资源简介

(共50张PPT)
北师版九年级下册 三角函数期末复习精编
直角三角形的边角关系精讲
一、 双基目标
1、理解并牢记：
①三个锐角三角形函数定义式；
②30°、45°、60°三类角的三角函数值；
③关于仰角、俯角、方位角以及坡度等概念
2、熟练掌握：
两种常考模型——“背靠背”型、“三角+矩形”型的解题方法.
二、能力目标
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学(导航领域）、测绘学、工程学等其他学科中都有着广泛的应用。初中阶段通过本章的学习和训练可以强化学生对三角函数初步的理解和掌握，为高中的后续学习奠定基础，同时也深刻体会到“三角函数”作为研究现实世界的数学工具的重要性.
本章知识结构梳理
锐角三角函数
1、锐角三角函数的定义
⑴、正弦；
⑵、余弦；
⑶、正切。
2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。
3、解直角三角形
⑴、定义；
⑵、直角三角形的性质
①、三边间关系；
②、锐角间关系；
③、边角间关系。
⑶、解直角三角形在实际问题中
的应用。
常用的两类三角比
（2021湖北十堰）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（　　）
【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义求出DE的长，由CE＝CD+DE即可得出结论．
例1
常用的两类三角比
【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，
∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴DE＝AD tan∠EAD＝15× ＝5 （m），
∴CE＝CD+DE＝（5 +1.5）（m）．
故选：D．
【点评】本题主要考查解直角三角形在实际生活中的应用，含30°的直角三角形等，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
（2021通辽）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据： ≈1.732）
【分析】如图，作AD⊥BC于D．由题意得到BC=1.5×40＝60（m），∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，在Rt△ACD中，由三角函数的定义得到AD＝CD，在Rt△ABD中，由三角函数的定义得到BD＝
，根据BC＝BD﹣CD即可求出AD．
例2
常用的两类三角比
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D．
由题意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
（2021海南）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0， ），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 .
常用的两类三角比
【分析】过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．只要求出AG、OG，则可求出顶点A的坐标．
例3
【解答】解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．
∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ABG＝∠BCO．
∴OG＝1+3＝4，
∴顶点A的坐标是（4， ）．
故答案为：（4， ）．
（2021广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（　　）
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，在Rt△BB'C'中，由勾股定理可求BB'的长，即可求解．
例4
常用的两类三角比
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ = ＝10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，
∴BC'＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出BB'长是解题的关键
（2021贵州毕节）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（　　）
【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则AE＝DF，在Rt△DCF中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE，在Rt△ABE中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE．
跟踪练习
常用的两类三角比
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴AE＝DF，
在Rt△ABE中，
AE＝ABsin45°＝4 ，
在Rt△DCF中，
∵∠DCB＝30°，
“背靠背”型
知识要点回顾
仰角和俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
（2021河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．
例1
“背靠背”型
【分析】根据tan∠DAC＝ ＝tan37.5°≈0.77，列出方程即可解决问题．
典例精讲
【分析】根据tan∠DAC＝ ＝tan37.5°≈0.77，列出方程即可解决问题．
【解答】解：根据题意可知：∠DAB＝45°，
∴BD＝AD，
在Rt△ADC中，DC＝BD﹣BC＝（AD﹣4）m，∠DAC＝37.5°，
∵tan∠DAC＝ ，
∴tan37.5°＝ ≈0.77，
解得AD≈17.4m，
答：佛像的高度约为17.4 m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
（2020河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6 m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1 m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
“背靠背”型
典例精讲
例2
（2019河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，
≈1.73）
“背靠背”型
例3
典例精讲
（2017河南）如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？
（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ≈1.41）
“背靠背”型
典例精讲
例4
【解答】解：如图作CE⊥AB于E．
在Rt△ACE中，∵∠A＝45°，
∴AE＝EC，设AE＝EC＝x，则BE＝x﹣5，
在Rt△BCE中，
∵tan53°＝ ，
∴
＝ ，
解得x＝20，
∴AE＝EC＝20，
∴AC＝20 ＝28.2，
BC＝ ＝25，
∴A船到C的时间≈ ＝0.94小时，B船到C的时间＝ ＝1小时，
∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援．
（2020广西崇左）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20 nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
“背靠背”型
【分析】（1）过B作BM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论；
（2）在Rt△BCM中，解直角三角形求得∠CBM＝60°，即可求得∠CBG＝45°，BC＝40 nmile，即可得到结论．
典例精讲
例5
【解答】解：（1）过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，
∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，
∴BM＝AM＝ AB＝20 nmile，
∴渔船航行20 nmile距离小岛B最近；
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40 nmile．
（2021山东枣庄）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米，参考数据： ≈1.732， ≈1.414）
跟踪练习
【分析】在两个直角三角形中求出AO、BO，进而计算出AB，最后求出速度即可．
【解答】解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，
在Rt△AOD中，
∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，
∴OA＝ AD＝2000（米），OD＝ AD＝2000 （米），
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，
∴AB＝OB﹣OA＝2000 ﹣460﹣2000≈1004（米），
∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），
答：火箭的速度约为335米/秒．
（2021鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4√2km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）
例6
【分析】（1）根据题意得到∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，过点B作BD⊥AP于D点，求得AD＝BD＝4，得到∠PBD＝60°，由BD＝4，求得PD=4√3，于是得到结论；
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
【解答】解：（1）依题意知：∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，
过点B作BD⊥AP于D点，
∵∠DAB＝45°，AB=4√2，
∴AD＝BD＝4，
∵∠ABD＝∠GBD＝45°，∠GBP＝15°，
∴∠PBD＝60°，
∵BD＝4，
∴PD=4√3，
∴PA＝（4+4√3）（km）；
【分析】（2）过点P作PE⊥BC于E，根据∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，求得∠PBE＝60°，得到BE＝4，PE=4√3，根据BC＝12，于是得到结论．
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）
（2）∵∠PBD＝60°，BD＝4，
∴PB＝8，
过点P作PE⊥BC于E，
∵∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，
∴∠PBE＝60°，
∵PB＝8，
∴BE＝4，PE=4√3 ，
∵BC＝12，
∴CE＝8，
∴PC＝4
（km）．
“三角+矩形”型
（ （2020江苏南通）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为　 　m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
“三角+矩形”型
【分析】作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝ ，
∴AE＝tan∠ADE DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5．
例1
典例精讲
（2015河南）如图所示，某学校活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B处的仰角是300，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B处的仰角是480，若坡角∠FAE=300,求大树的高。（结果保留整数，参考数据：sin480≈0.74，con480≈0.67，tan480≈1.11，√3≈1.73）
三角+矩形
例2
“三角+矩形”型
典例精讲
延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H．
由题意知：∠DAE＝∠BGA＝30°,DA＝6，∴GD＝DA＝6．
∴GH＝AH＝DA·cos30°＝6× = .∴GA＝6
＝
（2018河南）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离，某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答#网]
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm，低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°，求高、低杠间的水平距离CH的长。
（结果精确到1cm，参考数据：sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500。sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
例3
“三角+矩形”型
典例精讲
（2020湖北荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，
≈1.73）
“三角+矩形”型
例4
典例精讲
（1）求∠ABE的度数；
【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，由平行线的性质得出∠ABD＝∠NAB＝30°，求出∠DBE＝105°，则可得出答案；
【解答】解：（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，
∵AN∥BD，
∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；
“三角+矩形”型
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（2）BE＝5×2＝10（海里），
在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，
∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），
BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7（海里），
在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB×sin30°＝20× ＝10（海里），
BD＝AB×cos30°
=20× ＝10 ≈10×1.73＝17.3（海里），
∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，
∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，
∴四边形BDCF为矩形，
∴DC＝BF＝9.7，FC＝BD＝17.3（海里），
∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7（海里），
CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9（海里），
“三角+矩形”型
（2021湖北荆州） 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 　 　cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94 ， ≈1.73）
【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，从而解决问题．
例5
“三角+矩形”型
典例精讲
【解答】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
在Rt△ABM中，
∵∠BAE＝60°，AB＝16，
∴BM＝sin60° AB＝ ×16＝8 （cm）
∠ABM＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，
又∵BC＝8，
∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），
∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8 ﹣7.52≈6.3（cm），
即点C到AE的距离约为6.3cm，
故答案为：6.3．
（2020山东菏泽）某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为 ，点A 到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．
【分析】过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，在Rt△ABE中，根据坡度i=1:2.4及勾股定理求出BE和AE的长，进而由三个角是直角的四边形是矩形判断四边形BEDF是矩形，得到BF和FD的长，再在Rt△BCF中，根据∠CBF的正切函数解直角三角形，得到CF的长，由CD=CF+FD得解．
跟踪练习
【详解】解：如下图，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，
在Rt△ABE中，AB=52，
∵i=1:2.4
∴tan∠BAE= = ，
∴AE=2.4BE，
又∵BE2+AE2=AB2，
∴BE2+(2.4BE)2=522，
解得：BE=20，
∴AE=2.4BE=48；
∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴FD=BE=20，BF=ED=AD-AE=72-48=24；
在Rt△BCF中，
∴CD=CF+FD=32+20=52．
答：大楼的高度CD为52米．
（2020陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．
【分析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN．
跟踪练习
【解答】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，
∴∠CEF＝∠BFE＝90°，
∵CA⊥AM，NM⊥AM，
∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，
∴CE＝BF，ME＝AC，
∠1＝∠2，
∴△BFN≌△CEM（ASA），
∴NF＝EM＝31+18＝49，
由矩形性质可知：EF＝CB＝18，
∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．
答：商业大厦的高MN为80m．
(2020重庆B卷如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为（ ）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A.23米 B.24米 C.24.5米 D.25米
提示：如图，作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G.易求得EF=30，DF=72，
EG=150，AG=139.5.
并注意AB+BC=AG+CG.答案D.
跟踪练习
（2021湖南常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）
（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）
【分析】先过点E作EM⊥CG于M，在Rt△DEM中，∠DAM＝45°得到DM＝EM＝15.8米，即可求得DG＝17.2米，进而求得DN＝15.4米，再在Rt△CNF中，利用锐角三角函数，求得CN，即可根据CD＝CN﹣DN求得即可．
跟踪练习
【解答】解：作EM⊥CG于M，FN⊥CG于N，
由题意得GB＝AG+AB＝15.8+24.2＝40（米），
则FN＝GB＝40米，
在Rt△EDM中，∠DEM＝45°，
∴DM＝EM＝15.8米，
∵MG＝AE＝1.4米，
∴DG＝DM+MG＝15.8+1.4＝17.2（米），
∵NG＝FB＝1.8米，
∴DN＝17.2﹣1.8＝15.4（米），
在Rt△CNF中，∠CFN＝23°，
∵tan∠CFN＝ ≈0.4245，
∴CN＝0.4245×40≈17.0（米），
∴CD＝CN﹣DN＝17.0﹣15.4＝1.6（米）故国旗的宽度CD约为1.6米．中小学教育资源及组卷应用平台
直角三角形的边角关系精讲
一、 双基目标
1、理解并牢记：
①三个锐角三角形函数定义式；
②30°、45°、60°三类角的三角函数值；
③关于仰角、俯角、方位角以及坡度等概念
2、熟练掌握：
两种常考模型——“背靠背”型、“三角+矩形”型的解题方法.
二、能力目标
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学(导航领域）、测绘学、工程学等其他学科中都有着广泛的应用。初中阶段通过本章的学习和训练可以强化学生对三角函数初步的理解和掌握，为高中的后续学习奠定基础，同时也深刻体会到“三角函数”作为研究现实世界的数学工具的重要性.
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
本章知识结构梳理
【例1】（2021湖北十堰）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗
杆的高度是（　　）
A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m
【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义求出DE的长，由CE＝CD+DE即可得出结论．
【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，
∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴DE＝AD tan∠EAD＝15× ＝5（m），
∴CE＝CD+DE＝（5+1.5）（m）．
故选：D．
【点评】本题主要考查解直角三角形在实际生活中的应用，含30°的直角三角形等，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
【例2】（2021通辽）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：√3 ≈1.732）
【分析】如图，作AD⊥BC于D．由题意得到BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，在Rt△ACD中，由三角函数的定义得到AD＝CD，在Rt△ABD中，由三角函数的定义得到BD＝，根据BC＝BD﹣CD即可求出AD．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D．
由题意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，
∴AD＝CD，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，
∴BD＝，
∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），
∴AD＝30（+1）≈82（m），
答：此段河面的宽度约82m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题．
【例3】（2021海南）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 　（4，）　．
【分析】过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．只要求出AG、OG，则可求出顶点A的坐标．
【解答】解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．
∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），
∴OC＝，OB＝1，
∴BC＝＝2．
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝＝＝＝2．
∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ABG＝∠BCO．
∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，
∴AG＝，BG＝3．
∴OG＝1+3＝4，
∴顶点A的坐标是（4，）．
故答案为：（4，）．
【点评】此题考查的是解直角三角形，利用点的坐标特点求得AG、OG的长是解决此题关键．
【例4】（2021广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，在Rt△BB'C'中，由勾股定理可求BB'的长，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，
∴BC'＝4，
∴B'B＝＝＝4，
∴sin∠BB′C′＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出BB'长是解题的关键．
【变式训练】（2021贵州毕节）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（　　）
A．6m B．8m C．4m D．8m
【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则AE＝DF，在Rt△DCF中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE，在Rt△ABE中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴AE＝DF，
在Rt△ABE中，
AE＝ABsin45°＝4，
在Rt△DCF中，
∵∠DCB＝30°，
∴DF＝CD，
∴CD＝2DF＝2×4＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了梯形，解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．
【例5】（2021河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．
【分析】根据tan∠DAC＝＝tan37.5°≈0.77，列出方程即可解决问题．
【解答】解：根据题意可知：∠DAB＝45°，
∴BD＝AD，
在Rt△ADC中，DC＝BD﹣BC＝（AD﹣4）m，∠DAC＝37.5°，
∵tan∠DAC＝，
∴tan37.5°＝≈0.77，
解得AD≈17.4m，
答：佛像的高度约为17.4 m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
【例6】（2020河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6 m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1 m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【分析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；
（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【解答】解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AED＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝16+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝＝＝0.40，
∴x≈10.7（m），
∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；
（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，
∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3m，
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
【例7】（2019河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，√3≈1.73）
【例8】如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）
【分析】如图作CE⊥AB于E．设AE=EC=x，则BE=x﹣5，在Rt△BCE中，根据tan53°=，可得=，求出x，再求出BC、AC，分别求出A、B两船到C的时间，即可解决问题．
【解答】解：如图作CE⊥AB于E．
在Rt△ACE中，∵∠A=45°，
∴AE=EC，设AE=EC=x，则BE=x﹣5，
在Rt△BCE中，
∵tan53°=，
∴=，
解得x=20，
∴AE=EC=20，
∴AC=20=28.2，
BC==25，
∴A船到C的时间≈=0.94小时，B船到C的时间==1小时，
∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【例9】（2020广西崇左）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
【分析】（1）过B作BM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论；
（2）在Rt△BCM中，解直角三角形求得∠CBM＝60°，即可求得∠CBG＝45°，BC＝40nmile，即可得到结论．
【解答】解：（1）过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，
∴BM＝AM＝AB＝20nmile，
∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；
（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，
∴BC＝＝2BM＝40nmile，
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40nmile．
【例10】（2020山东枣庄）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）
【分析】在两个直角三角形中求出AO、BO，进而计算出AB，最后求出速度即可．
【解答】解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，
在Rt△AOD中，
∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，
∴OA＝AD＝2000（米），OD＝AD＝2000（米），
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，
∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004（米），
∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），
答：火箭的速度约为335米/秒．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，理解两个直角三角形之间的关系是解决问题的关键．
【例11】（2021鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4√2km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）
【分析】（1）根据题意得到∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，过点B作BD⊥AP于D点，求得AD＝BD＝4，得到∠PBD＝60°，由BD＝4，求得，于是得到结论；
（2）过点P作PE⊥BC于E，根据∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，求得∠PBE＝60°，得到BE＝4，，根据BC＝12，于是得到结论．
【解答】解：（1）依题意知：∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，
过点B作BD⊥AP于D点，
∵∠DAB＝45°，，
∴AD＝BD＝4，
∵∠ABD＝∠GBD＝45°，∠GBP＝15°，
∴∠PBD＝60°，
∵BD＝4，
∴，
∴PA＝（4+4）（km）；
（2）∵∠PBD＝60°，BD＝4，
∴PB＝8，
过点P作PE⊥BC于E，
∵∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，
∴∠PBE＝60°，
∵PB＝8，
∴BE＝4，，
∵BC＝12，
∴CE＝8，
∴PC＝4（km）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
【例12】（2020江苏南通）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为　 　m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【分析】作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝tan∠ADE DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5．
【例13】（2015河南）如图所示，某学校活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B处的仰角是300，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B处的仰角是480，若坡角∠FAE=300,求大树的高。（结果保留整数，参考数据：sin480≈0.74，con480≈0.67，tan480≈1.11，√3≈1.73）
延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H．
由题意知：∠DAE＝∠BGA＝30°,DA＝6，∴GD＝DA＝6．
∴GH＝AH＝DA·cos30°＝6×＝.∴GA＝6.…………………2分
设BC的长为x米，左Rt△GBC中，GC＝＝＝……4分
在Rt△ABC中，AC＝＝………6分
∵GC－AC＝GA，∴x－＝6………8分
∴x≈13．即大树的高度约为13米．………………9分
【例14】（2018河南）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离，某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm，低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°，求高、低杠间的水平距离CH的长。
（结果精确到1cm，参考数据：sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500。sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
【解答】解：在Rt△ACE中，
∵tan∠CAE=，
∴AE==≈≈21（cm）
在Rt△DBF中，
∵tan∠DBF=，
∴BF==≈=40（cm）
∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm）
∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF
∴四边形CEFH是矩形，
∴CH=EF=151cm
答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．
【例15】（2020荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）
【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，由平行线的性质得出∠ABD＝∠NAB＝30°，求出∠DBE＝105°，则可得出答案；
（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，证明四边形BDCF为矩形，得出DC，FC，求出CE的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，
∵AN∥BD，
∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；
（2）BE＝5×2＝10（海里），
在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，
∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），
BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7（海里），
在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB×sin30°＝20×＝10（海里），
BD＝AB×cos30°＝20×＝10≈10×1.73＝17.3（海里），
∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，
∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，
∴四边形BDCF为矩形，
∴DC＝BF＝9.7，FC＝BD＝17.3（海里），
∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7（海里），
CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9（海里），
设快艇的速度为v海里/小时，则v＝＝9.85（海里/小时）．
答：快艇的速度为9.85海里/小时，C，E之间的距离为19.9海里．
【例16】如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 　6.3　cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）
【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，从而解决问题．
【解答】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
在Rt△ABM中，
∵∠BAE＝60°，AB＝16，
∴BM＝sin60° AB＝×16＝8（cm），
∠ABM＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，
又∵BC＝8，
∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），
∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），
即点C到AE的距离约为6.3cm，
故答案为：6.3．
【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
【例17】（2020山东菏泽）某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i=1:2.4，点A 到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．
【详解】解：如下图，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，
在Rt△ABE中，AB=52，
∵
∴tan∠BAE==，
∴AE=2.4BE，
又∵BE2+AE2=AB2，
∴BE2+(2.4BE)2=522，
解得：BE=20，
∴AE=2.4BE=48；
∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴FD=BE=20，BF=ED=AD-AE=72-48=24；
在Rt△BCF中，
tan∠CBF=，
即：tan53°==
∴CF=BF=32，
∴CD=CF+FD=32+20=52．
答：大楼的高度CD为52米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握仰角的定义，准确确定合适的直角三角形并且根据勾股定理或三角函数列出方程是解题的关键．
【例18】（2020陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．
【分析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，
∴∠CEF＝∠BFE＝90°，
∵CA⊥AM，NM⊥AM，
∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，
∴CE＝BF，ME＝AC，
∠1＝∠2，
∴△BFN≌△CEM（ASA），
∴NF＝EM＝31+18＝49，
由矩形性质可知：EF＝CB＝18，
∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．
答：商业大厦的高MN为80m．
【变式训练1】(2020重庆B卷）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为（ ）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A.23米 B.24米 C.24.5米 D.25米
提示：如图，作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G.易求得EF=30，DF=72，EG=150，AG=139.5.并注意AB+BC=AG+CG.答案D.
【变式训练2】（2021湖南常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）
（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）
【分析】先过点E作EM⊥CG于M，在Rt△DEM中，∠DAM＝45°得到DM＝EM＝15.8米，即可求得DG＝17.2米，进而求得DN＝15.4米，再在Rt△CNF中，利用锐角三角函数，求得CN，即可根据CD＝CN﹣DN求得即可．
【解答】解：作EM⊥CG于M，FN⊥CG于N，
由题意得GB＝AG+AB＝15.8+24.2＝40（米），
则FN＝GB＝40米，
在Rt△EDM中，∠DEM＝45°，
∴DM＝EM＝15.8米，
∵MG＝AE＝1.4米，
∴DG＝DM+MG＝15.8+1.4＝17.2（米），
∵NG＝FB＝1.8米，
∴DN＝17.2﹣1.8＝15.4（米），
在Rt△CNF中，∠CFN＝23°，
∵tan∠CFN＝≈0.4245，
∴CN＝0.4245×40≈17.0（米），
∴CD＝CN﹣DN＝17.0﹣15.4＝1.6（米）
故国旗的宽度CD约为1.6米．
【点评】本题主要考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，属于中考常考题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
直角三角形的边角关系精讲
一、 双基目标
1、理解并牢记：
①三个锐角三角形函数定义式；
②30°、45°、60°三类角的三角函数值；
③关于仰角、俯角、方位角以及坡度等概念
2、熟练掌握：
两种常考模型——“背靠背”型、“三角+矩形”型的解题方法.
二、能力目标
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学(导航领域）、测绘学、工程学等其他学科中都有着广泛的应用。初中阶段通过本章的学习和训练可以强化学生对三角函数初步的理解和掌握，为高中的后续学习奠定基础，同时也深刻体会到“三角函数”作为研究现实世界的数学工具的重要性.
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
本章知识结构梳理
【例1】（2021湖北十堰）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗
杆的高度是（　　）
A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m
【例2】（2021通辽）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：√3 ≈1.732）
【例3】（2021海南）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 　 　．
【例4】（2021广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练】（2021贵州毕节）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（　　）
A．6m B．8m C．4m D．8m
【例5】（2021河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．
【例6】（2020河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6 m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1 m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【例7】（2019河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，√3≈1.73）
【例8】如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）
【例9】（2020广西崇左）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
【例10】（2020山东枣庄）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）
【例11】（2021鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4√2km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）
【例12】（2020江苏南通）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为　 　m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【例13】（2015河南）如图所示，某学校活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B处的仰角是300，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B处的仰角是480，若坡角∠FAE=300,求大树的高。（结果保留整数，参考数据：sin480≈0.74，con480≈0.67，tan480≈1.11，√3≈1.73）
【例14】（2018河南）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离，某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm，低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°，求高、低杠间的水平距离CH的长。
（结果精确到1cm，参考数据：sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500。sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
【例15】（2020荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）
【例16】如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 　 　cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）
【例17】（2020山东菏泽）某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i=1:2.4，点A 到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．
【例18】（2020陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．
【变式训练1】(2020重庆B卷）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为（ ）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A.23米 B.24米 C.24.5米 D.25米
【变式训练2】（2021湖南常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）
（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑