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2020-2021学年河南省洛阳市七年级（上）期末数学试卷
（附答案与解析）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣4的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．4 D．﹣4
2．（3分）在国庆70周年的联欢活动中，参与表演的3290名群众演员，每人手持一个长和宽都为80厘米的光影屏，每一块光影屏上都有1024颗灯珠，约3369000颗灯珠共同构成流光溢彩的巨幅光影图案，给观众带来了震撼的视觉效果．将3369000用科学记数法表示为（　　）
A．0.3369×107 B．3.369×106 C．3.369×105 D．3369×103
3．（3分）下表是12月份某一天洛阳四个县区的平均气温：
区县 涧西 栾川 嵩县 伊川
气温℃ +1 ﹣3 ﹣2 0
这四个区中该天平均气温最低的是（　　）
A．涧西 B．栾川 C．嵩县 D．伊川
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．5a+6b＝11ab B．9a﹣a＝8
C．﹣3（a+b）＝﹣3a+3b D．﹣3（a+b）＝﹣3a﹣3b
5．（3分）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣6
6．（3分）下列解方程的步骤中正确的是（　　）
A．由x﹣5＝7，可得x＝7﹣5
B．由8﹣2（3x+1）＝x，可得8﹣6x﹣2＝x
C．由x＝﹣1，可得x＝﹣
D．由，可得2（x﹣1）＝x﹣3
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．在所有连接两点的线中，直线最短
B．射线OA与射线AO表示的是同一条射线
C．连接两点的线段，叫做两点间的距离
D．两点确定一条直线
8．（3分）某微信平台将一件商品按进价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利78元，这件商品的进价是多少元？若设这种商品每件的进价是x元，那么所列方程为（　　）
A．80%（1+40%）x﹣x＝78 B．40%（1+80%）x＝78
C．x﹣80%（1+40%）x＝78 D．80%（1﹣40%）x﹣x＝78
9．（3分）a，b，c在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
10．（3分）如图是一个运算程序：
若x＝﹣4，输出结果m的值与输入y的值相同，则y的值为（　　）
A．﹣2或1 B．﹣2 C．1 D．2或﹣1
二、填空題（每小题3分，共15分）
11．（3分）若关于x的方程2x+a+4＝0的解是x＝﹣3，则a的值等于　 　．
12．（3分）若∠A＝42°37′，则∠A的余角的大小为 　 　．
13．（3分）绝对值大于1.5并且小于3的整数之和是 　 　．
14．（3分）《九章算术》是中国古代非常重要的一部数学典籍，被视为“算经之首”，大约成书于公元前200年～公元前50年，其中有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，则多出3400钱；每人出300钱，则多出100钱．问人数、金价各是多少？如果设有x个人，那么可以列方程为 　 　．
15．（3分）观察下列一组图形中的点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…，按此规律第10个图中点的个数共有 　 　个．
三、解答题（本大题共8道小题，满分75分
16．（8分）计算：
（1）3×（﹣4）+18÷（﹣6）﹣（﹣5）；
（2）﹣14﹣16÷（﹣2）3+|﹣|×（﹣1）．
17．（9分）化简求值3m2﹣[5m﹣2（2m﹣3）+4m2]，其中m＝﹣4．
18．（9分）已知线段AB如图所示，延长AB至C，使BC＝AB，反向延长AB至D，使AD＝BC，点E是线段CD的中点．
（1）依题意补全图形；
（2）若AB的长为4，求BE的长．
19．（9分）解方程：．
20．（9分）观察下列两个等式：给出定义如下：
我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对，都是“同心有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）是“同心有理数对”的是 　 　．
（2）若（a，3）是“同心有理数对”，求a的值．
（3）若（m，n）是“同心有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　 　“同心有理数对”（填“是”或“不是”）．
21．（10分）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产量/个 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣9 +15 ﹣8
（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 　 　个；
（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量；
（3）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，小王周五这一天的工资是多少？
22．（10分）甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多40件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．
（1）如果两组工人实际完成的此月人均工作量相等，那么此月人均定额是多少件？
（2）如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多3件，则此月人均定额是多少件？
23．（11分）阅读下面材料
小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补．
小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD．
如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD．
因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补．
（1）根据小聪的画法可知，如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请说明∠AOC与∠BOC互补的理由；
（2）参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余（保留画图痕迹）；
（3）已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是 　 　．
2020-2021学年河南省洛阳市七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣4的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．4 D．﹣4
【分析】根据相反数的定义作答即可．
【解答】解：﹣4的相反数是4．
故选：C．
2．（3分）在国庆70周年的联欢活动中，参与表演的3290名群众演员，每人手持一个长和宽都为80厘米的光影屏，每一块光影屏上都有1024颗灯珠，约3369000颗灯珠共同构成流光溢彩的巨幅光影图案，给观众带来了震撼的视觉效果．将3369000用科学记数法表示为（　　）
A．0.3369×107 B．3.369×106 C．3.369×105 D．3369×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将3369000用科学记数法表示为3.369×106，
故选：B．
3．（3分）下表是12月份某一天洛阳四个县区的平均气温：
区县 涧西 栾川 嵩县 伊川
气温℃ +1 ﹣3 ﹣2 0
这四个区中该天平均气温最低的是（　　）
A．涧西 B．栾川 C．嵩县 D．伊川
【分析】正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣2|＝2，而3＞2，
∴﹣3＜﹣2＜0＜+1，
∴这四个区中该天平均气温最低的是栾川．
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．5a+6b＝11ab B．9a﹣a＝8
C．﹣3（a+b）＝﹣3a+3b D．﹣3（a+b）＝﹣3a﹣3b
【分析】利用去括号和合并同类项法则，对每个选项进行判断，即可得出答案．
【解答】解：∵5a+6b≠11ab，
∴选项A不符合题意；
∵9a﹣a＝8a≠8，
∴选项B不符合题意；
∵﹣3（a+b）＝﹣3a﹣3b≠﹣3a+3b，
∴选项C不符合题意；
∵﹣3（a+b）＝﹣3a﹣3b，
∴选项D符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣6
【分析】根据相对的面相隔一个面得到相对的2个数，相加后比较即可．
【解答】解：易得2和﹣2是相对的两个面；0和1是相对两个面；﹣4和3是相对的2个面，
∵2+（﹣2）＝0，0+1＝1，﹣4+3＝﹣1，
所以原正方体相对两个面上的数字和最小的是﹣1．
故选：A．
6．（3分）下列解方程的步骤中正确的是（　　）
A．由x﹣5＝7，可得x＝7﹣5
B．由8﹣2（3x+1）＝x，可得8﹣6x﹣2＝x
C．由x＝﹣1，可得x＝﹣
D．由，可得2（x﹣1）＝x﹣3
【分析】各项方程变形得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、由x﹣5＝7，可得x＝7+5，不符合题意；
B、由8﹣2（3x+1）＝x，可得8﹣6x﹣2＝x，符合题意；
C、由x＝﹣1，可得x＝﹣6，不符合题意；
D、由＝﹣3，可得2（x﹣1）＝x﹣12，不符合题意，
故选：B．
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．在所有连接两点的线中，直线最短
B．射线OA与射线AO表示的是同一条射线
C．连接两点的线段，叫做两点间的距离
D．两点确定一条直线
【分析】根据“两点之间，线段最短“，两点确定一条直线，两点间的距离，既可解答．
【解答】解：A．错误，在所有连接两点的线中，线段最短；
B．错误，射线OA与射线AO表示的不是同一条射线；
C．错误，连接两点的线段长度，叫做两点间的距离；
D．正确，
故选：D．
8．（3分）某微信平台将一件商品按进价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利78元，这件商品的进价是多少元？若设这种商品每件的进价是x元，那么所列方程为（　　）
A．80%（1+40%）x﹣x＝78 B．40%（1+80%）x＝78
C．x﹣80%（1+40%）x＝78 D．80%（1﹣40%）x﹣x＝78
【分析】根据利润＝售价﹣进价，可以写出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
x（1+40%）×0.8﹣x＝78，
即80%（1+40%）x﹣x＝78，
故选：A．
9．（3分）a，b，c在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【分析】根据数轴比较大小得c＜a＜b，从而a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，根据绝对值的性质去绝对值化简即可．
【解答】解：∵c＜a＜b，
∴a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，
∴原式＝﹣+
＝﹣1﹣1+（﹣1）
＝﹣1+（﹣1）+（﹣1）
＝﹣3，
故选：C．
10．（3分）如图是一个运算程序：
若x＝﹣4，输出结果m的值与输入y的值相同，则y的值为（　　）
A．﹣2或1 B．﹣2 C．1 D．2或﹣1
【分析】由题意得，此题属于x小于等于y的情况，通过试值可得此题结果．
【解答】解：∵当x＝﹣4，y＝﹣2时，x＜y，则m＝|﹣4|﹣3×（﹣2）＝4+6＝10，
当x＝﹣4，y＝2时，x＜y，则m＝|﹣4|﹣3×2＝﹣2，
当x＝﹣4，y＝1时，x＜y，则m＝|﹣4|﹣3×1，
当x＝﹣4，y＝﹣1时，x＜y，则m＝|﹣4|﹣3×（﹣1）＝7，
∴当x＝﹣4，y＝1时，m＝|﹣4|﹣3×1＝1＝y，
故选：C．
二、填空題（每小题3分，共15分）
11．（3分）若关于x的方程2x+a+4＝0的解是x＝﹣3，则a的值等于　2　．
【分析】把x＝﹣3代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：把x＝﹣3代入方程得：﹣6+a+4＝0，
解得：a＝2，
故答案为：2
12．（3分）若∠A＝42°37′，则∠A的余角的大小为 　47°23'　．
【分析】如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角余角．由定义即可求解．
【解答】解：∵∠A＝42°37′，
∴∠A的余角＝90°﹣42°37′＝47°23'，
故答案为：47°23'．
13．（3分）绝对值大于1.5并且小于3的整数之和是 　0　．
【分析】首先根据有理数大小比较的方法，判断出绝对值大于3，且小于7的整数有哪些；然后把它们相加即可．
【解答】解：∵绝对值大于1.5并且小于3的整数的绝对值等于2，
∴绝对值大于1.5并且小于3的整数是﹣2，2，
∴绝对值大于1.5并且小于3的整数之和是0．
故答案为：0．
14．（3分）《九章算术》是中国古代非常重要的一部数学典籍，被视为“算经之首”，大约成书于公元前200年～公元前50年，其中有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，则多出3400钱；每人出300钱，则多出100钱．问人数、金价各是多少？如果设有x个人，那么可以列方程为 　400x﹣3400＝300x﹣100　．
【分析】设有x个人，根据金的价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有x个人，
依题意，得：400x﹣3400＝300x﹣100．
故答案为：400x﹣3400＝300x﹣100．
15．（3分）观察下列一组图形中的点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…，按此规律第10个图中点的个数共有 　166　个．
【分析】由图可知：其中第1个图中共有1+1×3＝4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3＝10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3＝19个点，…由此规律得出第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．
【解答】解：第1个图中共有点数为：1+1×3＝4，
第2个图中共有点数为：1+1×3+2×3＝10，
第3个图中共有点数为：1+1×3+2×3+3×3＝19，
…，
第n个图有点数为：1+1×3+2×3+3×3+…+3n．
所以第10个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+…+10×3＝166．
故答案为：166．
三、解答题（本大题共8道小题，满分75分
16．（8分）计算：
（1）3×（﹣4）+18÷（﹣6）﹣（﹣5）；
（2）﹣14﹣16÷（﹣2）3+|﹣|×（﹣1）．
【分析】（1）根据有理数的混合运算顺序计算即可，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；
（2）根据绝对值的性质以及有理数的混合运算顺序计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣12﹣3+5
＝＝15+5
＝﹣10；
（2）原式＝﹣1﹣16÷（﹣8）+
＝﹣1+2﹣
＝1﹣
＝﹣．
17．（9分）化简求值3m2﹣[5m﹣2（2m﹣3）+4m2]，其中m＝﹣4．
【分析】去括号、合并同类项即可化简，再代入计算即可．
【解答】解：原式＝3m2﹣（5m﹣4m+6+4m2）
＝3m2﹣5m+4m﹣6﹣4m2
＝﹣m2﹣m﹣6，
当m＝﹣4时，
原式＝﹣16+4﹣6＝﹣18．
18．（9分）已知线段AB如图所示，延长AB至C，使BC＝AB，反向延长AB至D，使AD＝BC，点E是线段CD的中点．
（1）依题意补全图形；
（2）若AB的长为4，求BE的长．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）求出EC，BC，可得结论．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）∵AB＝BC＝4，AD＝AB＝2，
∴CD＝AD+AB+BC＝10，
∴DE＝EC＝CD＝5，
∴EB＝EC﹣BC＝5﹣4＝1．
19．（9分）解方程：．
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去分母得：9x+6＝15+10x﹣5，
移项合并得：﹣x＝4，
解得：x＝﹣4．
20．（9分）观察下列两个等式：给出定义如下：
我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对，都是“同心有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）是“同心有理数对”的是 　（3，）　．
（2）若（a，3）是“同心有理数对”，求a的值．
（3）若（m，n）是“同心有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　是　“同心有理数对”（填“是”或“不是”）．
【分析】（1）根据：使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，判断出数对（﹣2，1），（3，）是“同心有理数对”的是哪个即可．
（2）根据（a，3）是“同心有理数对”，可得：a﹣3＝6a﹣1，据此求出a的值是多少即可．
（3）根据（m，n）是“同心有理数对”，可得：m﹣n＝2mn﹣1，据此判断出（﹣n，﹣m）是不是同心有理数对即可．
【解答】解：（1）∵﹣2﹣1＝﹣3，2×（﹣2）×1﹣1＝﹣5，﹣3≠﹣5，
∴数对（﹣2，1）不是“同心有理数对”；
∵3﹣＝，2×3×﹣1＝，
∴3﹣＝2×3×﹣1，
∴（3，）是“同心有理数对”，
∴数对（﹣2，1），（3，）是“同心有理数对”的是（3，）．
故答案为：（3，）；
（2）∵（a，3）是“同心有理数对”．
∴a﹣3＝6a﹣1，
∴a＝；
（3）∵（m，n）是“同心有理数对”，
∴m﹣n＝2mn﹣1．
∴﹣n﹣（﹣m）＝﹣n+m＝m﹣n＝2mn﹣1，
∴（﹣n，﹣m）是“同心有理数对”．
故答案为：是．
21．（10分）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产量/个 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣9 +15 ﹣8
（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 　291　个；
（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量；
（3）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，小王周五这一天的工资是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到小王本周生产口罩的数量；
（3）根据题意和表格中的数据，可以解答本题．
【解答】解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），
故答案为：291；
（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+15﹣8＝10（个），
则本周实际生产的数量为：2100+10＝2110（个）
答：小王本周实际生产口罩数量为2110个；
（3）第五天：（300﹣9）×0.6﹣9×0.2＝172.8（元），
答：小王周五这一天的工资是172.8元．
22．（10分）甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多40件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．
（1）如果两组工人实际完成的此月人均工作量相等，那么此月人均定额是多少件？
（2）如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多3件，则此月人均定额是多少件？
【分析】（1）设此月人均定额是x件，根据两组工人实际完成的此月人均工作量相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出此月的人均定额；
（2）设此月人均定额是y件，根据甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多3件，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出此月的人均定额．
【解答】解：（1）设此月人均定额是x件，
依题意得：＝，
解得：x＝70．
答：此月人均定额是70件．
（2）设此月人均定额是y件，
依题意得：﹣＝3，
解得：y＝55．
答：此月人均定额是55件．
23．（11分）阅读下面材料
小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补．
小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD．
如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD．
因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补．
（1）根据小聪的画法可知，如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请说明∠AOC与∠BOC互补的理由；
（2）参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余（保留画图痕迹）；
（3）已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是 　45°或|β﹣45°|　．
【分析】（1）证明∠AOC+∠BOC＝180°，即可解决问题；
（2）延长AO到T，作∠BOT的角平分线OH，射线OH即为所求；
（3）分两种情形分别画出图形求解即可．
【解答】解：（1）如图3中，∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD，
∵∠AOC+∠COD＝180°，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
即∠AOC与∠BOC互补；
（2）如图4中，射线OH即为所求；
（3）如图，
∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，
∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，
∵∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ
＝∠EPQ+∠FPQ
＝∠EPF，
∵∠EPQ和∠FPQ互余，
∴∠EPQ+∠FPQ＝90°，
即∠EPF＝90°，
∴∠MPN＝45°；
如图：
∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，
∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，
∵∠MPN＝|∠MPQ﹣∠NPQ|＝|∠EPQ﹣∠FPQ|，
∵∠EPQ和∠FPQ互余，∠EPQ＝β，
∴∠FPQ＝90°﹣β，
∴∠MPN＝|β﹣∠（90°﹣β）|＝|β﹣45°|，
故答案为：45°或|β﹣45°|．
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