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26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
学习目标：1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)21世纪教育网版权所有
2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重点、难点)
3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. (重点、难点)www.21-cn-jy.com
一、知识链接
1.反比例函数的图象是什么？
2.反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？
1、要点探究
探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式
例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
(2) 点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
【针对训练】已知反比例函数的图象经过点 A (2，3)．
（1）求这个函数的表达式；
（2）判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（3） 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
探究点2：反比例函数图象和性质的综合
例2 如图，是反比例函数图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？
(2) 在这个函数图象的某一支上任取 ( http: / / www.21cnjy.com )点 A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？21·世纪*教育网
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【针对训练】如图，是反比例函数的图象，则 k 的值可以是 （ ）
A．－1 B．3 C．1 D．0
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探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
操作 1. 在反比例函数的图象上分别取点P，Q 向x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，2-1-c-n-j-y
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填写下列表格：
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系
P (2，2) ，Q (4，1)
2. 若在反比例函数中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系
P (－1，4)，Q (－2，2)
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猜想 由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是反比例函数图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.【来源：21·世纪·教育·网】
证明 我们就 k < 0 的情况给出证明：
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【要点归纳】对于反比例函数，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= |k|.21*cnjy*com
推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是S△QAO=S△QBO=.
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【针对训练】如图，在函数(x＞0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则（ ）
A. SA >SB>SC B. SA( http: / / www.21cnjy.com )
【典例精析】
例3 如图，点A在反比例函数的图象上，AC垂直 x 轴于点 C，且 △AOC 的面积为 2，求该反比例函数的表达式．21教育名师原创作品
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【针对训练】1. 如图，过反比例函数图象上的一点 P，作PA⊥x 轴于点A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .21教育网
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2. 若点 P 是反比例函 ( http: / / www.21cnjy.com )数图象上的一点，过点 P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 .【出处：21教育名师】
例4 如图，P，C是函数(x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则(1) S1 = ；(2）梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；（3）△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. （填“＞”，“＜”或者“＝”）
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【针对训练】如图，直线与双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .21*cnjy*com
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例5 如图，点 A 是反比例函数(x＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数(x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S ABCD =___.
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【方法总结】解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.
【针对训练】如图，函数 y＝－x与函数的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
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探究点4：反比例函数与一次函数的综合
思考 在同一坐标系中，函数和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
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例6 函数 y=kx－k 与（k≠0）的图象大致是（ ）
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【提示】由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.
【针对训练】在同一直角坐标系中，函数与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是（ ）
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例7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 .21·cn·jy·com
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【针对训练】如图，一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比例函数的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1＞y2时，x 的取值范围是 ．www-2-1-cnjy-com
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例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.
想一想：这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
【针对训练】反比例函数的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ．
二、课堂小结
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1. 如图， P 是反比例函数的图象上一点，过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，连接O P ，
且△OBP 的面积为 2，则 k 的值为（ ）
A. 4 B. 2 C. －2 D.不确定
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2. 反比例函数的图象与一次函数 y = 2x +1 的图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析式是____ ___．
3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b ＞的解集是__________．
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4. 已知反比例函数的图象经过点 A (2，－4).
（1）求 k 的值；
（2）这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化
（3）画出该函数的图象；
（4）点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？
5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线交于A(1，2)，B(m，－4)两点，
（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）求不等式 ax + b＞的解集.
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6. 如图，反比例函数与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）求△AOB的面积.
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参考答案
自主学习
一、知识链接
1.解：反比例函数的图象是双曲线
2.解：当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；
当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
合作探究
一、要点探究
探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式
例1 解：（1）因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
（2）设这个反比例函数的解析式为，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有，解得 k =12.
所以反比例函数的解析式为.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.21cnjy.com
【针对训练】解：（1）∵ 反比例函数的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得，解得 k = 6.∴ 这个函数的表达式为.
（2）分别把点 B，C 的坐标代入反比例 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上．2·1·c·n·j·y
（3）∵ 当 x = －3时，y =－2；当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
探究点2：反比例函数图象和性质的综合
例2 解：（1）因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.
又因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.
（2）因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小，
因此当x1＞x2时，y1＜y2.
【针对训练】B
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
证明 解：设点 P 的坐标为 (a，b)，∵点 P (a，b) 在函数的图象上，∴，即 ab=k.
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
同理，∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.综上，S矩形 AOBP=|k|.
【针对训练】C
【典例精析】
例3 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，∵点 A 在反比例函数的图象上，∴ xA·yA＝k.
又∵ S△AOC＝ xA·yA = ·k＝2，∴ k＝4.∴反比例函数的表达式为.
【针对训练】1.-12 2.
例4 (1) 2 (2） > （3）=
【针对训练】S1 = S2 < S3 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3
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例5 5
【针对训练】D
探究点4：反比例函数与一次函数的综合
例6 D
【针对训练】B
例7 －2< x <0 或 x >3
解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3.
【针对训练】 -1< x <0 或 x >2
例8 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和.
由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，则点 P (－3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式.所以4=-3k1，.解得，k2=-12【版权所有：21教育】
则这两个函数的解析式分别为和， 它们的图象如图所示.
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【针对训练】（2,6）或（-2,-6）
当堂检测
1. A 2. 3. 1＜x＜5
4. 解：（1）∵ 反比例函数的图象经过点 A (2，－4)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得，解得k = －8.
（2）这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.
（3）如图所示：
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（4）该反比例函数的解析式为.
因为点 B 的坐标满足该函数解析式，而点 C 的坐标不满足该函数解析式，
所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.
5. 解：（1）把 A(1，2)代入双曲线解析式中，得 k = 2，故双曲线的解析式为.
当y =－4时，m=,∴ B（，－4）.将A(1，2)，B（，－4）代入 y=ax + b ，得，a=4,b=-2;
∴直线的解析式为y=4x-2.
（2）根据图象可知，若 ax + b＞，则 x＞1或＜x＜0.
6. 解:（1）联立两个解析式，解得或所以A(－2，4)，B(4，－2).
（2）一次函数与x轴的交点为M (2，0)，∴OM=2.
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则AC=4，BD=2.
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
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