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图形的相似精讲
一、 双基目标
1、熟练掌握“图形的相似”五个板块的知识体系；
2、针对九年级一模、二模以及全国中考的热点，重点掌握好：
①线段的比；
②相似三角形的性质与判定；
③位似与投影；
④相似模型及其它综合运用
二、能力目标
通过此章的复习需要学生系统掌握有关相似的4个热门考点的方法体系.
同时在与其它章节内容的综合考察中提升学生综合分析、解决问题的能力，为高中的深入学习奠定基础.
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
【例1】（1）（2020娄底）若＝＝（a≠c），则＝　 　．
（2）（2020湘潭）若，则________．
【例2】(2020吉林）如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝　 　．
【例3】（2020辽宁营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【例4】(2020金昌）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b为2米，则a约为（ ）
A.1.24米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.62米
【例5】（2020 绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
【例6】（2020 天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（　　）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
【例7】（2020天水）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（　　）
A． B．25 C．35 D．63
【例8】（2020广西）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【例9】（2020海南）如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）
A．16 B．17 C．24 D．25
【变式训练1】（2016烟台）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
【变式训练2】（2021山东菏泽）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 　 　．
【变式训练3】如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，AB'，AC'分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF ED的值为　 　．
【变式训练4】（2020·湖南益阳）如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（ ）
【例10】（2020海南）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．25 B．30 C．35 D．40
【例11】(2019·枣庄)如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'＝1,则A'D等于（ ）
A.2 B.3 C.4 D.
【例12】（2020荆州）如图矩形ABCD中，AB=20，点E是BC上一点，将沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时．
（1）求证：
（2）求AD的长；
（3）求的值．
【例13】（2021贵州毕节）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 　　m．
【例14】(2021浙江）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（　　）
【例15】如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（ ）
A．24m B．25m C．28m D．30m
【例16】（2017毕节）如图，在 ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．
（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．
【例17】（2016东营市）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为1/3，把△ABO缩小，则点A的对应点A′ 的坐标是( )
A．（-1，2）　 B．（-9，18）　　　
C．（-9，18）或（9，-18）　 D．（-1，2）或（1，-2）
【变式训练1】（2020·重庆中考真题）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
【例18】（2021山东东营）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
【变式训练】
【变式训练2】（2020 嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）
【变式训练3】在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是________．
【例19】（模型专讲） 如图，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=√3，BC=1。连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R。
（1）求证：△BFG∽△FEG；
（2）求出BF的长。
【例20】（2021内蒙）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 　 　．
【例21】如图，已知 AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=2DE，连接 BE 并延长交AC于点 F.
（1）求证∶AF=FC;
（2）求BF：EF的值.
【例22】（2019·凉山）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC = 1∶2，O是BD的中点，连接A0并延长交BC 于 E，则BE∶EC=（ ）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶3
【例23】（2021辽宁营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝　 　．
【变式训练】将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE/EC的值是 .
【例24】（树影型）（广州二模）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点 D 。
（1）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明;
（2）如果AC=6，BC=8，求 AD的长.
【例25】（树影型）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高.下列结论
①CD2=AD·BD; ②AC =AD·AB; ③BC =AB·BD; ④BD =AC·BC，
不正确的是 .
【例26】（树影型）已知∶如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角线AC BD相交于点O，BE∶ED=1∶3，AB=6cm，则AC的长度为____cm.
【例27】（一线三直角模型） （2015达州市）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M．若AB＝6，BC＝9，则AM的长为__________．
【例28】（一线三直角模型）（2021通辽）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（　　）
A． B． C．或 D．或
【例29】（一线三等角模型）在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，点D是 BC边上一点，过点D作∠ADE= 45°，DE交AC于点E，求证∶△ABD∽△ DCE.
【例30】（一线三等角模型）（2014本溪）如图，已知△ABC 和△ADE均为等边三角形、D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【例31】（一线三等角模型）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF．已知AB=AC=2，cosC=3/4，若以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
【例32】（动点相似问题） 如图，直线y＝－x＋8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．
【变式训练】（动点相似问题）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts．
求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【例33】（动点相似问题）如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=15时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
【例34】（动点相似问题）如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（　　）
A． 2处 B． 3处 C． 4处 D． 5处
【例35】（动点相似问题）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标.
【变式训练】 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ACB和△PCQ相似？
（注意分∠CPQ=∠A，∠CPQ=∠B两种情况讨论）
【例3】如图，在长为15cm，宽为6cm的矩形ABCD中，截去一个矩形ABFE，使得留下的矩形EFCD与截去的矩形ABFE相似，则所截取的线段AE的长度可以是______ ．
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图形的相似精讲
一、 双基目标
1、熟练掌握“图形的相似”五个板块的知识体系；
2、针对九年级一模、二模以及全国中考的热点，重点掌握好：
①线段的比；
②相似三角形的性质与判定；
③位似与投影；
④相似模型及其它综合运用
二、能力目标
通过此章的复习需要学生系统掌握有关相似的4个热门考点的方法体系.
同时在与其它章节内容的综合考察中提升学生综合分析、解决问题的能力，为高中的深入学习奠定基础.
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
【例1】（1）（2020娄底）若＝＝（a≠c），则＝　 　．
（1）【分析】根据分比的性质即可求解．
【解答】解：∵＝＝（a≠c），
∴＝．
故答案为：．
（2）（2020湘潭）若，则________．
【分析】
根据比例的基本性质变形，代入求职即可；
【详解】由可设，，k是非零整数，
则．
故答案为：．
【例2】(2020吉林）如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝　 　．
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例性质求DF的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝，
∴DF＝2BD＝2×5＝10．
故答案为10．
【例3】（2020辽宁营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴＝＝，
∴的值为，
故选：A．
【例4】(2020金昌）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b为2米，则a约为（ ）
A.1.24米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.62米
【详解】
解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故a为：A
【例5】（2020 绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
【分析】根据对应边的比等于相似比，列式进行计算即可得解．
解：设投影三角尺的对应边长为xcm，
∵三角尺与投影三角尺相似，
∴8：x＝2：5，
解得x＝20．
故选：A．
【例6】（2020 天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（　　）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，
∴AC＝AB+BC＝14m，
∴，
解得，DC＝17.5，
即建筑物CD的高是17.5m，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【例7】（2020天水）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（　　）
A． B．25 C．35 D．63
【分析】由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△AEF＝S△ABC．
∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，
∴S△ABC＝25．
故选：B．
【例8】（2020广西）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，易证四边形EHDN是矩形，则DN＝x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
【例9】（2020海南）如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）
A．16 B．17 C．24 D．25
【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解答】解：∵在 ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，可得：AG＝6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，
∴△CEF的周长为16．
故选：A．
【变式训练1】（2016烟台）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
【解析】只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。选项C项不能判定两个三角形相似，故选C.
【变式训练2】（2021山东菏泽）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 　 　．
【分析】通过证明△AEM∽△ABC，可得，可求EF的长，由相似三角形的性质可得＝（）2＝，即可求解．
【解答】解：∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，
∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，
∴△AEM∽△ABC，
∴，
∴，
∴EF＝，
∴EM＝5，
∵△AEM∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM，
∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，利用相似三角形的性质求出EF的长是解题的关键．
【变式训练3】如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，AB'，AC'分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF ED的值为　 　．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ADB＝45°，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，
∴∠EAF＝∠BAC＝45°，
∵∠AEF＝∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴
∴EF ED＝AE2，
∵AE＝4，
∴EF ED的值为16，
故答案为：16．
【变式训练4】（2020·湖南益阳）如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（ ）
【分析】由矩形的性质和等边三角形的性质可得AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠EBA＝60°，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°，AB∥CD，AB＝CD，可得∠DAE＝∠CBE＝30°，由锐角三角函数可求cos∠DAC＝＝，由“SAS”可证∴△ADE≌△BCE，可得DE＝CE＝CD＝AB，通过证明△ABF∽△CEF，可得，通过排除法可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠EBA＝60°，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠CBE＝30°，故选项A不合题意，
∴cos∠DAE＝＝，故选项D不合题意，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴DE＝CE＝CD＝AB，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴，故选项C不合题意，
故选：B．
【例10】（2020海南）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．25 B．30 C．35 D．40
解：由已知得∠DCA=∠D′CA，
∵AB∥CD
∴∠DCA=∠BAC
∴∠D′CA=∠BAC
∴AF=CF，
【分析】过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，通过证明△EFG∽△CBG，可得GN：GM＝EF：BC＝1：2，可求GN，GM的长，由面积的和差关系可求解．
【解答】解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵EF＝AD，
∴EF＝BC，
∵AD∥BC，NG⊥AD，
∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，
∴GN：GM＝EF：BC＝1：2，
又∵MN＝BC＝6，
∴GN＝2，GM＝4，
∴S△BCG＝×10×4＝20，
∴S△EFG＝×5×2＝5，S矩形ABCD＝6×10＝60，
∴S阴影＝60﹣20﹣5＝35．
故选：C．
【例11】(2019·枣庄)如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'＝1,则A'D等于（ ）
A.2 B.3 C.4 D.
【解析】由平移可得,△ABC∽△A'MN,设相似比为k,
∵S△ABC＝16,S△A'MN＝9,∴k2＝16:9,∴k＝4:3,因为AD和A'D分别为两个三角形的中线,∴AD:A'D＝k＝4:3,∵AD＝AA'+A'D,∴AA':A'D＝1:3,∵AA'＝1,则A'D＝3,故选B.
【例12】（2020荆州）如图矩形ABCD中，AB=20，点E是BC上一点，将沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时．
（1）求证：
（2）求AD的长；
（3）求的值．
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质得出∠B=∠D=∠C=90°，由折叠的性质得出∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，证得∠EGC=∠GFH，则可得出结论；
（2）由面积关系可得出GH：AH=2：3，由折叠的性质得出AG=AB=GH+AH=20，求出GH=8，AH=12，则可得出答案；
（3）由勾股定理求出DG=16，设DF=FH=x，则GF=16-x，由勾股定理得出方程，解出x=6，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【详解】（1）证明：因为四边形ABCD是矩形
所以
，
(2)解：
(3)解：在直角三角形ADG中，
由折叠对称性知，
解得：x=6，
所以：HF=6
在直角三角形GHF中，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【例13】（2021贵州毕节）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 　　m．
【分析】由AB⊥BE，CD⊥BE，得到AB∥CD，推出△ECD∽△EAB，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
【解答】解：∵AB⊥BE，CD⊥BE，
∴AB∥CD，
∴△ECD∽△EAB，
∴＝，
∴＝，
解得：AB＝8.5，
答：路灯灯泡A离地面的高度AB为8.5米，
故答案为：8.5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行线的判定，证得△ECD∽△EAB是解题的关键．
【例14】(2021浙江）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（　　）
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴
∴AB＝2（m），
故选：A．
【例15】如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（ ）
A．24m B．25m C．28m D．30m
【答案】分析：由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．
解答：解：由两三角形相似可知， =
解得：AP=5m
∵AP=BQ，PQ=20m．
∴AB=AP+BQ+PQ=5m+5m+20m=30m．
故选D．
点评：本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用．应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
【例16】（2017毕节）如图，在 ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．
（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠D+∠C=180°,∠ABF=∠BEC,
∵∠AFB+∠AFE=180°,
∴∠C=∠AFB,∴△ABF∽△BEC;
(2)∵AE⊥DC,AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE=90°.
在Rt△ADE中,AE=AD·sinD=5×4/5=4.
在Rt△ABE中,根据勾股定理得:
BE=4√5.
∵BC=AD=5,由(1)得:△ABF∽△BEC,
∴AF：BC=AB：BE,即AF：5=8:4√5,
解得AF=2.
【例17】（2016东营市）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为1/3，把△ABO缩小，则点A的对应点A′ 的坐标是( )
A．（-1，2）　 B．（-9，18）　　　
C．（-9，18）或（9，-18）　 D．（-1，2）或（1，-2）
【变式训练1】（2020·重庆中考真题）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
【例18】（2021山东东营）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
【分析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．
【解答】解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
【变式训练】
【变式训练2】（2020 嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）
【变式训练3】在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是________．
【答案】（4，8）或（﹣4，﹣8）
【解析】
【分析】
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．
【详解】解：在同一象限内，
∵ABC与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比等于，A坐标为（2，4），
∴则点的坐标为：（4，8），
不在同一象限内，
∵ABC与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比等于，A坐标为（2，4），
∴则点A′的坐标为：（﹣4，﹣8），
故答案为：（4，8）或（﹣4，﹣8）．
【点睛】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
【例19】（模型专讲） 如图，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=√3，BC=1。连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R。
（1）求证：△BFG∽△FEG；
（2）求出BF的长。
(1)证明：∵△ABC≌△DCE≌△FEG．
　　∴BC＝CE＝EG＝ BG＝1，即BG＝3．
　　∴FG＝AB＝√3，∴ ＝ ＝√3．
　　又∠BGF＝∠FGE，∴△BFG∽△FEG．
　　（2）∵△FEG是等腰三角形，
∴△BFG是等腰三角形，
∴BF＝BG＝3．
【例20】（2021内蒙）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 　 　．
【分析】由∠ACB＝90°，BD⊥CD，MN⊥CB得AC∥MN∥BD，从而得△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，
由相似比，得到MN的长度．
【例21】如图，已知 AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=2DE，连接 BE 并延长交AC于点 F.
（1）求证∶AF=FC;
（2）求BF：EF的值.
【解析】（1）过D作DG//AC交BF于点G，则DG是△BCF的中位线
且△DEG∽△AEF，依据三角形中位线定理以及相似三角形的性质，
确定AF、FC与DG的关系即可证得.
【例22】（2019·凉山）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC = 1∶2，O是BD的中点，连接A0并延长交BC 于 E，则BE∶EC=（ ）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶3
【例23】（2021辽宁营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝　 　．
【分析】取AG的中点M，连接DM，根据ASA证△DMF≌△EGF，得出MF＝GF＝AM，根据等高关系求出△ADM的面积为2，根据△ADM和△ABG边和高的比例关系得出S△ADM＝S△ABG，从而得出梯形DMGB的面积为6，进而得出△BDE的面积为6，同理可得S△BDE＝S△ABC，即可得出△ABC的面积．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴D、E分别为AB、BC的中点，
如图过D作DM∥BC交AG于点M，
∵DM∥BC，
∴∠DMF＝∠EGF，
∵点F为DE的中点，
∴DF＝EF，
在△DMF和△EGF中，
，
∴△DMF≌△EGF（ASA），
∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，
∵点D为AB的中点，且DM∥BC，
∴AM＝MG，
∴FM＝AM，
∴S△ADM＝2S△DMF＝2，
∵DM为△ABG的中位线，
∴＝，
∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，
∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，
∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，
∵DE是△ABC的中位线，
∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，
故答案为：24．
【点评】本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，正确得出中位线分三角形的面积比例关系是解题的关键．
【变式训练】将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE/EC的值是 .
解：设AC=BC=x，则CD=√3x
∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴
故选：C．
点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【例24】（树影型）（广州二模）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点 D 。
（1）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明;
（2）如果AC=6，BC=8，求 AD的长.
（1）△ADC∽△CDB，△ADC∽△ACB，△BDC∽△BCA，
理由：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB；
（2）∵AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得：AB=10，
∵△ADC∽△ACB，
∴AC2=AD×AB，
∴AD==3.6．
【例25】（树影型）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高.下列结论
①CD2=AD·BD; ②AC =AD·AB; ③BC =AB·BD; ④BD =AC·BC，
不正确的是 .
【解析】由题中条件可推知
△ADC∽△CDB，△ADC∽△ACB，△BDC∽△BCA，
依据对应边成比例可发现④不成立.
【例26】（树影型）已知∶如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角线AC BD相交于点O，BE∶ED=1∶3，AB=6cm，则AC的长度为____cm.
解：设BE=x，因为BE：ED=1：3，故ED=3x，
根据射影定理，AD2=3x（3x+x），即36=12x2，x2=3；
∴x=√3；BE=√3．DE=3√3．
∴BD=4√3．又∵AC=BD，∴AC=4√3．
【例27】（一线三直角模型） （2015达州市）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M．若AB＝6，BC＝9，则AM的长为__________．
解：根据折叠的性质可知，FC=FC′，∠C=∠FC′M=90°，
设BF=x，则FC=FC′=9﹣x，
∵BF2+BC′2=FC′2，
∴x2+32=(9﹣x)2，
解得：x=4，
∵∠FC′M=90°，
∴∠AC′M+∠BC′F=90°，
又∵∠BFC′+BC′F=90°，
∴∠AC′M=∠BFC′
∵∠A=∠B=90°
∴△AMC′∽△BC′F
∵BC′=AC′=3，
∴AM=．
故答案为： ．
【例28】（一线三直角模型）（2021通辽）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（　　）
A． B． C．或 D．或
【分析】分类画出图形，设BE＝x，由折叠的性质表示出相关线段，再用勾股定理列方程即可解得BE的长．
【解答】解：①当MB'＝MN时，如图：
Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'＝AB＝1，
∴AM＝＝2，
∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，
∴四边形ABNM是矩形，
∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，
设BE＝x，则B'E＝x，EN＝2﹣x，
Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，
∴（2﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴BE的长为；
②当NB'＝MN时，如图：
∵NB'＝MN＝1，
∴MB'＝2，
设BE＝y，
同①可得y＝，
∴BE的长为，
综上所述，BE的长为或．
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形的性质及应用，解题的关键是分类画出图形，用勾股定理列方程解决问题．
【例29】（一线三等角模型）在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，点D是 BC边上一点，过点D作∠ADE= 45°，DE交AC于点E，求证∶△ABD∽△ DCE.
证明：∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠A=45°
∠1=180°-45°-∠BDA
∠2=180°-∠ADE-∠BDA=180°-45°-∠BDA
∴∠1=∠2
∴△ABD∽△DCE
【例30】（一线三等角模型）（2014本溪）如图，已知△ABC 和△ADE均为等边三角形、D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，
∴△ABD∽△AEF，
∴AB：BD=AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，
∴CD：CF=AE：EF，
∴AB：BD=CD：CF，
即9：3=（9-3）：CF，
∴CF=2．故选：B．
【例31】（一线三等角模型）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF．已知AB=AC=2，cosC=3/4，若以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
【解析】作AH⊥BC，垂足为H，在Rt△ACH中，CH=AC cosC=3/2，
∵AB=AC，∴BC=2CH=3，
∵以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，
∴B′F=B′C，∴FB′∥AB，
∴∠B′FE=∠FEB，
由折叠的性质可知，∠B′FE=∠BFE，∠FEB=∠FEB′，
∴四边形BFB′E为菱形，
设BF=x，则B′F=B′C=B′E=x，AB′=2-x，
∵B′E∥BC，∴△AEB′∽△ABC，
∴EB′:BC=AB′:AC，即x:3=(2-x):2，解得x=6/5．
故答案为：6/5．
本题考点：解直角三角形 翻折变换（折叠问题） 相似三角形的性质
【例32】（动点相似问题） 如图，直线y＝－x＋8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．
【变式训练】（动点相似问题）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts．
求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
解：(1)由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S＝ CP×CQ＝ (16﹣4t)×3t＝﹣6t2+24t(0(2)由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t，当t＝2秒时，CP＝16﹣4t＝8cm，CQ＝3t＝6cm，在Rt△CPQ中，由勾股定理得PQ＝10cm ；(3)由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t，
∵AC＝16cm，BC＝12cm．∴①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，CP:CA=CQ:CB，即(16-4t):16=3t:12，解得t＝2秒；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，CP:CB=CQ:CA，即(16-4t):12=3t:16，解得t＝ 秒．
因此t＝2秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【例33】（动点相似问题）如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=15时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
【例34】（动点相似问题）如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（　　）
A． 2处 B． 3处 C． 4处 D． 5处
【分析】过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的三角形与原三角形有一个公共角，只需作一个直角即可．
解答 解：∵截得的小三角形与△ABC相似，
∴过P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形满足题意，
则D点的位置最多有3处．
故选B．
点评 此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
【例35】（动点相似问题）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标.
【变式训练】 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ACB和△PCQ相似？
（注意分∠CPQ=∠A，∠CPQ=∠B两种情况讨论）
解：设同时运动ts时两个三角形相似，
【例3】如图，在长为15cm，宽为6cm的矩形ABCD中，截去一个矩形ABFE，使得留下的矩形EFCD与截去的矩形ABFE相似，则所截取的线段AE的长度可以是______ ．
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北师版九年级上册 图形的相似期末复习精编
图形的相似精讲
一、 双基目标
1、熟练掌握“图形的相似”五个板块的知识体系；
2、针对九年级一模、二模以及全国中考的热点，重点掌握好：
①线段的比；
②相似三角形的性质与判定；
③位似与投影；
④相似模型及其它综合运用
二、能力目标
通过此章的复习需要学生系统掌握有关相似的4个热门考点的方法体系.
同时在与其它章节内容的综合考察中提升学生综合分析、解决问题的能力，为高中的深入学习奠定基础.
知识导图
知识总回顾

图形的位似与投影

线段的比

相似三角形的性质与判定

相似模型专讲

动点相似、多边形相似
线段的比问题
典例精讲
线段的比问题
典例精讲
线段的比问题
典例精讲
(2020金昌）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b为2米，则a约为（ ）
A.1.24米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.62米
【详解】
解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故a为：A
反思：黄金分割比的定义.
线段的比问题
典例精讲
（2020 绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
相似的性质与判定问题
【分析】根据对应边的比等于相似比，列式进行计算即可得解．
解：设投影三角尺的对应边长为xcm，
∵三角尺与投影三角尺相似，
∴8：x＝2：5，
解得x＝20．
故选：A．
反思：相似三角形对应边成比例.
典例精讲
（2020 天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（　　）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
相似的性质与判定问题
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
反思：相似三角形对应边成比例.
典例精讲
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，
∴AC＝AB+BC＝14m，
∴
解得，DC＝17.5，
即建筑物CD的高是17.5m，
故选：A．
（2020·湖南永州）如图，在△ABC中， ，四边形BCFE的面积
为21，则△ABC的面积是（ ）
A． B．25 C．35 D．63
相似的性质与判定问题
反思：相似三角形面积之比=对应边比的平方.
典例精讲
（2020广西）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，易证四边形EHDN是矩形，则DN＝x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．
相似的性质与判定问题
反思：相似三角形对应边与对应高成比例.
典例精讲
【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴
＝
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴
＝
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
（2020海南）如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）
A．16 B．17 C．24 D．25
【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
相似的性质与判定问题
反思：相似三角形周长之比=对应边的比.
【解答】解：∵在 ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，可得：AG＝6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，
∴△CEF的周长为16．
故选：A．
（2016烟台）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
跟踪练习
【解析】只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。选项C项不能判定两个三角形相似，故选C.
（2021山东菏泽）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 　 　．
相似的性质与判定问题
跟踪练习
1：3
如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，AB'，AC'分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF ED的值为　 　．
【分析】根据正方形的性质得到∠BAC＝∠ADB＝45°，
根据旋转的性质得到∠EAF＝∠BAC＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
跟踪练习
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ADB＝45°，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，
∴∠EAF＝∠BAC＝45°，
∵∠AEF＝∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴
＝
∴EF ED＝AE2，
∵AE＝4，
∴EF ED的值为16，
故答案为：16．
（2020·湖南益阳）如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（ ）
跟踪练习
（2020海南）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．25 B．30 C．35 D．40
跟踪练习
【解答】解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵EF＝ AD，
∴EF＝ BC，
∵AD∥BC，NG⊥AD，
∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，
∴GN：GM＝EF：BC＝1：2，
又∵MN＝BC＝6，
∴GN＝2，GM＝4，
∴S△BCG＝ ×10×4＝20，
∴S△EFG＝ ×5×2＝5，
S矩形ABCD＝6×10＝60，
∴S阴影＝60﹣20﹣5＝35．
故选：C．
(2019·枣庄)如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'＝1,则A'D等于（ ）
A.2 B.3 C.4 D.
【解析】由平移可得,△ABC∽△A'MN,设相似比为k,
∵S△ABC＝16,S△A'MN＝9,∴k2＝16:9,∴k＝4:3,因为AD和A'D分别为两个三角形的中线,∴AD:A'D＝k＝4:3,∵AD＝AA'+A'D,∴AA':A'D＝1:3,∵AA'＝1,则A'D＝3,故选B.
跟踪练习
（2020荆州）如图矩形ABCD中，AB=20，点E是BC上一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时
（2）求AD的长；
相似的性质与判定问题
典例精讲
（2021贵州毕节）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 　　m．
位似与投影问题
【分析】由AB⊥BE，CD⊥BE，得到AB∥CD，推出△ECD∽△EAB，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
8.5
典例精讲
【解答】解：∵AB⊥BE，CD⊥BE，
∴AB∥CD，
∴△ECD∽△EAB，
∴
＝
∴
＝
解得：AB＝8.5，
答：路灯灯泡A离地面的高度AB为8.5米，
(2021浙江）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（　　）
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴
∴
∴AB＝2（m），
故选：A．
跟踪练习
位似与投影问题
如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（ ）
A．24m B．25m C．28m D．30m
跟踪练习
位似与投影问题
【答案】分析：由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．
解答：解：由两三角形相似可知， =
解得：AP=5m
∵AP=BQ，PQ=20m．
∴AB=AP+BQ+PQ=5m+5m+20m=30m．
故选D．
点评：本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用．应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
（2017毕节）如图，在 ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．
（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD= ，求AF的长．
相似的性质与判定问题
典例精讲
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠D+∠C=180°,∠ABF=∠BEC,
∵∠AFB+∠AFE=180°,
∴∠C=∠AFB,∴△ABF∽△BEC;
(2)∵AE⊥DC,AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE=90°.
在Rt△ADE中,AE=AD·sinD=5×=4.
在Rt△ABE中,根据勾股定理得:
BE=4√5.
∵BC=AD=5,由(1)得:△ABF∽△BEC,
∴AF：BC=AB：BE,即AF：5=8:4√5,
解得AF=2.
（2016东营市）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′ 的坐标是( ) A．（-1，2）　 B．（-9，18）　　　
C．（-9，18）或（9，-18）　D．（-1，2）或（1，-2）
位似与投影问题
典例精讲
（2020·重庆中考真题）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
位似与投影问题
（2021山东东营）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
【分析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．
【解答】解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
故选：A．
位似与投影问题
典例精讲
位似与投影问题
跟踪练习
（2020 嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）
.
跟踪练习
跟踪练习
A型
八字型
如图，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=√3，BC=1。连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R。
（1）求证：△BFG∽△FEG；
（2）求出BF的长。
(1)证明：∵△ABC≌△DCE≌△FEG．
　　∴BC＝CE＝EG＝ BG＝1，即BG＝3．
　　∴FG＝AB＝√3，∴ ＝ ＝√3．
　　又∠BGF＝∠FGE，∴△BFG∽△FEG．
　　（2）∵△FEG是等腰三角形，
∴△BFG是等腰三角形，
∴BF＝BG＝3．
典例精讲
（2021内蒙）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 　 　．
【分析】由∠ACB＝90°，BD⊥CD，MN⊥CB得AC∥MN∥BD，从而得△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，
由相似比，得到MN的长度．
典例精讲
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，
∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，
∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，
∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，
如图，已知 AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=2DE，连接 BE 并延长交AC于点 F.
（1）求证∶AF=FC;
（2）求BF：EF的值.
【解析】（1）过D作DG//AC交BF于点G，则DG是△BCF的中位线
且△DEG∽△AEF，依据三角形中位线定理以及相似三角形的性质，
确定AF、FC与DG的关系即可证得.
反思：”过中点（或倍点）处作平行线“构造”A、八“复合模型解题.
典例精讲
（2019·凉山）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC = 1∶2，O是BD的中点，连接A0并延长交BC 于 E，则BE∶EC=（ ）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶3
反思：”过中点（或倍点）处作平行线“构造”A、八“复合模型解题.
典例精讲
（2021辽宁营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝　 　．
【分析】取AG的中点M，连接DM，根据ASA证△DMF≌△EGF，得出MF＝GF＝ AM，根据等高关系求出△ADM的面积为2，根据△ADM和△ABG边和高的比例关系得出S△ADM＝ S△ABG，从而得出梯形DMGB的面积为6，进而得出△BDE的面积为6，同理可得S△BDE＝ S△ABC，即可得出△ABC的面积．
反思：”过中点（或倍点）处作平行线“构造”A、八“复合模型解题.
典例精讲
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴D、E分别为AB、BC的中点，
如图过D作DM∥BC交AG于点M，
∵DM∥BC，
∴∠DMF＝∠EGF，
∵点F为DE的中点，
∴DF＝EF，
在△DMF和△EGF中，
∴△DMF≌△EGF（ASA），
∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，
，
∵点D为AB的中点，且DM∥BC，
∴AM＝MG，
∴FM＝ AM ，
∴S△ADM＝2S△DMF＝2，
∵DM为△ABG的中位线，
∴
＝
∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，
∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，
∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，
∵DE是△ABC的中位线，
∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，
故答案为：24．
将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 .
跟踪练习
【分析】 设AC=BC=x，则CD=√3x.证AB∥CD
得△ABE∽△DCE，
得出对应边成比例，即可得出答案．
解：设AC=BC=x，则CD=√3x
∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴
故选：C．
点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
双垂直型
三垂直型
直角型
一线三等角型：
（1）有三对相似三角形：
△ACD∽△CBD
△CBD∽△ABC
△ACD∽△ABC
ＣＤ２＝ＡＤ×ＢＤ
ＢＣ２＝ＢＤ×ＡＢ
ＡＣ２＝ＡＤ×ＡＢ
射影定理
墙
树
树
影子
影子
墙2=影子之积
树2=影子×影子和
（广州二模）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点 D 。
（1）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明;
（2）如果AC=6，BC=8，求 AD的长.
典例精讲
（1）△ADC∽△CDB，△ADC∽△ACB，△BDC∽△BCA，
理由：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB；
（2）∵AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得：AB=10，
∵△ADC∽△ACB，
∴AC2=AD×AB，
∴AD==3.6．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高.下列结论
①CD2=AD·BD; ②AC =AD·AB; ③BC =AB·BD; ④BD =AC·BC，
不正确的是 .
④
【解析】由题中条件可推知
△ADC∽△CDB，△ADC∽△ACB，△BDC∽△BCA，
依据对应边成比例可发现④不成立.
反思：墙2=影子之积; 树2=影子×影子和
典例精讲
反思：墙2=影子之积; 树2=影子×影子和
已知∶如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角线AC BD相交于点O，BE∶ED=1∶3，AB=6cm，则AC的长度为____cm.
解：设BE=x，因为BE：ED=1：3，故ED=3x，
根据射影定理，AD2=3x（3x+x），即36=12x2，x2=3；
∴x=√3；BE=√3．DE=3√3．
∴BD=4√3．又∵AC=BD，∴AC=4√3．
典例精讲
反思：墙2=影子之积; 树2=影子×影子和
B
反思：墙2=影子之积; 树2=影子×影子和
6
(8，0)
反思：墙2=影子之积; 树2=影子×影子和
（安顺中考）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且PIP2⊥P2P3，P2P3⊥ P3P4.若点P1，P2的坐标分别为（0，一1），（-2，0），则点P4的坐标为 。
（2015达州市）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M．若AB＝6，BC＝9，则AM的长为__________．
【分析】先根据勾股定理求出BF，再根据△AMC′∽△BC′F，
求出AM即可。
反思：“斜放直角”——构造“一线三垂直”模型
典例精讲
解：根据折叠的性质可知，FC=FC′，∠C=∠FC′M=90°，
设BF=x，则FC=FC′=9﹣x，
∵BF2+BC′2=FC′2，
∴x2+32=(9﹣x)2，
解得：x=4，
∵∠FC′M=90°，
∴∠AC′M+∠BC′F=90°，
又∵∠BFC′+BC′F=90°，
∴∠AC′M=∠BFC′
∵∠A=∠B=90°
∴△AMC′∽△BC′F
∵BC′=AC′=3，
∴AM= ．
故答案为： ．
（2021通辽）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（　　）
反思：“斜放直角”——构造“一线三垂直”模型
【分析】分类画出图形，设BE＝x，由折叠的性质表示出相关线段，再用勾股定理列方程即可解得BE的长．
典例精讲
1
2
在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，点D是 BC边上一点，过点D作∠ADE= 45°，DE交AC于点E，求证∶△ABD∽△ DCE.
证明：∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠A=45°
∠1=180°-45°-∠BDA
∠2=180°-∠ADE-∠BDA=180°-45°-∠BDA
∴∠1=∠2
∴△ABD∽△DCE
反思：利用“一线三等角”相似解题.
典例精讲
1
2
（2014本溪）如图，已知△ABC 和△ADE均为等边三角形、D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，
∴△ABD∽△AEF，
∴AB：BD=AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，
∴CD：CF=AE：EF，
∴AB：BD=CD：CF，
即9：3=（9-3）：CF，
∴CF=2．故选：B．
反思：利用“一线三等角”相似解题.
典例精讲
将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF．已知AB=AC=2，cosC=，若以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
反思：利用“一线三等角”相似解题.
典例精讲
【解析】作AH⊥BC，垂足为H，在Rt△ACH中，CH=AC cosC=，
∵AB=AC，∴BC=2CH=3，
∵以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，
∴B′F=B′C，∴FB′∥AB，
∴∠B′FE=∠FEB，
由折叠的性质可知，∠B′FE=∠BFE，∠FEB=∠FEB′，
∴四边形BFB′E为菱形，
设BF=x，则B′F=B′C=B′E=x，AB′=2-x，
∵B′E∥BC，∴△AEB′∽△ABC，
∴EB′:BC=AB′:AC，即x:3=(2-x):2，解得x=．
故答案为：．
本题考点：解直角三角形 翻折变换（折叠问题） 相似三角形的性质
如图，直线y＝－ x＋8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．
动点相似的探究类问题
典例精讲
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts．
求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
动点相似的探究类问题
跟踪练习
解：(1)由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S＝ CP×CQ＝ (16﹣4t)×3t＝﹣6t2+24t(0(2)由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t，当t＝2秒时，CP＝16﹣4t＝8cm，CQ＝3t＝6cm，在Rt△CPQ中，由勾股定理得PQ＝10cm ；(3)由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t，
∵AC＝16cm，BC＝12cm．∴①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，CP:CA=CQ:CB，即(16-4t):16=3t:12，解得t＝2秒；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，CP:CB=CQ:CA，即(16-4t):12=3t:16，解得t＝ 秒．
因此t＝2秒或t＝ 秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=15时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
动点相似的探究类问题
典例精讲
如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（　　）
A． 2处 B． 3处 C． 4处 D． 5处
分析 过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的三角形与原三角形有一个公共角，只需作一个直角即可．
解答 解：∵截得的小三角形与△ABC相似，
∴过P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形满足题意，
则D点的位置最多有3处．
故选B．
点评 此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
动点相似的探究类问题
典例精讲
如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标.
动点相似的探究类问题
典例精讲
相似多边形问题
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ACB和△PCQ相似？
（注意分∠CPQ=∠A，∠CPQ=∠B两种情况讨论）
设同时运动ts时两个三角形相似，
动点相似的探究类问题
跟踪练习
相似多边形问题
【例3】如图，在长为15cm，宽为6cm的矩形ABCD中，截去一个矩形ABFE，使得留下的矩形EFCD与截去的矩形ABFE相似，则所截取的线段AE的长度可以是______ ．
相似多边形问题

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