兴地说：
“这的确是个平行四边形！”
你能用平行四边形的定义进行证明吗
对顶角相等.
A
B
C
D
O
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边 形ABCD是平行四边形.
判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形
证明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知)
OB=OD (已知)
∠AOB=∠COD (对顶角相等)
∴△AOB≌△COD(SAS)
∴ ∠BAO=∠OCD , ∠ ABO=∠CDO
∴AB∥ CD , AD∥ BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
O
A
B
C
对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理3:
符号语言：
A
B
C
D
O
∵ OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
提炼概念
归纳小结
判定
定理1
定理2
定理3
文字语言
图形语言
符号语言
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理
A
B
C
D
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是
ABCD
A
B
C
D
∵ ∠ A= ∠ C,
∠ B= ∠ D,
∴四边形ABCD是
ABCD
A
B
C
D
O
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是
ABCD
已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.
作对角线BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO，BO=DO
∵AE=CF
∴AO-AE=CO-CF 即EO=FO
又 BO=DO
∴四边形BFDE是平行四边形
求证：四边形BFDE是平行四边形.
例
证明
典例精讲
归纳概念
AB∥DC AD∥BC
几何语言描述判定：
AB=DC AD=BC
ABCD
∠ABC=∠ADC ∠BAD=∠BCD
OA=OC OB=OD
ABCD
ABCD
ABCD
归纳小结
课堂练习
1. 根据下列条件，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ）
A. 两组对边分别相等
B . 两条对角线互相平分
C . 两条对角线相等
D . 两组对边分别平行
C
2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA=OC，OB=OD
B．AB=CD，AO=CO
C．AB=CD，AD=BC
D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
3.如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,
求证：四边形ABCD是平行四边形.
在Rt△ABC和Rt△ACD中，
∵AC=CA,AB=CD,
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),
∴BC=DA.
又∵AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形．
证明
4.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
答案
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，
∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，
∴四边形ABCD是平行四边形．
5.如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由．
四边形BMDN是平行四边形．
理由如下：连接BD交AC于O．
∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
∴∠AND=∠CMB=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAN=∠BCM,
∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，
∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,
∴四边形BMDN是平行四边形．
O
答案
课堂总结
平行四边形的判定
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
作业布置
教材课后配套作业题。
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18.1.2平行四边形的判定（1）学案
课题 18.1.2平行四边形的判定（1） 单元 第18单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 平行四边形的三个判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
重点 平行四边形判定定理的探究与应用．
难点 通过研究性质定理的逆命题提出判定定理的猜想．
教学过程
导入新课 【引入思考】问题1通过前面的学习，我们对平行四边形已经有了一些了解，请说说你都知道了哪些？追问1：根据以往的几何学习经验，接下来我们应该研究什么呢？问题2：在以前的学习经历中，我们有过类似的经验吗？平行四边形的性质平行四边形的判定平行四边形的对边相等猜想1：平行四边形的对角相等猜想2：平行四边形的对角线互相平分猜想3：
新知讲解 提炼概念典例精讲 例 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
课堂练习 巩固训练1. 根据下列条件，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ）A. 两组对边分别相等B . 两条对角线互相平分C . 两条对角线相等D . 两组对边分别平行2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD 3.如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.4.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．5.如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由．四边形BMDN是平行四边形．答案引入思考已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．提炼概念典例精讲 证明：作对角线BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形∴ AO=CO，BO=DO∵AE=CF∴AO-AE=CO-CF 即EO=FO又 BO=DO∴四边形BFDE是平行四边形你还有其他证明方法吗？你更喜欢哪一种证法？巩固训练1.C 2.B3.在Rt△ABC和Rt△ACD中，∵AC=CA,AB=CD,∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),∴BC=DA.又∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形．4.(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，∴∠DCB＝∠DAB＝125°.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．5.理由如下：连接BD交AC于O．∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，∴∠AND=∠CMB=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAN=∠BCM,∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,∴四边形BMDN是平行四边形．
课堂小结 小
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