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期末复习专项训练（四）—立体几何—二面角大题2
1．如图，四边形是正方形，四边形是菱形，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的二面角的正弦值．
2．如图1，在直角梯形中，，，，作，为垂足，将沿折到位置，如图2所示．
（1）证明：平面平面；
（2）当四棱锥体积最大时，平面与平面所成角的余弦值为，求此时四棱锥的体积．
3．图1是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得二面角的平面角为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由．
4．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
（1）求证：；
（2）点在线段上，二面角的余弦值为，求三棱锥体积．
5．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，且平面，为线段上一点，且平面将四棱锥分成体积比为的两部分．
（1）求证：平面平面；
（2）若与平面所成的角为，求二面角的大小．
6．如图，四边形是一个边长为2的菱形，且，现沿着将折到的位置，使得平面平面，，是线段，上的两个动点（不含端点），且．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值；
（3）设平面与平面所成锐二面角为，当时，求的值．
期末复习专项训练（四）—立体几何—二面角大题2答案解析
1．如图，四边形是正方形，四边形是菱形，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的二面角的正弦值．
（1）证明：如图，连接交于点，连接，
四边形为正方形，，且为的中点．
又四边形为菱形，，
，，平面，平面，
又平面，
．
（2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设，
则，，
则，0，，，0，，，2，．
由（1）得，
又平面平面，平面平面，
平面，故，同理，
，0，，，1，，，2，，，1，，
令，，，，
因为，，
所以为平面的法向量，
因为，，
所以为平面的法向量，
设平面与平面所成的二面角为，，
，．
2．如图1，在直角梯形中，，，，作，为垂足，将沿折到位置，如图2所示．
（1）证明：平面平面；
（2）当四棱锥体积最大时，平面与平面所成角的余弦值为，求此时四棱锥的体积．
（1）证明：在图中，因为，，
所以在图2中有，，，
又因，所以平面，
因平面，故平面平面．
（2）解：当四棱锥体积最大时，平面平面，又平面与平面的交线为，所以，，，，所以平面．
又，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图1所示的空间直角坐标系，
设，，0，，，0，，，2，，
则，0，，，2，．
设平面的法向量为，，，
由，即．取，得，0，，
取平面的法向量为，0，，
由面与平面所成角的余弦值为，
得，即，解得，
此时的体积为．
3．图1是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得二面角的平面角为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）证明：连接，
由题意可得，，
因为，，
则四边形为菱形，
连接交于点，
则，
在中，，
所以，
因为，则，
所以，
又，且，
故平面，
又平面，
故平面平面；
（Ⅱ）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为；
（Ⅲ）解：假设在棱上存在点，使得二面角的平面角为，
，
则，
所以，，
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
可取，
所以，
解得，
此时．
4．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
（1）求证：；
（2）点在线段上，二面角的余弦值为，求三棱锥体积．
（1）证明：因为四边形是直角梯形，，，
所以，，
所以是等腰直角三角形，即，
因为平面，平面，
所以，
又，，平面，
故平面，又平面，
则；
（2）解：过点作于点，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
又平面的法向量为，
所以，
又二面角的余弦值为，
所以，
解得，
故．
5．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，且平面，为线段上一点，且平面将四棱锥分成体积比为的两部分．
（1）求证：平面平面；
（2）若与平面所成的角为，求二面角的大小．
（1）证明：因为平面，
所以，即，
所以为的中点，
由，得，
又底面是矩形，
所以，
同理，
所以，所以，
又因为平面，平面，
所以，且，
所以平面，
由于平面，
所以平面平面；
（2）依题意，建立空间直角坐标系如图所示，
不妨设，因为平面，
所以即为与平面所成的角，
故，
所以，
则，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，
由（1）可知，平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则因为，，
所以，
令，
所以，
故，
所以二面角的大小为．
6．如图，四边形是一个边长为2的菱形，且，现沿着将折到的位置，使得平面平面，，是线段，上的两个动点（不含端点），且．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值；
（3）设平面与平面所成锐二面角为，当时，求的值．
（1）证明：四边形是菱形，所以，
因为，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：连接交于，连接，
因为四边形是菱形，，所以，
平面平面，，所以平面，所以，
所以、、两两垂直，
所以可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，0，，，0，，，1，，
，1，0，，，1，，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，令，则，，
所以平面的一个法向量为，，，
又，1，，
设直线与平面所成的角为，
所以；
（3）解：由（2）知，，，，0，，
所以，，，，1，，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，令，得，，
所以平面的一个法向量为，，，
所以，，
平面与平面所成锐二面角为，，
所以，
整理得，解得．

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