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导数
一、单选题
1．设函数，若为函数的一个极值点，则下列图像不可能为的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
，令则
，因为为函数的一个极值点，所以是的一个根，即
于是，，
则故A、B可能；对于D，，，则，与图矛盾，不可能，故选D
2．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【解析】
根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
3．已知函数，且，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
先判断函数的奇偶性和单调性，然后利用对数函数和指数函数的性质比较的大小，再利用的单调性可得结论
【详解】
∵，函数为奇函数，又，
∴在上单调递增．
∵，∴，
又，由对数的性质可知，且，而，
∴，
故选：B．
4．已知函数，，若对恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
令，求导，分析导函数的正负，得所函数的单调性和最值，由不等式恒成立思想可得选项．
【详解】
令，则，
令，则，令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，故．
令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，故，解得，
故选：A．
方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
② 数形结合( 图象在 上方即可)；
③ 讨论最值或恒成立.
二、多选题
5．已知函数，，则（ ）
A．若在上单调递增，则
B．若函数，则为奇函数
C．时，若函数，则的取值范围是
D．若函数不存在零点，则
【答案】BD
【解析】
对于A，举反例进行判断；对于B，先求出函数的定义域，再利用奇形怪状偶性的定义判断即可；对于C，由题意可得从而可求出的取值范围；对于D，令，当时，，构造函数，利用导数求出其单调区间，再画出函数的大致图像，由图像可得答案
【详解】
当时，在上单调递增，故A错误；
∵，
∴定义域，且，故B正确；
当时，，∴∴或，故C错误；
令，则．当，则不成立，当，则，设，则，∴在单调递增，在单调递增，在单调递减，∴的大致图象如图所示，∴若函数不存在零点，则，故D正确，
故选：BD．
6．关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．在上单调递减
D．有最小值
【答案】AB
【解析】
根据函数解析式，判断函数对称性，求导研究函数单调性及最值情况.
【详解】
由诱导公式，，
所以，，
即的图象关于直线对称，的图象关于点对称，所以A选项、B选项正确；
，
则在上单调递增，C选项错误；
当趋近时，趋于负无穷大，所以没有最小值，则D选项错误.
故选：AB.
7．已知函数（是自然对数的底数），的图像在上有两个交点，则实数的值可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
由函数，的图像在上有两个交点，转化为方程在上有两个不等实根，设，，利用导数求得函数的单调性，画出函数的图象，结合图象和选项，即可求解.
【详解】
由函数，的图像在上有两个交点
可转化为方程在上有两个不等的实数根，
即方程在上有两个不等实根，
即方程在上有两个不等实根．
设，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以，
又由，且当时，，
故可由此作出的大致图像，如图所示，则由图像可知，解得，
结合选项可知A，B符合题意.
故选：AB.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
8．已知，，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C． D．
【答案】BC
【解析】
求得，利用二次函数的基本性质可判断A选项的正误；利用基本不等式可判断B选项的正误；构造函数，其中，利用函数的单调性可判断C选项的正误；构造函数，其中，利用函数单调性可判断D选项的正误.
【详解】
，，所以，，，所以，.
对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，即的最小值是，B选项正确；
对于C选项，，令，其中，
则，所以，函数在区间上单调递减，
因为，所以，，即，C选项正确；
对于D选项，，
构造函数，其中，则，
所以，函数在区间上为减函数，，，
即，D选项错误.
故选：BC.
9．函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若有两个不相等的实根，则 D．若均为正数，则
【答案】BD
【解析】
求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．
由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A，由函数性质判断BC，设，且均为正数，求得，再由函数性质判断D．
【详解】
由得：
令得，
当x变化时，变化如下表：
x
0
单调递增 极大值 单调递减
故，在上递增，在上递减，是极大值也是最大值，时，时，，且时，时，，，
A．
，故A错
B．，且在单调递增
，故：B正确
C．有两个不相等的零点
不妨设
要证：，即要证：在单调递增，∴只需证：即：只需证：……①
令，则
当时，在单调递增
，即：这与①矛盾，故C错
D．设，且均为正数，则
且
，故D正确．
故选：BD．
三、填空题
10．设函数．若，则a=_________．
【答案】1
【解析】
由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】
由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
11．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】
【解析】
设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
12．在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.
【详解】
设圆心到直线距离为，则
所以
令（负值舍去）
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
故答案为：
13．已知函数的图像与的图像在区间上存在关于轴对称的点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
将问题转化为在区间上有解，令，求导分析单调性，求出极值与端点处的函数值，即可求的取值范围．
【详解】
当时，直线在图像的上方，故当时，．
因为函数的图像与的图像在区间
上存在关于轴对称的点，等价于方程，
即在区间上有解．令，，
则，因为，所以，
则由，得，当时，，
当，时，，所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，，
，，
所以实数的取值范围为．
故答案为：
14．（2019·江苏省高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
【答案】.
【解析】
设点，则.又，
当时，，
点A在曲线上的切线为，
即，
代入点，得，
即，
考查函数，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为.
15．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
【答案】4.
【解析】
当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，
即切点，
则切点Q到直线的距离为，
故答案为：．
四、解答题
16．已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】
（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）显然，
因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
17．已知函数，．
（Ⅰ）求的极值点；
（Ⅱ）当时，，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）求得定义域和后，令，分别在和两种情况下，根据的正负确定的正负，得到的单调性，根据极值点的定义可得结果；
（Ⅱ）记，，求导后，令；分别在和两种情况下，根据的正负可确定单调性，进而确定的正负，由此知单调性，根据单调性验证不等式是否恒成立，由此得到结论.
【详解】
（Ⅰ）的定义域为，，
令，则；
①当，即时，，则，
在上单调递增，无极值点；
②当，即时，令，解得：，
，，则；
当和时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
的极大值点为，极小值点为.
综上所述：当时，无极值点；当时，的极大值点为，极小值点为.
（Ⅱ）记，，
则，，．
记，则．
①当，时，，在上为增函数，又，
在上为增函数，又，
当时，．
②当时，，，
存在，使得，
当时，，，此时在上为减函数，
又．当时，，即，
当时，为减函数，又，
不满足题意；
综上所述：的取值范围为.
18．已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；
(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；
（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
【详解】
(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(ii) 依题意，.
从而可得，
整理可得：，
令，解得.
当x变化时，的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由，得.
对任意的，且，令，则
. ①
令.
当x>1时，，
由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即.
因为，，，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，当时，任意的，且，有
.
19．已知函数．
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）解法一：利用导数研究，得到函数得导函数的单调递增，当a=1时由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
解法二：利用指数对数的运算可将,
令,上述不等式等价于,注意到的单调性，进一步等价转化为，令,利用导数求得，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.
【详解】
（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为;
（2）解法一：,
，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
解法二：等价于
,
令,上述不等式等价于,
显然为单调增函数，∴又等价于，即，
令,则
在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，
∴,
，∴a的取值范围是[1,+∞).
20．已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；
(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；
(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.
【详解】
(1)由函数的解析式可得：，则：
，
在上的根为：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2)注意到，
故函数是周期为的函数，
结合(1)的结论，计算可得：，
，，
据此可得：，，
即.
(3)结合(2)的结论有：
.
21．设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；
（2）由（1）可得，易知在上单调递减，在，上单调递增，且，采用反证法，推出矛盾即可.
【详解】
（1）因为，
由题意，，即
则；
（2）由（1）可得，
，
令，得或；令，得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
且，
若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，
即或.
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
综上，所有零点的绝对值都不大于1.
22．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
【答案】（1）详见解析；(2).
【解析】
（1），对分和两种情况讨论即可；
（2）有三个零点，由（1）知，且，解不等式组得到的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.
【详解】
（1）由题，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
令，得或，所以在上单调递减，在
，上单调递增.
（2）由（1）知，有三个零点，则，且
即，解得，
当时，，且，
所以在上有唯一一个零点，
同理，，
所以在上有唯一一个零点，
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知的取值范围为.
23．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【解析】
（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】
（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.
24．已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）
【解析】
(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
【详解】
(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2)由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
25．已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间
【解析】
（1）不等式转化为，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；
（2）对函数求导，把导函数的分子构成一个新函数，再求导得到，根据的正负，判断的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性.
【详解】
（1）函数的定义域为：
，
设，则有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
（2）且
因此，设，
则有，
当时，，所以，单调递减，因此有，即
，所以单调递减；
当时，，所以，单调递增，因此有，即，所以单调递减，
所以函数在区间和上单调递减，没有递增区间.
26．已知函数．
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论函数的零点个数，并给予证明．
【答案】（1）；（2）当时，函数有且只有一个零点，当时，函数有两个零点，证明见解析．
【解析】
（1）由题意得，即在区间上恒成立，求取最大值即可；
（2）对参数分类讨论，通过对函数求导，分析单调性再结合零点定理即可得出结果．
【详解】
（1）
由题意得，即在区间上恒成立．
当时，，所以，
故实数的取值范围为．
（2）由已知得，
则．
当时，，函数单调递减，
又，，故函数有且只有一个零点．
当时，令，得，函数单调递减，
令，得，函数单调递增，
而，，
（在上恒成立）
由于，所以，所以在上存在一个零点．
又，且，
设，则在上恒成立，
故在上单调递增．
而，所以在上恒成立，所以，
所以在上存在一个零点．
综上所述，当时，函数有且只有一个零点；
当时，函数有两个零点．
27．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程
（2）若，求证：当时，.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）求导数，得切线斜率，由点斜式写出直线方程并整理；
（2）题意即证当时，.利用时，放缩，，只要证，为此构造新函数，利用导数求得它的最小值妈可完成证明．
【详解】
本题考查导数的几何意义 利用导数研究函数的单调性 最值，不等式的证明.
（1），，
∴曲线在点处的切线方程为，整理得.
（2）要证当时，，
即证当时，.
(利用放缩法进行放缩，然后证明，即可证明)
当时，恒成立，，∴，
故有.
若证得，即可证得.
下面证明.
不等式两侧同时除以可将不等式转化为，
(构造函数，根据函数的单调性求得函数在区间上的最小值，根据最小值大于0证得结果)
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴当时，，
故当时，.
所以原不等式成立．
28．已知函数．
（1）若函数，判断的单调性（用实数表示）；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【解析】
（1）由题知，求出，观察的特征，以0为分界点，讨论的取值范围，判断的正负，从而可判断函数的单调性；
（2）对已知不等式进行等价转换，并分离参数得在上恒成立，故构造关于的新函数，利用导数研究新函数的单调性，结合零点存在性定理，求出新函数的最值，再根据不等式的性质求解
【详解】
解（1）由题得，则．
①当时，，此时是增函数；
②当时，由，得，
所以当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）若恒成立，即在上恒成立，则在上恒成立．
令，则．
令，则，
所以在上是增函数．
而，，
所以存在，使得，即，
所以．
令，则在上恒成立，
所以在上是增函数，所以．
当时，，则，所以在上单调递减；
当时，，则，故在上单调递增，
所以．
所以，即实数的取值范围是．
29．已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.
【解析】
（I）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；
（II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；
（ii）先根据零点条件转化：，再根据放缩，转化为证明不等式，最后构造差函数，利用导数进行证明.
【详解】
（I）在上单调递增，
，
所以由零点存在定理得在上有唯一零点；
（II）（i），
，
令
一方面： ，
在单调递增，，
，
另一方面：，
所以当时，成立，
因此只需证明当时，
因为
当时，，当时，，
所以，
在单调递减，，，
综上，.
（ii），
，，
，因为，所以，
，
只需证明，
即只需证明，
令，
则，
，即成立，
因此.
30．已知函数.
（1）当时，试判断函数的单调性；
（2）若，且当时，恒成立.有且只有一个实数解，证明：.
【答案】（1）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；（2）证明见解析.
【解析】
（1）直接利用导数讨论函数的单调性即可；
（2）求出，根据函数的定义域确定当，即函数取得极值时的值，结合“有且只有一个实数解”可得且.通过构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，结合零点存在性定理，即可求出的取值范围，由分离参数，借助函数的单调性即可证明结论成立
【详解】
的定义域为
（1）当时，，
则，，
所以当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）由题意可得，，令，
解得.
因为，所以，，
所以在上有唯一零点.
当时，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以.
因为在上恒成立，且有且只有一个实数解，
所以即
消去并整理得.
令，则，，
在上恒成立，所以在上单调递增，
又，，所以.
又，且函数在上单调递增，所以.
【点睛】
（1）函数的单调性与导数的关系：
已知函数在某个区间内可导，
①如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；
②函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；
（2）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.
31．已知函数，.
（1）若函数在处的切线恰好与直线垂直，求实数的值；
（2）讨论的单调性；
（3）若函数存在极值，在上恒成立时，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.
【解析】
（1）对求导，求出斜率，根据直线垂直的斜率公式列式，进而求出的值；
（2）利用求导后二次函数对称轴与的关系分类讨论，分别求出的单调性；
（3）利用参变分离将不等式恒成立，转化为 恒成立，设，求导判断单调性与最大值，从而解得的取值范围.
【详解】
解：（1）由题意可知，函数的定义域为，
.
，因为在处的切线与直线垂直，则，解得.
（2）由（1）可知，，
令，对称轴为，
当，即时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；
当，即时，令，得恒成立，
所以，，
所以在上恒成立，即函数在上单调递减；
在上恒成立，即函数在上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）可知，函数存在极值，则.
对于，不等式恒成立，等价于恒成立.
令，则恒成立.令，，则.令，则，
所以在上单调递减，因为，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，即，解得.
32．已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求的值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）当时，等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
（2）设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
33．（2019·浙江省高考真题）已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有 求的取值范围.
注：为自然对数的底数.
【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.
【解析】
(1)当时，，函数的定义域为，且：
，
因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
(2)由，得，
当时，，等价于，
令，则，
设，，
则，
（i）当时，，
则，
记，
则
列表讨论：
x （） 1 （1，+∞）
p′（x） ﹣ 0 +
P（x） p（） 单调递减 极小值p（1） 单调递增
（ii）当时，，
令，
则，
故在上单调递增，，
由（i）得，
，
由（i）（ii）知对任意，
即对任意，均有，
综上所述，所求的a的取值范围是．
34．已知函数且.
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.
【答案】（1）a=1；（2）见解析.
【解析】
（1）解：因为f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），
则f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）＝a．
则当a≤0时h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）＝0，矛盾，故a＞0．
因为当0＜x时h′（x）＜0、当x时h′（x）＞0，
所以h（x）min＝h（），
又因为h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0，
所以1，解得a＝1；
另解：因为f（1）＝0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1），
所以等价于f（x）在x＝1处是极小值，
所以解得a＝1；
（2）证明：由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，
令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t（x）＝2x﹣2﹣lnx，则t′（x）＝2，
令t′（x）＝0，解得：x，
所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而t（x）＝0有解，即f′（x）＝0存在两根x0，x2，
且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，
所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，
所以f（x0）x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0，
由x0可知f（x0）＜（x0）max；
由f′（）＜0可知x0，
所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，
所以f（x0）＞f（）；
综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．

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