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人教A版（2019） 选择性必修第二册 第4章 数列
期末重难点复习
知识梳理
一、本专题思维导图
二、重点结论梳理
1、等差中项
定义：由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时叫做与的等差中项。
性质1：
性质2：若，则三个数成等差数列
2、等差数列通项公式：，其中为首项，为公差。
3、等差数列的性质
若 ，则
特别地：若 ，则
推广：若，则
数列 是公差为 的等差数列
若 是公差为 的等差数列， 与 的项数一致，则数列 是公差为 的等差数列
下标成等差数列且公差为 的项 组成公差为 的等差数列
在等差数列 中，若 ，则有
若 是等差数列 中的任意两项，则：
4、等差数列的前项和公式
5、等差数列前n项和的性质
性质1：等差数列中依次k项之和组成公差为的等差数列
性质2：
若等差数列的项数为，
则，
若等差数列的项数为，
则，
性质3：为等差数列 为等差数列
性质4：若，都为等差数列， 分别为它们的前项和，则
6、等比中项
如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项。
性质：若G是a与b的等比中项，则，所以，即：。
注意：
（1）同号非零的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数；
（2）若 。
7、等比数列的通项公式
若等比数列的首项为，公比为，则等比数列的通项公式是：；
8、等比数列的性质
设 为等比数列，公比为 ，则：
1、等比数列多项之间的关系：
（1）若，则。
特别地：
若，则；
；
推广：若，则。
（2）若成等差数列，则成等比数列。
2、由等比数列构造新的等比数列：
（3）数列 ，，，都是等比数列，它们的公比分别为：
，，，；
（4）若 是项数与 相同的等比数列，公比 ，那么 和也都是等比数列，它们的公比分别是： 和；
（5）在数列 中，每隔 项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为；
（6）在数列 中，连续相邻项的和（或积）构成公比为的等比数列；
（7）若数列 是各项都为正数的等比数列，则数列 是公差为的等差数列。
3、等比数列 中任意两项之间的关系：
（8）。
9、等比数列的前n项和公式
1、已知首项、公比与项数：
2、已知首项、公比与末项：
10、等比数列前n项和的性质
设为等比数列，公比为 q，前项和为，则：
1、等比数列中的片段和问题
（1）（或者）；
（2）若，（或者且为奇数），则成等比数列，且公比为；
2、等比数列中奇数项和与偶数项和的问题
（3）若 共有项，则，或；
（4）若 共有项，则，或；
11、求数列通项的常见题型
① 型
② 型
③ 型（构造法求通项）。
④ 型（当时，用取对数法）。
⑤ 型
方法一
首先两边同时除以，得，引入辅助数列 ；
得：，再用待定系数法解决。
方法二
首先两边同时除以，得，引入辅助数列 ；
得：，再用累加法求解。
⑥ 型（可用倒数变换法来求通项）。
道虽弥，不行不至；事虽小，不为不成！—— 《荀子·修身》
人教A版（2019） 高二数学 数列重难点 2 / 2
典型例题
题型1 利用等差等比的定义求项
例1 （2020年1月常州市期末测试，第5题，5分，单选题）在等差数列中，已知，，则（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
例2 （2020年1月常州市溧阳市期末测试，第1题，5分，单选题）在等差数列中，若=4，=2，则=（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 6
题型2 根据递推公式求通项
例3 （2021年1月苏州中学期末测试，第10题，5分，多选题）已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ）
A. 为等比数列 B. 的通项公式为
C. 为递增数列 D. 前项和
题型3 等差中项的应用
例4 （2020年1月苏州市阳光期末测试，第5题，5分，单选题）等比数列的前项和为，且， ， 成等差数列，若，则（ ）
A. 7 B. 8 C. 15 D. 16
题型4 等比中项的应用
例5 （2020年1月苏州市阳光期末测试，第18题，12分）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和。
题型5 构造数列求和问题
例6 （2021年1月苏州中学期末测试，第7题，5分，单选题）已知数列满足，，，且是等比数列，则（ ）
A. 376 B. 382 C. 749 D. 766
题型6 参数存在性问题
例7 （2021年1月苏州中学期末测试，第19题，12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由。设等差数列的前项和为，是等比数列，______，，是否存在，使得且？
题型7 用数列解决生活中的实际问题
例8 （2020年1月苏州市阳光期末测试，第7题，5分，单选题）中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”。题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）
A. 174斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤
例9 （2020年1月无锡市期末测试，第20题，12分）某种汽车购买时费用为14．4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增。
（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）。
题型8 根据前n项和与通项之间的关系处理数列
例10 （2020年1月苏州市阳光期末测试，第11题，5分，多选题）已知数列的前项和为，且（其中为常数），则下列说法正确的是（ ）
A. 数列一定等比数列 B. 数列可能是等差数列
C. 数列可能是等比数列 D. 数列可能是等差数列
题型9 数列新定义问题
例11 （2020年1月无锡市期末测试，第12题，5分，多选题）当为正整数时，定义函数表示的最大奇因数。如，则（ ）
A. 342 B. 345 C. 341 D. 346
题型10 数列求和
例12 （2020年1月无锡市期末测试，第17题，10分）已知等差数列的前项和为，且，。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和。
例13 （2020年1月常州市期末测试，第15题，5分）若数列的通项公式为，数列满足 ，则数列的前10项和为_______。
例14 （2020年1月常州市期末测试，第18题，12分）已知数列的前项和为，且是与2的等差中项．数列中，，点在直线上。
（1）求和的值；
（2）求数列，的通项公式；
（3）设，求数列的前项和。
题型11 公差取值范围问题
例15 （2020年1月常州市溧阳市期末测试，第12题，5分，单选题）首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足.则的取值范围（ ）
A. 或 B. C. D.
题型12 等比数列前n项和的比值问题
例16 （2020年1月常州市溧阳市期末测试，第14题，5分）设为等比数列的前项和，则________。
题型13 数列综合应用
例17 （2020年1月常州市期末测试，第22题，12分）已知数列中，，是数列的前项和，且。
（1）求，，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若 对任意的正整数都成立，求实数的取值范围。
课后巩固练习
1、 （2020年1月常州市溧阳市期末测试，第8题，5分，单选题）已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是。（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2、（2020年1月常州市溧阳市期末测试，第7题，5分，单选题）设等差数列前项和为，若.，则的值是（ ）
A. 15 B. 30 C. 13 D. 25
3、（2021年1月苏州市阳光期末测试，第12题，5分，多选题）已知等比数列满足，其前项和。（ ）
A. 数列的公比为 B. 数列为递增数列
C. D. 当取最小值时，
4、（2020年1月无锡市期末测试，第5题，5分，单选题）已知等比数列为单调递增数列，设其前项和为，若，，则的值为（ ）
A. 16 B. 32 C. 8 D.
5、（2020年1月无锡市期末测试，第8题，5分，单选题）设为数列的前项和，满足，则（ ）
A. B. C. D.
6、（2020年1月常州市期末测试，第9题，5分，单选题）《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（ ）
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
7、（2021年1月苏州市阳光期末测试，第15题，5分）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数。一股由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定。初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染，……。假设某种传染病的基本传染数，那么初始一名感染者，经过三轮传染后，感染总人数将达到_________人；若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第_________轮传染开始前采取紧急防控措施。（参考数据：，）
8、（2021年1月苏州市阳光期末测试，第19题，12分）在①，②且，③且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答。
问题：设数列为等差数列，其前项和为，_________。数列为等比数列，，。求数列的前项和。
9、（2020年1月常州市溧阳市期末测试，第17题，10分）在等差数列中，，。
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和。
10、（2021年1月苏州市阳光期末测试，第21题，12分）已知数列满足，。
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记数列的前项中最大值为，最小值为，令，称数列是数列的“中程数数列”。
① 求“中程数数列”的前项和；
② 若（且），求所有满足条件的实数对。人教A版（2019） 选择性必修第二册 第4章 数列
期末重难点复习
知识梳理
一、本专题思维导图
二、重点结论梳理
1、等差中项
定义：由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时叫做与的等差中项。
性质1：
性质2：若，则三个数成等差数列
2、等差数列通项公式：，其中为首项，为公差。
3、等差数列的性质
若 ，则
特别地：若 ，则
推广：若，则
数列 是公差为 的等差数列
若 是公差为 的等差数列， 与 的项数一致，则数列 是公差为 的等差数列
下标成等差数列且公差为 的项 组成公差为 的等差数列
在等差数列 中，若 ，则有
若 是等差数列 中的任意两项，则：
4、等差数列的前项和公式
5、等差数列前n项和的性质
性质1：等差数列中依次k项之和组成公差为的等差数列
性质2：
若等差数列的项数为，
则，
若等差数列的项数为，
则，
性质3：为等差数列 为等差数列
性质4：若，都为等差数列， 分别为它们的前项和，则
6、等比中项
如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项。
性质：若G是a与b的等比中项，则，所以，即：。
注意：
（1）同号非零的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数；
（2）若 。
7、等比数列的通项公式
若等比数列的首项为，公比为，则等比数列的通项公式是：；
8、等比数列的性质
设 为等比数列，公比为 ，则：
1、等比数列多项之间的关系：
（1）若，则。
特别地：
若，则；
；
推广：若，则。
（2）若成等差数列，则成等比数列。
2、由等比数列构造新的等比数列：
（3）数列 ，，，都是等比数列，它们的公比分别为：
，，，；
（4）若 是项数与 相同的等比数列，公比 ，那么 和也都是等比数列，它们的公比分别是： 和；
（5）在数列 中，每隔 项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为；
（6）在数列 中，连续相邻项的和（或积）构成公比为的等比数列；
（7）若数列 是各项都为正数的等比数列，则数列 是公差为的等差数列。
3、等比数列 中任意两项之间的关系：
（8）。
9、等比数列的前n项和公式
1、已知首项、公比与项数：
2、已知首项、公比与末项：
10、等比数列前n项和的性质
设为等比数列，公比为 q，前项和为，则：
1、等比数列中的片段和问题
（1）（或者）；
（2）若，（或者且为奇数），则成等比数列，且公比为；
2、等比数列中奇数项和与偶数项和的问题
（3）若 共有项，则，或；
（4）若 共有项，则，或；
11、求数列通项的常见题型
① 型
② 型
③ 型（构造法求通项）。
④ 型（当时，用取对数法）。
⑤ 型
方法一
首先两边同时除以，得，引入辅助数列 ；
得：，再用待定系数法解决。
方法二
首先两边同时除以，得，引入辅助数列 ；
得：，再用累加法求解。
⑥ 型（可用倒数变换法来求通项）。
道虽弥，不行不至；事虽小，不为不成！—— 《荀子·修身》
人教A版（2019） 高二数学 数列重难点 2 / 2
典型例题
题型1 利用等差等比的定义求项
例1 （2020年1月常州市期末测试，第5题，5分，单选题）在等差数列中，已知，，则（ C ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【解析】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得
所以。
例2 （2020年1月常州市溧阳市期末测试，第1题，5分，单选题）在等差数列中，若=4，=2，则=（ B ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 6
【解析】在等差数列中，若，则，解得。
题型2 根据递推公式求通项
例3 （2021年1月苏州中学期末测试，第10题，5分，多选题）已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ABD ）
A. 为等比数列 B. 的通项公式为
C. 为递增数列 D. 前项和
题型3 等差中项的应用
例4 （2020年1月苏州市阳光期末测试，第5题，5分，单选题）等比数列的前项和为，且， ， 成等差数列，若，则（ C ）
A. 7 B. 8 C. 15 D. 16
【解析】由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n项和公式。
题型4 等比中项的应用
例5 （2020年1月苏州市阳光期末测试，第18题，12分）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和。
解：（1）依题得：，解得，
，即
（2）， ①
②
两式相减得：
。
题型5 构造数列求和问题
例6 （2021年1月苏州中学期末测试，第7题，5分，单选题）已知数列满足，，，且是等比数列，则（ C ）
A. 376 B. 382 C. 749 D. 766
题型6 参数存在性问题
例7 （2021年1月苏州中学期末测试，第19题，12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由。设等差数列的前项和为，是等比数列，______，，是否存在，使得且？
解：∵ {bn}是等比数列，b2=3，b5=-81
设公比为q，则，解得，∴ ∴ ，
若，即，则只需
同理，若，则只需，
若选①：，则，又∵ ，∴ ，
当时，，符合题意。
若选②：，则，又∵ ，∴ 等差数列为递减数列，∴ k不存在。
若选③：∵ ，∴，∴ ，又∵ ，
∴ ，∴ 当 时，，符合题意。
综上所述：若选①或者③，则存在k，使得且，且k=4；
若选②，则不存在k，使得且。
题型7 用数列解决生活中的实际问题
例8 （2020年1月苏州市阳光期末测试，第7题，5分，单选题）中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”。题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ B ）
A. 174斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤
【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，
由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，
∴，解得。∴。选B。
例9 （2020年1月无锡市期末测试，第20题，12分）某种汽车购买时费用为14．4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增。
（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）。
【答案】（1）;（2）12年.
【解析】（I）
= =。
(Ⅱ)设该车的年平均费用为S万元,
则有仅当n=12时,等号成立。汽车使用12年报废为宜。
题型8 根据前n项和与通项之间的关系处理数列
例10 （2020年1月苏州市阳光期末测试，第11题，5分，多选题）已知数列的前项和为，且（其中为常数），则下列说法正确的是（ BD ）
A. 数列一定等比数列 B. 数列可能是等差数列
C. 数列可能是等比数列 D. 数列可能是等差数列
【解析】，，两式相减：
，，，
若，令，，则，此时是等差数列，不是等比数列，
若，令，，则，，此时不是等差数列，
所以数列不一定是等比数列，可能是等差数列，所以A错B正确；
又，得，
要使为等比数列，必有若，已求得此时令，，
则，此时是一个所有项为0的常数列，所以不可能为等比数列
题型9 数列新定义问题
例11 （2020年1月无锡市期末测试，第12题，5分，多选题）当为正整数时，定义函数表示的最大奇因数。如，则（ ）
A. 342 B. 345 C. 341 D. 346
【答案】A
【解析】
，而，，，，
又，。
题型10 数列求和
例12 （2020年1月无锡市期末测试，第17题，10分）已知等差数列的前项和为，且，。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和。
【答案】(1)；(2)（裂项相消法）
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意得，解得
（2）由（1）得
例13 （2020年1月常州市期末测试，第15题，5分）若数列的通项公式为，数列满足 ，则数列的前10项和为_______。
【答案】（分组求和与裂项相消法）
【解析】因为，所以
，∴ 的前10项和为：
。
例14 （2020年1月常州市期末测试，第18题，12分）已知数列的前项和为，且是与2的等差中项．数列中，，点在直线上。
（1）求和的值；
（2）求数列，的通项公式；
（3）设，求数列的前项和。
【答案】（1）， （2）， （3）（错位相减法）
【解析】（1）由
当时，得，即，解得；
当时，得，即，解得。
（2）由…① 得…②；（）
将两式相减得，即，所以，
因为，所以，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以。
数列中，，点在直线上，得，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，即。
（3），所以
上式减下式得
所以。
题型11 公差取值范围问题
例15 （2020年1月常州市溧阳市期末测试，第12题，5分，单选题）首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足.则的取值范围（ A ）
A. 或 B. C. D.
【解析】，即
将当成变量，看成常数，即或
题型12 等比数列前n项和的比值问题
例16 （2020年1月常州市溧阳市期末测试，第14题，5分）设为等比数列的前项和，则________。
【答案】 【解析】，。
题型13 数列综合应用
例17 （2020年1月常州市期末测试，第22题，12分）已知数列中，，是数列的前项和，且。
（1）求，，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若 对任意的正整数都成立，求实数的取值范围。
【答案】（1），， （2）
【解析】解：（1）在中，，则，即，得，
由得：当时，，化简得，
即，所以数列是以2为首项，2为公比的等差数列，即。
又因为，所以，所以，。
当时，，对也成立，
所以数列的通项公式为。
（2）因为，
所以
。
因为，所以在上单调递增，
所以的最小值为。
因为对任意的正整数都成立，所以，即.
所以实数的取值范围是。
例18 （2020年1月常州市溧阳市期末测试，第22题，12分）设数列的前项和，对任意，都有（为常数）。
（1）当时，求；
（2）当时，
（ⅰ）求证：数列是等差数列；
（ⅱ）若数列为递增数列且，设，试问是否存在正整数（其中），使成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，说明理由。
【答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）存在唯一正整数数对，使成等比数列。
【解析】（1）时，①
时，②
由②－①得即
时，，∴
（常数，），∴以1为首项，4为公比的等比数列，∴
（2）（ⅰ）当，，时，.③
当时，.④
③－④得：，⑤
所以.⑥
⑤－⑥得：.
因为，所以，即，
所以是等差数列.
（ⅱ）因为为递增等差数列.，又
得或者（舍），所以
假设存在正整数数组，使成等比数列，则成等差数列，
于，
所以，（☆）
易知为方程（☆）的一组解.
当，且时，，故数列为递减数列，
于是，所以此时方程（☆）无正整数解.
综上，存在唯一正整数数对，使成等比数列。
课后巩固练习
1、 （2020年1月常州市溧阳市期末测试，第8题，5分，单选题）已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是。（ C ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C。
2、（2020年1月常州市溧阳市期末测试，第7题，5分，单选题）设等差数列前项和为，若.，则的值是（ D ）
A. 15 B. 30 C. 13 D. 25
【解析】，，故，。
3、（2021年1月苏州市阳光期末测试，第12题，5分，多选题）已知等比数列满足，其前项和。（ BD ）
A. 数列的公比为 B. 数列为递增数列
C. D. 当取最小值时，
【答案】BD
4、（2020年1月无锡市期末测试，第5题，5分，单选题）已知等比数列为单调递增数列，设其前项和为，若，，则的值为（ A ）
A. 16 B. 32 C. 8 D.
【解析】等比数列为单调递增数列，设其前项和为，，，，
解得，，。
5、（2020年1月无锡市期末测试，第8题，5分，单选题）设为数列的前项和，满足，则（ D ）
A. B. C. D.
【解析】，
当时，，解得，
当时，，，
故是以，的等比数列， 。
6、（2020年1月常州市期末测试，第9题，5分，单选题）《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（ A ）
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
【解析】从冬至起，日影长依次记为，根据题意，有，
根据等差数列的性质，有，而，设其公差为，
则有，解得，所以冬至的日影子长为尺。
7、（2021年1月苏州市阳光期末测试，第15题，5分）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数。一股由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定。初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染，……。假设某种传染病的基本传染数，那么初始一名感染者，经过三轮传染后，感染总人数将达到_________人；若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第_________轮传染开始前采取紧急防控措施。（参考数据：，）
【答案】（1）39；（2）6。
8、（2021年1月苏州市阳光期末测试，第19题，12分）在①，②且，③且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答。
问题：设数列为等差数列，其前项和为，_________。数列为等比数列，，。求数列的前项和。
【答案】
9、（2020年1月常州市溧阳市期末测试，第17题，10分）在等差数列中，，。
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，∵ ∴
∴ ，∵ ，∴ ，∴
∴
（2）
∴
10、（2021年1月苏州市阳光期末测试，第21题，12分）已知数列满足，。
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记数列的前项中最大值为，最小值为，令，称数列是数列的“中程数数列”。
① 求“中程数数列”的前项和；
② 若（且），求所有满足条件的实数对。
【答案】（1）证明略，；（2）①；②。

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