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15.2.2分式的加减
第2课时 分式的混合运算
知识要点：
分式的混合运算法则：先_______ ，再 、 ，如果有括号，先进行 的运算.
易错点睛：
已知 - ＝2，求的值.
【点睛】 通分是关键，然后用整体思想求值。
典例讲解：
题型一、分式混合运算中的纠错题
例1、老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学：＝第一步＝第二步＝第三步
乙同学：＝第一步＝2x－2＋x＋5第二步＝3x＋3第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误：
（1）甲同学的解答从第 一步开始出现错误；乙同学的解答从第 二步开始出现错误；
（2）请重新写出完成此题的正确解答过程第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误：
（1）甲同学的解答从第 一步开始出现错误；乙同学的解答从第 二步开始出现错误；
（2）请重新写出完成此题的正确解答过程.
解题策略：分式的减法运算，若减数的分子是多项式，计算时一定要加括号，将分子看作一个整体.此外，在分式的混合运算过程中，尽量不要跳步，按照运算顺序和运算法则逐步解答，否则容易掉入题目的“陷阱”中.
变式练习：
1、阅读下面题目的计算过程：
－
＝－ ①
＝x－3－2x＋2 ②
＝－x－1. ③
(1)上面计算过程从哪一步开始出现错误？请写出该步骤的代号 ；
(2)错误原因是 ；
(3)本题的正确结果是 ．
题型二、逆运算型分式的混合运算
例2、老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：则被遮住的部分是
A. B. C. D.
解题策略：与分式的逆运算有关的题目，常常设出未知数，建立等式，利用等式的性质以及分式的运算法则进行计算.
变式练习：
2、小宇在做一道化简求值题时，因印刷问题，导致题中最后一项分子缺失，参考答案上该题化简的结果是，则最后一项分子为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
题型三、分式的化简求值
例3、先化简，再求值．，在范围中，选取合适的整数x代入求值．
解题策略：代入求值的方法通常有两种：（1）单值代入；（2）整体代入；（3）选值代入.无论选用哪种代入方法，都需要将所给式子化成最简形式.
3、先化简，再求值：÷（x+2）﹣÷（x﹣3），其中x是不等式组的整数解．
题型四、与分式化简有关的创新题
例4、对于两个非零的实数a，b，定义运算*如下：．例如：．若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
解题策略：“新定义运算”型问题，主要是指在问题中出现没有学过的新概念、新运算、新符号等，解决这类问题的关键是要读懂题意，并结合已学过的知识，按照新定义规定的运算，将新定义问题转化为已学过的运算问题.
变式练习：
4、定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与互为“3阶分式”．设正数x，y互为倒数，则分式与互为（ ）
A．二阶分式 B．三阶分式 C．四阶分式 D．六阶分式
5、我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；如果假分式的值为整数，则的负整数值为______．
当堂练习：
1、计算等于（ ）
A. B. C. D.
2、化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
3、现有一列数：a1，a2，a3，a4，…，an﹣1，an（n为正整数），规定a1＝2，a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，…，an﹣an﹣1＝2n（n≥2），若＝，则n的值为（　　）
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
4、有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式﹣+﹣的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5、已知，则代数式=___________.
化简：．
6、已知，则代数的值等于________．
7、如果a2﹣a﹣1＝0，那么代数式（1﹣）÷的值是　　
8、计算：
； （2）．
9、先化简，再求值：，其中．
10、已知实数、满足式子|﹣2|+（﹣1）2=0，求的值．
11、如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式中，　 　是和谐分式（填写序号即可）；
①；②；③；④．
（2）若a为正整数，且为和谐分式，a＝　 　；
（3）利用和谐分式，化简
12、（1）化简：；
（2）把（1）中化简的结果记作A，将A中的分子与分母同时加上1后得到B，问：当时，B的值与A的值相比变大了还是变小了？试说明理由．
答案：
知识要点：
分式的混合运算法则：先 乘方 ，再 乘除 、加减 ，如果有括号，先进行 括号内 的运算.
易错点睛：
已知 - ＝2，求的值.
【点睛】 通分是关键，然后用整体思想求值。
答案：-
典例讲解：
题型一、分式混合运算中的纠错题
例1、老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学：＝第一步＝第二步＝第三步
乙同学：＝第一步＝2x－2＋x＋5第二步＝3x＋3第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误：
（1）甲同学的解答从第 一步开始出现错误；乙同学的解答从第 二步开始出现错误；
（2）请重新写出完成此题的正确解答过程第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误：
（1）甲同学的解答从第 一步开始出现错误；乙同学的解答从第 二步开始出现错误；
（2）请重新写出完成此题的正确解答过程.
解：（1）甲同学的解答从第一步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误
故答案为：一、二；
（2）原式＝
＝
＝
＝．
解题策略：分式的减法运算，若减数的分子是多项式，计算时一定要加括号，将分子看作一个整体.此外，在分式的混合运算过程中，尽量不要跳步，按照运算顺序和运算法则逐步解答，否则容易掉入题目的“陷阱”中.
变式练习：
1、阅读下面题目的计算过程：
－
＝－ ①
＝x－3－2x＋2 ②
＝－x－1. ③
(1)上面计算过程从哪一步开始出现错误？请写出该步骤的代号 ；
(2)错误原因是 ；
(3)本题的正确结果是 ．
答案：(1)②；(2)丢了分母；(3)－．
题型二、逆运算型分式的混合运算
例2、老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：则被遮住的部分是
A. B. C. D.
答案：D
解：被遮住的部分是 ，
解题策略：与分式的逆运算有关的题目，常常设出未知数，建立等式，利用等式的性质以及分式的运算法则进行计算.
变式练习：
2、小宇在做一道化简求值题时，因印刷问题，导致题中最后一项分子缺失，参考答案上该题化简的结果是，则最后一项分子为（ ）A
A．5 B．4 C．3 D．2
题型三、分式的化简求值
例3、先化简，再求值．，在范围中，选取合适的整数x代入求值．
解：原式．
在中，整数、2、3，
又，，，
当时，原式．
解题策略：代入求值的方法通常有两种：（1）单值代入；（2）整体代入；（3）选值代入.无论选用哪种代入方法，都需要将所给式子化成最简形式.
3、先化简，再求值：÷（x+2）﹣÷（x﹣3），其中x是不等式组的整数解．
解：原式＝
＝
＝
＝，
解不等式组得：0＜x＜2，
∵x是不等式组的整数解，
∴x＝1，
故原式＝＝．
题型四、与分式化简有关的创新题
例4、对于两个非零的实数a，b，定义运算*如下：．例如：．若，则的值为（ ）A
A． B．2 C． D．
解题策略：“新定义运算”型问题，主要是指在问题中出现没有学过的新概念、新运算、新符号等，解决这类问题的关键是要读懂题意，并结合已学过的知识，按照新定义规定的运算，将新定义问题转化为已学过的运算问题.
变式练习：
4、定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与互为“3阶分式”．设正数x，y互为倒数，则分式与互为（ ）A
A．二阶分式 B．三阶分式 C．四阶分式 D．六阶分式
5、我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；如果假分式的值为整数，则的负整数值为______．
答案：、、
当堂练习：
1、计算等于（ ）A
A. B. C. D.
2、化简的结果是（　　）B
A． B． C． D．
3、现有一列数：a1，a2，a3，a4，…，an﹣1，an（n为正整数），规定a1＝2，a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，…，an﹣an﹣1＝2n（n≥2），若＝，则n的值为（　　）
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
解：∵a1＝2，a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，…，an﹣an﹣1＝2n（n≥2），
∴a2＝a1+4＝6＝2×3，
a3＝a2+6＝12＝3×4，
a4＝a3+8＝20＝4×5，
…
an＝n（n+1）．
∵＝＝＝，
∴
∴n＝2017．
故选：C．
4、有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式﹣+﹣的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
解：根据数轴可知，
﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|a|＞|b|，
∴原式＝﹣（﹣1）+﹣＝1+1+1﹣1＝2．
故选：D．
5、已知，则代数式=___________.答案：
化简：．答案：
6、已知，则代数的值等于________．答案：
7、如果a2﹣a﹣1＝0，那么代数式（1﹣）÷的值是　　
解：原式＝（﹣） ，
＝ ，
＝a（a﹣1），
＝a2﹣a，
∵a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1，
∴原式＝1，
故答案为：1．
8、计算：
； （2）．
解：（1）原式=
=．
（2）原式=
=
=
=．
9、先化简，再求值：，其中．
答案：，
10、已知实数、满足式子|﹣2|+（﹣1）2=0，求的值．
解：原式=
=，
=，
∵|﹣2|+（﹣1）2=0，
∴﹣2=0，﹣1=0，
解得=2，=1，
所以，原式=1
11、如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式中，　 　是和谐分式（填写序号即可）；
①；②；③；④．
（2）若a为正整数，且为和谐分式，a＝　 　；
（3）利用和谐分式，化简
解：（1）①的分子、分母都不能因式分解，故该分式不是“和谐分式”．
②的分母可以因式分解，且这个分式不可约分，故该分式是“和谐分式”．
③的分母可以因式分解，但是分子、分母中都含有（x+y），可以约分，故该分式不是“和谐分式”．
④的分子可以因式分解，但是分子、分母中都含有（a+b），可以约分，故该分式不是“和谐分式”．
故答案是：②；
（2）∵分式为和谐分式，且a为正整数，
∴a＝4，a＝5；
故答案是：4或5．
（3）原式＝﹣＝＝．
12、（1）化简：；
（2）把（1）中化简的结果记作A，将A中的分子与分母同时加上1后得到B，问：当时，B的值与A的值相比变大了还是变小了？试说明理由．
（1）；（2）B的值与A的值相比变小了，理由见解析
【详解】
解：（1）原式．
；
（2）B的值与A的值相比变小了．理由如下：
．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴B的值与A的值相比是变小了
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