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15.3分式方程
第2课时 分式方程的应用
知识要点：
列分式方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②找：找出相等关系；③设：设未知数；④列：列出方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；⑦答：写出答案.
易错点睛：
已知关于x的分式方程-2=的解为正数，则m的取值范围为______
【点睛】 不仅要考虑x为正数，还应考虑x≠1．
典例讲解：
题型一、工程问题
例1、一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元。
（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？
解题策略：工程问题中的三个基本量：工作效率、工作时间、工作量，一般设出单独完成工作所需的时间，从而表示出工作效率.本题先设出甲、乙两队各自完成该工程所需的时间，再表示出他们各自的工作量，利用工作量之间的关系建立方程.
变式练习：
1、某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎么样调配劳动力才能使挖出的土能及时运走且不窝工，解决此问题可设派x人挖土，其他人运土，列方程： ．
2、甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
题型二、行程问题
例2、某人驾车从A地到B地，出发2小时后车子出了点毛病，耽搁了半小时修车，为了弥补耽搁的时间他将车速增加到后来的1.6倍，结果按时到达，已知A、B两地相距100千米，求某人原来驾车的速度.
解题策略：行程问题中的三个基本量：路程、速度、时间.列分式方程解关于行程的应用题时，路程是一个可以从问题中找到的具体量，如果求时间，那么设出时间，通过速度建立等量关系列出方程；如果求速度，那么设出速度，通过时间建立等量关系列出方程.通常速度的单位用“km／h”，而节省或多用的时间有时用“min（分钟）”，在遇到这种单位不一致的情况时，要先统一单位.
变式练习：
3、一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
4、农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x千米/时，则所列方程为 .
题型三、销售问题
例3、为丰富校园文化生活，某校举办了成语大赛．学校准备购买一批成语词典奖励获奖学生．购买时，商家给每本词典打了九折，用 2880 元钱购买的成语词典，打折后购买的数量比打折前多 10 本．求打折前每本笔记本的售 价是多少元？
解题策略：销售问题中的三个基本量：销售额、单价、数量.列分式方程解关于销售的应用题时，销售额是一个可以从问题中找到的具体量，如果求单价，那么设出单价，通过数量建立等量关系列出方程；如果求数量，那么设出数量，通过单价建立等量关系列出方程.
变式练习：
5、佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若若干千克，并以每千克 8 元出售，很快售完；由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次题干 10﹪，用 1452 元所购买的数量比第一次多 20千克，以没千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为了减少损失，便降价 50﹪售完剩余 的水果。
（1）第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体是盈利还是亏损？盈利或亏损多少
当堂练习：
1、某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。设原计划行军的速度为xkm/h，，则可列方程（ ）
A． B.
C. D.
2、某车间要加工170个零件，在加工完90个以后改进了操作方法，每天可多加工10个，一共用5天完成了任务，若改进操作方法后每天加工x个零件，所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
3、某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程 - ，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为( )
A.每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B.每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C.每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成
D.每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成
4、某人承包1125平方米的铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，则原计划每天铺( )
A.70平方米 B.65平方米 C.75平方米 D.85平方米
5、赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则所列方程为 .
6、今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条列实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用1万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 元。
7、“六 一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用 2500 元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500 元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的 1.5 倍，但每套进价多了 10 元．
（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？
(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
8、某工程在进行招标时，接到了甲、乙两个工程队的投标书，施工1天需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
(1)甲队单独完成这项工程，刚好如期完成：
(2)乙队单独完成这项工程，要比规定日期多用5天；
(3)若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
若在不耽误工期的情况下，你觉得哪种施工方案最节省工程款？请说明理由．
9、为了充分利用雨水资源，幸福村的小明家和相邻的爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法．已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水的面积、蓄水池的容积和蓄水池已有水量如下表：
小明家 爷爷家
屋顶收集雨水面积(m2) 160 120
蓄水池容积(m3) 50 13
蓄水池已有水量(m3) 34 11.5
气象预报即将会下雨，为了收集尽可能多的雨水，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？
答案：
知识要点：
列分式方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②找：找出相等关系；③设：设未知数；④列：列出方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；⑦答：写出答案.
易错点睛：
已知关于x的分式方程-2=的解为正数，则m的取值范围为______
【点睛】 不仅要考虑x为正数，还应考虑x≠1．
答案：m＜2且m≠1．
典例讲解：
题型一、工程问题
例1、一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元。
（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？
解：（1）解设甲公司单独完成此项公程需x天
根据题意得
解得
经检验是原分式方程的解
乙公司单独完成此项公程需天
答：甲、乙两公司单独完成此项公程分别需20天和30天
解设甲公司每天的施工费为y元
根据题意得
解得
乙公司每天的施工费为元
甲单独完成需元
乙单独完成需元
因此甲花费最少
解题策略：工程问题中的三个基本量：工作效率、工作时间、工作量，一般设出单独完成工作所需的时间，从而表示出工作效率.本题先设出甲、乙两队各自完成该工程所需的时间，再表示出他们各自的工作量，利用工作量之间的关系建立方程.
变式练习：
1、某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎么样调配劳动力才能使挖出的土能及时运走且不窝工，解决此问题可设派x人挖土，其他人运土，列方程： ．
答案：
2、甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是（ ）A
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
题型二、行程问题
例2、某人驾车从A地到B地，出发2小时后车子出了点毛病，耽搁了半小时修车，为了弥补耽搁的时间他将车速增加到后来的1.6倍，结果按时到达，已知A、B两地相距100千米，求某人原来驾车的速度.
解设他原来驾车的速度为x km/h.
根据题意得
解得
经检验是原分式方程的解
答：某人原来驾车的速度为30km/h
解题策略：行程问题中的三个基本量：路程、速度、时间.列分式方程解关于行程的应用题时，路程是一个可以从问题中找到的具体量，如果求时间，那么设出时间，通过速度建立等量关系列出方程；如果求速度，那么设出速度，通过时间建立等量关系列出方程.通常速度的单位用“km／h”，而节省或多用的时间有时用“min（分钟）”，在遇到这种单位不一致的情况时，要先统一单位.
变式练习：
3、一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（ ）A
A． B．
C． D．
4、农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x千米/时，则所列方程为 .答案：
题型三、销售问题
例3、为丰富校园文化生活，某校举办了成语大赛．学校准备购买一批成语词典奖励获奖学生．购买时，商家给每本词典打了九折，用 2880 元钱购买的成语词典，打折后购买的数量比打折前多 10 本．求打折前每本笔记本的售 价是多少元？
解：设打折前每本笔记本的售价是 x 元，由题意得： -
解得：x=32，
经检验：x=32 是原方程的解．答：打折前每本笔记本的售价是 32 元．
解题策略：销售问题中的三个基本量：销售额、单价、数量.列分式方程解关于销售的应用题时，销售额是一个可以从问题中找到的具体量，如果求单价，那么设出单价，通过数量建立等量关系列出方程；如果求数量，那么设出数量，通过单价建立等量关系列出方程.
变式练习：
5、佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若若干千克，并以每千克 8 元出售，很快售完；由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次题干 10﹪，用 1452 元所购买的数量比第一次多 20千克，以没千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为了减少损失，便降价 50﹪售完剩余 的水果。
（1）第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体是盈利还是亏损？盈利或亏损多少
解：（1）设第一次水果的进价是每千克 x 元。
依题意得： ，解得：x=6，经检验 x=6 是原方程的解。
第一次购买水果的数量是：1200÷6=200（千克） 第一次利润为：200×（8-6）=400（元）
第二次购买水果的数量是：200+20=220（千克）
第二次购买水果的进价是： 6×（1+10﹪）=6.6（元）、
第二次利润为：100×（9-6.6）+120×[9×(1-50﹪)-6.6]=-12
两次总利润是：400-12=388（元） 两次总体是盈利 388 元。
当堂练习：
1、某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。设原计划行军的速度为xkm/h，，则可列方程（ ）C
A． B.
C. D.
2、某车间要加工170个零件，在加工完90个以后改进了操作方法，每天可多加工10个，一共用5天完成了任务，若改进操作方法后每天加工x个零件，所列方程正确的是( )A
A. B.
C. D.
3、某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程 - ，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为( )D
A.每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B.每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C.每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成
D.每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成
4、某人承包1125平方米的铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，则原计划每天铺( )C
A.70平方米 B.65平方米 C.75平方米 D.85平方米
5、赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则所列方程为 .答案：
6、今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条列实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用1万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 元。 答案：
7、“六 一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用 2500 元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500 元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的 1.5 倍，但每套进价多了 10 元．
（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？
(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
解：（1）设第一批玩具每套的进价是 x 元，×1.5= ，x=50，
经检验 x=50 是分式方程的解，符合题意．答：第一批玩具每套的进价是 50 元；
设每套售价是 y 元，×1.5=75（套）．
50y+75y﹣2500﹣4500≥（2500+4500）×25%，y≥70，
答：如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 25%，那么每套售价至少是 70 元．
8、某工程在进行招标时，接到了甲、乙两个工程队的投标书，施工1天需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
(1)甲队单独完成这项工程，刚好如期完成：
(2)乙队单独完成这项工程，要比规定日期多用5天；
(3)若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
若在不耽误工期的情况下，你觉得哪种施工方案最节省工程款？请说明理由．
解：不耽误工期的的情况下，只能选择方案(1)或(3)．
设工程工期为x天，则有
＋＝1.
解得x＝20.
方案(1)需工程款：1.5×20＝30万元．
方案(3)需工程款：1.5×4＋1.1×20＝28万元，
∴方案(3)最节省工程款且不耽误工期．
9、为了充分利用雨水资源，幸福村的小明家和相邻的爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法．已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水的面积、蓄水池的容积和蓄水池已有水量如下表：
小明家 爷爷家
屋顶收集雨水面积(m2) 160 120
蓄水池容积(m3) 50 13
蓄水池已有水量(m3) 34 11.5
气象预报即将会下雨，为了收集尽可能多的雨水，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？
解：设下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取x立方米的水注入小明家的蓄水池，由题意，得
＝.
解得x＝6.
经检验，x＝6是所列方程的解，且符合题意．
答：下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取6立方米的水注入小明家的蓄水池。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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