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陕西省中考数学历年真题模拟题汇编——二次函数
一、单选题
1．（2016·陕西）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0），
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点C（﹣1，4），
如图所示，作CD⊥AB于D．
在Rt△ACD中，tan∠CAD= = =2，
故答案为D．
【分析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD= 即可计算．本题考查二次函数与x轴交点坐标，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握求抛物线与x轴交点坐标的方法，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
2．（2021·陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
… -2 0 1 3 …
… 6 -4 -6 -4 …
下列各选项中，正确的是
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当 时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为 ，
依题意得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 = ，
∵ ，
∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；
∵ ，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；
∵ ，∴当 时，这个函数有最小值 ，故C选项符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为( ， )，
∴当 时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据表格中的信息用待定系数法可求得二次函数的解析式，并将解析式化为顶点式；
A、根据a=1＞0可知，这个函数的图象开口向上；
B、计算b2-4ac=25＞0，根据一元二次方程的根的判别式可判断这个函数的图象与x轴有两个不同的交点；
C根据顶点式可知，当x=时，函数有最小值为-＜-6；
D、根据顶点式可知当x＞时，函数y的值随x值的增大而增大.
3．（2020·陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位.则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ，
该抛物线顶点坐标是 ， ，
将其沿 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是 ， ，
，
，
，
，
点 ， 在第四象限；
故答案为： .
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合 的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可.
4．（2019·陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线 与 关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　）
A．m= ,n= B．m=5，n= -6
C．m= -1，n=6 D．m=1，n= -2
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：关于y轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，
∴ ，
解之得 ，
故答案为：D。
【分析】根据抛物线的对称性，由 抛物线 与 关于y轴对称 可知二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，从而列出方程组，求解即可。
5．（2018·陕西）对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】由题意得：a+(2a-1)+a-3>0，解得：a>1，
∴2a-1>0，
∴ <0， ，
∴抛物线的顶点在第三象限，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，得出关于a不等式，求解得出a的取值范围，然后根据抛物线的顶点坐标公式判断出抛物线顶点横纵坐标的正负，即可得出答案。
6．（2017·陕西）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（　　）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4．
∴点M（m，﹣m2﹣4）．
∴点M′（﹣m，m2+4）．
∴m2+2m2﹣4=m2+4．
解得m=±2．
∵m＞0，
∴m=2．
∴M（2，﹣8）．
故答案为：C．
【分析】将二次函数的解析式化成顶点式：y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4从而得出点M（m，﹣m2﹣4）．由已知条件得出点M′（﹣m，m2+4）；代入解析式求出m=±2；由m＞0，得出M坐标．
7．（2021·陕西模拟）若点 是抛物线 上的点，且抛物线与 轴至多有一个交点，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+2x+m与x轴至多有一个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣2）m≤0，
解得m≤﹣ ，
∴点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，
∴n＝﹣2m2+2m+m，
∴m﹣n＝2m2﹣2m＝2（m﹣ ）2﹣ ，
∵m≤﹣ ，
∴当m＝﹣ 时，m﹣n有最小值，最小值为2×（﹣ ﹣ ）2﹣ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】利用抛物线y＝﹣2x2+2x+m与x轴至多有一个交点，可得到b2-4ac≤0，建立关于m的不等式，求出不等式m的取值范围；再根据点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，可得到m﹣n关于m的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出m-n的最小值.
8．（2021·陕西模拟）已知二次函数 的图象经过点 ， ，且 ，则 的值不可能是（　　）
A．-2 B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0），
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m，
∵图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，
∴m+1＜3﹣m或m≤﹣1
解得m＜1，
故答案为：D.
【分析】 根据二次函数图象上点的坐标特征，即当抛物线的开口向上时，离对称轴越远值越大，则可得到m+1＜3-m或m≤-1，从而求出m的范围即可判断.
9．（2021·陕西模拟）当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线.如果抛物线C1：y＝ax2﹣2x与抛物线C2：y＝（x+h）2+b是关于直线x＝﹣1的对称曲线，则h+b的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．﹣4
【答案】A
【知识点】轴对称的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线C1：y＝ax2﹣2x与抛物线C2：y＝(x+h)2+b是关于直线x＝﹣1的对称曲线，
∴ ，即：抛物线C1：y＝x2﹣2x，
∴抛物线C1的顶点坐标为： ，
则关于直线x＝﹣1对称的抛物线C2的顶点坐标为： ，
∴抛物线C2：y＝(x+3)2-1，
即：h=3，b=-1，
∴h+b=2，
故答案为：A.
【分析】根据两条抛物线关于直线x=-1对称的性质，得出a=1，然后求出抛物线C1的顶点坐标，再根据抛物线 C1与抛物线 C2的顶点坐标关于直线 x＝-1 对称，求出抛物线C2的顶点坐标，则可得出抛物线C2的解析式，然后求出h，b的值，据此解答即可.
10．（2021·陕西模拟）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），若抛物线y＝ （x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝ AB，则k的值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
抛物线 、 为常数）与线段 交于 、 两点，且 ，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ， ，
抛物线 ，
解得， .
故答案为：A.
【分析】根据A、B的坐标，求出AB∥x轴，AB=4，由于抛物线与线段 交于 、 两点，可得，可设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，h=c+1，将点C坐标及h值代入解析式中，求出k值即可.
二、填空题
11．（2016·西安模拟）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是　 　．
【答案】y=（x﹣1）2+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为：y=（x﹣h）2+k，代入得：y=（x﹣1）2+2．故所得图象的函数表达式是：y=（x﹣1）2+2．
【分析】抛物线平移不改变a的值．
12．（2016·西安模拟）已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3，此二次函数的解析式为　 　．
【答案】y=﹣（x+7）（x﹣1）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵该函数图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标是（0，﹣7）、（0，1）．
故设该抛物线解析式为y=a（x+7）（x﹣1）（a≠0）．
把顶点（﹣3，4）代入得到：4=a（﹣3+7）（﹣3﹣1），
解得a=﹣1．
则该二次函数解析式为：y=﹣（x+7）（x﹣1）．
故答案是：y=﹣（x+7）（x﹣1）．
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两个交点坐标，然后把顶点坐标（﹣3，4）代入函数解析式y=a（x+7）（x﹣1）求得系数a的值．
13．（2016·西安模拟）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　．
【答案】m≥﹣1
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣ = ，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
∴ ≤1，
解得：m≥﹣1．
故答案为：m≥﹣1．
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
14．（2016·西安模拟）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为　 　元．
【答案】25
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设最大利润为w元，
则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
15．（2019·莲湖模拟）如图，已知抛物线与反比例函数的图象相交于B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），
∴点B（3，3），
∴ ，
解得：
∴y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴点A′的坐标为（2，﹣2），
设过点A′（2，﹣2）和点B（3，3）的直线解析式为y＝mx+n，
解得： ，
∴直线A′B的函数解析式为y＝5x﹣12，
令y＝0，则0＝5x﹣12得x＝ ，
故答案为：（ ，0）.
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A′的坐标，从而可以求得直线A′B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题.
16．（2021·渭滨模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、B分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，则△CDE面积的最大值为　 　.
【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AD＝x，则CE＝AD＝x，CD＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴S△CDE＝ ＝ ＝﹣ （x2﹣8x＋16﹣16）＝﹣ （x﹣4）2＋8，
∵﹣ ＜0，
∴当x＝4，即AD＝4时，△CDE面积有最大值是8，
故答案为：8.
【分析】设AD＝x，则CE＝AD＝x，CD＝8﹣x，根据三角形面积公式建立出s与x的函数关系式，由二次函数性质可得最大值.
三、解答题
17．（2018·陕西）已知抛物线L：y＝x2＋x－6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标，并求出△ABC的面积；
（2）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L ，且L 与x轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），并与y轴交于点C ，要使△A B C 和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
【答案】（1）解：当y＝0时，x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2，
当x＝0时，y＝－6，
∴A(－3，0)，B(2，0)，C(0，6)，
∴S△ABC＝ AB·OC＝ ×5×6＝15
（2）解：将抛物线向左或向右平移时，A 、B 两点间的距离不变，始终为5，那么要使△A B C 和△ABC的面积相等，高也只能是6，
设A'(a，0)，则B'(a＋5，0)，y＝(x－a)(x－a－5)，
当x＝0时，y＝a2＋5a，
当C 点在x轴上方时，y＝a2＋5a＝6，a＝1或a＝－6，
此时y＝x2－7x－6或y＝x2＋7x－6；
当C 点在x轴下方时，y＝a2＋5a＝－6，a＝－2或a＝－3，
此时y＝x2－x－6或y＝x2＋x－6(与原抛物线重合，舍去)；所以，所有满足条件的抛物线的函数表达式为：y＝x2－7x－6，y＝x2＋7x－6，y＝x2－x－6．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点即可得出A，B，C三点的坐标，再根据坐标轴上两点间的距离公式及S△ABC= AB·OC即可得出答案；
（2）根据平移的特点，平移不改变抛物线的开口程度，故将抛物线向左或向右平移时，A 、B 两点间的距离不变，始终为5，那么要使△A B C 和△ABC的面积相等，高也只能是6，设A'(a，0)，则B'(a＋5，0)，y＝(x－a)(x－a－5)，根据抛物线与y轴交点的坐标特点，由x＝0得出y＝a2＋5a，然后分C 点在x轴上方时，与C 点在x轴下方时两种情况，分别得出关于a的方程，求解即可得出抛物线的解析式。
18．（2017·陕西）在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；
（2）求A，B两点的坐标；
（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，
∴a=1，n=﹣3，
∴C1的对称轴为x=1，
∴C2的对称轴为x=﹣1，
∴m=2，
∴C1的函数表示式为y=x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3
（2）解：在C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3中，令y=0可得x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）
（3）解：存在．
∵AB的中点为（﹣1，0），且点P在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，
∴AB只能为平行四边形的一边，
∴PQ∥AB且PQ=AB，
由（2）可知AB=1﹣（﹣3）=4，
∴PQ=4，
设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），
①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t+4）2+2（t+4）﹣3，解得t=﹣2，
∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5，
∴P（﹣2，5），Q（2，5）；
②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，解得t=2，
∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，
∴P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3），
综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由已知条件知道C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，从而得出a=1，n=﹣3，C1的对称轴为x=1，C2的对称轴为x=﹣1，m=2，最后得出C1与C2的函数表达式.
（2）由（1）知C2的函数表达式，令y=0可得A（﹣3，0），B（1，0）坐标.
（3）存在．由已知条件可知PQ∥AB且PQ=AB；由（2）可知AB=1﹣（﹣3）=4，PQ=4；设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）
或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t+4）2+2（t+4）﹣3，求出t=﹣2，从而得出P（﹣2，5），Q（2，5）；
②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，求出t=2，从而得出P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）.
19．（2017·西安模拟）已知抛物线y=3ax2+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
【答案】解：（Ⅰ）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x2+2x﹣1，方程3x2+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1， ．∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（﹣1，0）和（ ，0）；（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点．对于方程3x2+2x+c=0，判别式△=4﹣12c≥0，有c≤ ．①当 时，由方程3x2+2x+ =0，解得x1=x2=﹣ ．此时抛物线为y=3x2+2x+ 与x轴只有一个公共点（﹣ ，0）；②当 时，x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c；x2=1时，y2=3+2+c=5+c．由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为 ，应有 即 ，解得﹣5＜c≤﹣1．综上， 或﹣5＜c≤﹣1．（6分）（Ⅲ）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，由已知x1=0时，y1=c＞0；x2=1时，y2=3a+2b+c＞0，又∵a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．∴2a+b＞0．∵b=﹣a﹣c，∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．∴a＞c＞0．（7分）∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2﹣12ac=4（a+c）2﹣12ac=4[（a﹣c）2+ac]＞0，∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．又该抛物线的对称轴 ，由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得﹣2a＜b＜﹣a，∴ ．又由已知x1=0时，y1＞0；x2=1时，y2＞0，观察图象， 可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，然后令y=0可得到关于x的方程，然后求得方程的两根，从而可得到抛物线与x轴交点坐标；
（Ⅱ）把a，b代入可得到抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴为x=-，然后再分为△=0和△＞0两种情况求解即可；
（Ⅲ）抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax2+2bx+c=0的实数根的个数，接下来，判断出方程3ax2+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．
四、综合题
20．（2016·陕西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
【答案】（1）解：由抛物线过M、N两点，
把M、N坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5，
令y=0可得x2﹣3x+5=0，
该方程的判别式为△=（﹣3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，
∴抛物线与x轴没有交点；
（2）解：∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上，
∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，
①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入可得 ，解得 ，
∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣ ，﹣ ），而原抛物线顶点坐标为（ ， ），
∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；
②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入可得 ，解得 ，
∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣ ，﹣ ），而原抛物线顶点坐标为（ ， ），
∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质
【解析】【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、函数与方程的关系、等腰三角形的性质、坐标平移和分类讨论等．在（1）中注意方程与函数的关系，在（2）中确定出B点的坐标是解题的关键，注意抛物线顶点坐标的求法．本题属于基础题，难度不大．（1）把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；（2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．
21．（2020·陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标.
【答案】（1）解：将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得
，解得 ，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）解：抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，
设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），
故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，
综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）在△AOC中，OA＝OC＝3，由题意：以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等可知PD＝DE＝3，再分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，求解即可.
22．（2019·陕西）在平面直角坐标系中，已知抛物线L： 经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为 .
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线 上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.
【答案】（1）解：由题意，得 ，
解得： ，
∴L：y=－x2－5x－6
（2）解：∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为 ，
∴点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，
∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6，
将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，
∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，
∵A(－3，0)，B(0，－6)，
∴AO＝3，OB＝6，
设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，
∵PD⊥y轴，
∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，
∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，
∵Rt△PDO与Rt△AOB相似，
∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，
①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则 ，即 ，
解得m1＝1，m2＝6，
∴P1(1，2)，P2(6，12)；
②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则 ，即 ，
解得m3＝ ，m4＝4，
∴P3( ， )，P4(4，2)，
∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，
∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或( ， )或(4，2).
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标分别代入 即可列出关于a，c的二元一次方程组，求解得出a，c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特点，得出 点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)， 根据抛物线的几何变换规律，由 L关于原点O对称的抛物线为 ，可知抛物线l与抛物线l'的二次项系数与常数项互为相反数，从而设出抛物线l'的解析式，再代入点A'的坐标即可求出一次项的系数，从而求出抛物线l'的解析式；根据点的坐标 与图形的性质用含m的式子表示出点P，D的坐标，根据两点间的距离公式表示出PD，OD，然后分 ①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则 ， ②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则 两种情况列出方程求解即可求出点P的坐标。
1 / 1陕西省中考数学历年真题模拟题汇编——二次函数
一、单选题
1．（2016·陕西）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（　　）
A． B． C． D．2
2．（2021·陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
… -2 0 1 3 …
… 6 -4 -6 -4 …
下列各选项中，正确的是
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当 时，y的值随x值的增大而增大
3．（2020·陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位.则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2019·陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线 与 关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　）
A．m= ,n= B．m=5，n= -6
C．m= -1，n=6 D．m=1，n= -2
5．（2018·陕西）对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2017·陕西）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（　　）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
7．（2021·陕西模拟）若点 是抛物线 上的点，且抛物线与 轴至多有一个交点，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021·陕西模拟）已知二次函数 的图象经过点 ， ，且 ，则 的值不可能是（　　）
A．-2 B． C．0 D．
9．（2021·陕西模拟）当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线.如果抛物线C1：y＝ax2﹣2x与抛物线C2：y＝（x+h）2+b是关于直线x＝﹣1的对称曲线，则h+b的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．﹣4
10．（2021·陕西模拟）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），若抛物线y＝ （x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝ AB，则k的值为（　　）
A． B．2 C． D．
二、填空题
11．（2016·西安模拟）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是　 　．
12．（2016·西安模拟）已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3，此二次函数的解析式为　 　．
13．（2016·西安模拟）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　．
14．（2016·西安模拟）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为　 　元．
15．（2019·莲湖模拟）如图，已知抛物线与反比例函数的图象相交于B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为　 　.
16．（2021·渭滨模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、B分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，则△CDE面积的最大值为　 　.
三、解答题
17．（2018·陕西）已知抛物线L：y＝x2＋x－6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标，并求出△ABC的面积；
（2）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L ，且L 与x轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），并与y轴交于点C ，要使△A B C 和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
18．（2017·陕西）在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；
（2）求A，B两点的坐标；
（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2017·西安模拟）已知抛物线y=3ax2+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
四、综合题
20．（2016·陕西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
21．（2020·陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标.
22．（2019·陕西）在平面直角坐标系中，已知抛物线L： 经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为 .
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线 上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0），
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点C（﹣1，4），
如图所示，作CD⊥AB于D．
在Rt△ACD中，tan∠CAD= = =2，
故答案为D．
【分析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD= 即可计算．本题考查二次函数与x轴交点坐标，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握求抛物线与x轴交点坐标的方法，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为 ，
依题意得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 = ，
∵ ，
∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；
∵ ，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；
∵ ，∴当 时，这个函数有最小值 ，故C选项符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为( ， )，
∴当 时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据表格中的信息用待定系数法可求得二次函数的解析式，并将解析式化为顶点式；
A、根据a=1＞0可知，这个函数的图象开口向上；
B、计算b2-4ac=25＞0，根据一元二次方程的根的判别式可判断这个函数的图象与x轴有两个不同的交点；
C根据顶点式可知，当x=时，函数有最小值为-＜-6；
D、根据顶点式可知当x＞时，函数y的值随x值的增大而增大.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ，
该抛物线顶点坐标是 ， ，
将其沿 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是 ， ，
，
，
，
，
点 ， 在第四象限；
故答案为： .
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合 的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：关于y轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，
∴ ，
解之得 ，
故答案为：D。
【分析】根据抛物线的对称性，由 抛物线 与 关于y轴对称 可知二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，从而列出方程组，求解即可。
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】由题意得：a+(2a-1)+a-3>0，解得：a>1，
∴2a-1>0，
∴ <0， ，
∴抛物线的顶点在第三象限，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，得出关于a不等式，求解得出a的取值范围，然后根据抛物线的顶点坐标公式判断出抛物线顶点横纵坐标的正负，即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4．
∴点M（m，﹣m2﹣4）．
∴点M′（﹣m，m2+4）．
∴m2+2m2﹣4=m2+4．
解得m=±2．
∵m＞0，
∴m=2．
∴M（2，﹣8）．
故答案为：C．
【分析】将二次函数的解析式化成顶点式：y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4从而得出点M（m，﹣m2﹣4）．由已知条件得出点M′（﹣m，m2+4）；代入解析式求出m=±2；由m＞0，得出M坐标．
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+2x+m与x轴至多有一个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣2）m≤0，
解得m≤﹣ ，
∴点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，
∴n＝﹣2m2+2m+m，
∴m﹣n＝2m2﹣2m＝2（m﹣ ）2﹣ ，
∵m≤﹣ ，
∴当m＝﹣ 时，m﹣n有最小值，最小值为2×（﹣ ﹣ ）2﹣ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】利用抛物线y＝﹣2x2+2x+m与x轴至多有一个交点，可得到b2-4ac≤0，建立关于m的不等式，求出不等式m的取值范围；再根据点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，可得到m﹣n关于m的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出m-n的最小值.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0），
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m，
∵图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，
∴m+1＜3﹣m或m≤﹣1
解得m＜1，
故答案为：D.
【分析】 根据二次函数图象上点的坐标特征，即当抛物线的开口向上时，离对称轴越远值越大，则可得到m+1＜3-m或m≤-1，从而求出m的范围即可判断.
9．【答案】A
【知识点】轴对称的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线C1：y＝ax2﹣2x与抛物线C2：y＝(x+h)2+b是关于直线x＝﹣1的对称曲线，
∴ ，即：抛物线C1：y＝x2﹣2x，
∴抛物线C1的顶点坐标为： ，
则关于直线x＝﹣1对称的抛物线C2的顶点坐标为： ，
∴抛物线C2：y＝(x+3)2-1，
即：h=3，b=-1，
∴h+b=2，
故答案为：A.
【分析】根据两条抛物线关于直线x=-1对称的性质，得出a=1，然后求出抛物线C1的顶点坐标，再根据抛物线 C1与抛物线 C2的顶点坐标关于直线 x＝-1 对称，求出抛物线C2的顶点坐标，则可得出抛物线C2的解析式，然后求出h，b的值，据此解答即可.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
抛物线 、 为常数）与线段 交于 、 两点，且 ，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ， ，
抛物线 ，
解得， .
故答案为：A.
【分析】根据A、B的坐标，求出AB∥x轴，AB=4，由于抛物线与线段 交于 、 两点，可得，可设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，h=c+1，将点C坐标及h值代入解析式中，求出k值即可.
11．【答案】y=（x﹣1）2+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为：y=（x﹣h）2+k，代入得：y=（x﹣1）2+2．故所得图象的函数表达式是：y=（x﹣1）2+2．
【分析】抛物线平移不改变a的值．
12．【答案】y=﹣（x+7）（x﹣1）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵该函数图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标是（0，﹣7）、（0，1）．
故设该抛物线解析式为y=a（x+7）（x﹣1）（a≠0）．
把顶点（﹣3，4）代入得到：4=a（﹣3+7）（﹣3﹣1），
解得a=﹣1．
则该二次函数解析式为：y=﹣（x+7）（x﹣1）．
故答案是：y=﹣（x+7）（x﹣1）．
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两个交点坐标，然后把顶点坐标（﹣3，4）代入函数解析式y=a（x+7）（x﹣1）求得系数a的值．
13．【答案】m≥﹣1
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣ = ，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
∴ ≤1，
解得：m≥﹣1．
故答案为：m≥﹣1．
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
14．【答案】25
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设最大利润为w元，
则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
15．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），
∴点B（3，3），
∴ ，
解得：
∴y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴点A′的坐标为（2，﹣2），
设过点A′（2，﹣2）和点B（3，3）的直线解析式为y＝mx+n，
解得： ，
∴直线A′B的函数解析式为y＝5x﹣12，
令y＝0，则0＝5x﹣12得x＝ ，
故答案为：（ ，0）.
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A′的坐标，从而可以求得直线A′B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题.
16．【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AD＝x，则CE＝AD＝x，CD＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴S△CDE＝ ＝ ＝﹣ （x2﹣8x＋16﹣16）＝﹣ （x﹣4）2＋8，
∵﹣ ＜0，
∴当x＝4，即AD＝4时，△CDE面积有最大值是8，
故答案为：8.
【分析】设AD＝x，则CE＝AD＝x，CD＝8﹣x，根据三角形面积公式建立出s与x的函数关系式，由二次函数性质可得最大值.
17．【答案】（1）解：当y＝0时，x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2，
当x＝0时，y＝－6，
∴A(－3，0)，B(2，0)，C(0，6)，
∴S△ABC＝ AB·OC＝ ×5×6＝15
（2）解：将抛物线向左或向右平移时，A 、B 两点间的距离不变，始终为5，那么要使△A B C 和△ABC的面积相等，高也只能是6，
设A'(a，0)，则B'(a＋5，0)，y＝(x－a)(x－a－5)，
当x＝0时，y＝a2＋5a，
当C 点在x轴上方时，y＝a2＋5a＝6，a＝1或a＝－6，
此时y＝x2－7x－6或y＝x2＋7x－6；
当C 点在x轴下方时，y＝a2＋5a＝－6，a＝－2或a＝－3，
此时y＝x2－x－6或y＝x2＋x－6(与原抛物线重合，舍去)；所以，所有满足条件的抛物线的函数表达式为：y＝x2－7x－6，y＝x2＋7x－6，y＝x2－x－6．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点即可得出A，B，C三点的坐标，再根据坐标轴上两点间的距离公式及S△ABC= AB·OC即可得出答案；
（2）根据平移的特点，平移不改变抛物线的开口程度，故将抛物线向左或向右平移时，A 、B 两点间的距离不变，始终为5，那么要使△A B C 和△ABC的面积相等，高也只能是6，设A'(a，0)，则B'(a＋5，0)，y＝(x－a)(x－a－5)，根据抛物线与y轴交点的坐标特点，由x＝0得出y＝a2＋5a，然后分C 点在x轴上方时，与C 点在x轴下方时两种情况，分别得出关于a的方程，求解即可得出抛物线的解析式。
18．【答案】（1）解：∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，
∴a=1，n=﹣3，
∴C1的对称轴为x=1，
∴C2的对称轴为x=﹣1，
∴m=2，
∴C1的函数表示式为y=x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3
（2）解：在C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3中，令y=0可得x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）
（3）解：存在．
∵AB的中点为（﹣1，0），且点P在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，
∴AB只能为平行四边形的一边，
∴PQ∥AB且PQ=AB，
由（2）可知AB=1﹣（﹣3）=4，
∴PQ=4，
设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），
①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t+4）2+2（t+4）﹣3，解得t=﹣2，
∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5，
∴P（﹣2，5），Q（2，5）；
②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，解得t=2，
∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，
∴P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3），
综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由已知条件知道C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，从而得出a=1，n=﹣3，C1的对称轴为x=1，C2的对称轴为x=﹣1，m=2，最后得出C1与C2的函数表达式.
（2）由（1）知C2的函数表达式，令y=0可得A（﹣3，0），B（1，0）坐标.
（3）存在．由已知条件可知PQ∥AB且PQ=AB；由（2）可知AB=1﹣（﹣3）=4，PQ=4；设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）
或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t+4）2+2（t+4）﹣3，求出t=﹣2，从而得出P（﹣2，5），Q（2，5）；
②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，求出t=2，从而得出P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）.
19．【答案】解：（Ⅰ）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x2+2x﹣1，方程3x2+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1， ．∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（﹣1，0）和（ ，0）；（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点．对于方程3x2+2x+c=0，判别式△=4﹣12c≥0，有c≤ ．①当 时，由方程3x2+2x+ =0，解得x1=x2=﹣ ．此时抛物线为y=3x2+2x+ 与x轴只有一个公共点（﹣ ，0）；②当 时，x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c；x2=1时，y2=3+2+c=5+c．由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为 ，应有 即 ，解得﹣5＜c≤﹣1．综上， 或﹣5＜c≤﹣1．（6分）（Ⅲ）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，由已知x1=0时，y1=c＞0；x2=1时，y2=3a+2b+c＞0，又∵a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．∴2a+b＞0．∵b=﹣a﹣c，∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．∴a＞c＞0．（7分）∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2﹣12ac=4（a+c）2﹣12ac=4[（a﹣c）2+ac]＞0，∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．又该抛物线的对称轴 ，由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得﹣2a＜b＜﹣a，∴ ．又由已知x1=0时，y1＞0；x2=1时，y2＞0，观察图象， 可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，然后令y=0可得到关于x的方程，然后求得方程的两根，从而可得到抛物线与x轴交点坐标；
（Ⅱ）把a，b代入可得到抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴为x=-，然后再分为△=0和△＞0两种情况求解即可；
（Ⅲ）抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax2+2bx+c=0的实数根的个数，接下来，判断出方程3ax2+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．
20．【答案】（1）解：由抛物线过M、N两点，
把M、N坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5，
令y=0可得x2﹣3x+5=0，
该方程的判别式为△=（﹣3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，
∴抛物线与x轴没有交点；
（2）解：∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上，
∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，
①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入可得 ，解得 ，
∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣ ，﹣ ），而原抛物线顶点坐标为（ ， ），
∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；
②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入可得 ，解得 ，
∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣ ，﹣ ），而原抛物线顶点坐标为（ ， ），
∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质
【解析】【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、函数与方程的关系、等腰三角形的性质、坐标平移和分类讨论等．在（1）中注意方程与函数的关系，在（2）中确定出B点的坐标是解题的关键，注意抛物线顶点坐标的求法．本题属于基础题，难度不大．（1）把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；（2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．
21．【答案】（1）解：将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得
，解得 ，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）解：抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，
设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），
故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，
综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）在△AOC中，OA＝OC＝3，由题意：以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等可知PD＝DE＝3，再分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，求解即可.
22．【答案】（1）解：由题意，得 ，
解得： ，
∴L：y=－x2－5x－6
（2）解：∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为 ，
∴点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，
∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6，
将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，
∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，
∵A(－3，0)，B(0，－6)，
∴AO＝3，OB＝6，
设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，
∵PD⊥y轴，
∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，
∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，
∵Rt△PDO与Rt△AOB相似，
∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，
①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则 ，即 ，
解得m1＝1，m2＝6，
∴P1(1，2)，P2(6，12)；
②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则 ，即 ，
解得m3＝ ，m4＝4，
∴P3( ， )，P4(4，2)，
∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，
∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或( ， )或(4，2).
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标分别代入 即可列出关于a，c的二元一次方程组，求解得出a，c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特点，得出 点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)， 根据抛物线的几何变换规律，由 L关于原点O对称的抛物线为 ，可知抛物线l与抛物线l'的二次项系数与常数项互为相反数，从而设出抛物线l'的解析式，再代入点A'的坐标即可求出一次项的系数，从而求出抛物线l'的解析式；根据点的坐标 与图形的性质用含m的式子表示出点P，D的坐标，根据两点间的距离公式表示出PD，OD，然后分 ①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则 ， ②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则 两种情况列出方程求解即可求出点P的坐标。
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